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    [数学]概率论练习册答案

    时间：2019-01-28    下载该word文档


    第一章 概率论的基本概念
    一、选择题
    1．答案：（B） 2. 答案：（B）
    解：AUB表示A与B至少有一个发生,-AB表示A与B不能同时发生,因此(AUB(-AB表示A与B恰有一个发生． 3．答案：（C）
    4. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容. 5. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容,即AB. 6. 答案：（D） 注:由C得出A+B=. 7. 答案：（C） 8. 答案：（D）
    注：选项B由于
    P(Ai1P(Ai1P(Ai1P(Ai1i1i1i1i1nnnnni1(1P(Ai
    N(A. N(9.答案：（C） 注：古典概型中事件A发生的概率为P(A10.答案：（A）
    解：用A来表示事件“此r个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A 的对立事件A“此r个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知rC3r65r!Pr365P365P(A，故P(A1r. rr36536536511.答案：（C）

    12.答案：（B）
    解：“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”，说明ABC，
    故P(ABP(C；而P(ABP(AP(BP(AB1, 故P(AP(B1P(ABP(C. 13.答案：（D）
    解：由P(A|BP(AB1可知
    P(ABP(ABP(AB1P(ABP(BP(B1P(BP(BP(AB(1P(BP(B(1P(AP(BP(AB1P(B(1P(BP(AB(1P(BP(B(1P(AP(BP(ABP(B(1P(BP(ABP(ABP(BP(BP(AP(B(P(B2P(BP(ABP(B(P(B2P(ABP(AP(B
    故A与B独立. 14.答案：（A）
    解：由于事件A,B是互不相容的，故P(AB0，因此
    P(A|B=15.答案：（D）
    解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A的对立事件A“密码最终没能被译出”，事件A只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故111112P(A(1(1(1(1P(A. 543633P(AB00. P(BP(B
    16.答案：（B） 解：所求的概率为
    P(ABC1P(ABC1P(AP(BP(CP(ABP(BCP(ACP(ABC11111 100444161638注：ABCAB0P(ABCP(AB0P(ABC0. 17.答案：（A）
    解：用A表示事件“取到白球”，用Bi表示事件“取到第i箱”i1.2.3，则由全概率公式知
    P(AP(B1P(A|B1P(B2P(A|B2P(B3P(A|B311131553353638120. 18.答案：（C）
    解：用A表示事件“取到白球”，用Bi表示事件“取到第i类箱子”i1.2.3，则由全概率公式知
    P(AP(B1P(A|B1P(B2P(A|B2P(B3P(A|B3213212765636515. 19.答案：（C）
    解：即求条件概率P(B2|A.由Bayes公式知
    P(B2P(A|B2P(B2|AP(B1P(A|B1P(B2P(A|B2P(B3P(A|B3二、填空题
    32637155
    7答：

    1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）} 2.ABC;ABCABCABCABC或ABBCAC 3．0.3，0.5 解：若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），于是 P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3； 若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B），于是
    由P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B），得P(B4.0.7 解：由题设P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7. 5.0.3 解：因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又P(ABP(ABP(A，所以P(ABP(ABP(B0.60.30.3. 6.0.6 解：由题设P（A）=0.7，P（AB）=0.3，利用公式ABABA知
    P(ABP(AP(AB=0.7-0.3=0.4，故P(AB1P(AB10.40.6. P(ABP(A0.70.40.5. 1P(A10.47.7/12 解：因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，于是
    P(ABCP(ABC1P(ABC1[P(AP(BP(CP(ABP(BCP(ACP(ABC]. 13/42/67/12
    8.1/4 解：因为P(ABCP(AP(BP(CP(ABP(BCP(ACP(ABC 由题设
    P(AP(BP(C,P(ACP(AP(CP2(A,P(ABP(AP(BP2(A， P(BCP(BP(CP2(A,P(ABC0，因此有93P(A3P2(A，解得
    16P（A）=3/4或P（A）=1/4，又题设P（A）<1/2,故P（A）=1/4. 9.1/6 解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解. 10.1
    1260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114，故所求的概率为11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A生产的}，B={抽取的产品为工厂B生产的}，C={抽取的是次品}，则P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A）=0.01，P（C|B）=0.02，故有贝叶斯公式知
    P(A|CP(ACP(AP(C|A0.60.013. P(CP(AP(C|AP(BP(C|B0.60.010.40.02741. 7!126012.6/11 解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}， 则P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5，

    故P(A|CP(ACP(AP(C|A0.50.66. P(CP(AP(C|AP(BP(C|B0.50.60.50.51111,P(ABP(BC0，P(AC. 求84三、设A，B，C是三事件，且P(AP(BP(CA，B，C至少有一个发生的概率。
    解：P (A，B，C至少有一个发生=P (A+B+C= P(A+ P(B+ P(C－P(AB－P(BC－P(AC+ P(ABC= 3150 488四、 P(A111,P(B|A,P(A|B,求P(AB。 43211定义P(ABP(AP(B|A由已知条件143P(B1 有解：由P(A|BP(BP(B2P(B6由乘法公式，得P(ABP(AP(B|A1 121111 46123由加法公式，得P(ABP(AP(BP(AB五、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
    解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ 由已知条件知P(A1P(A2由贝叶斯公式，有
    1P(B|A15%,P(B|A20.25% 2P(A1|BP(A1P(B|A1P(A1BP(A1P(B|A1P(A2P(B|A2 P(B1520210015125212100210000
    六、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1）
    记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。

    ∵ ∴

    B=A1B+A2B且A1，A2互斥 P (B=P (A1P(B| A1+ P (A2P (B| A2
    =nN1mN nmNM1nmNM1第二章 随机变量及其分布
    一、选择题
    答：1.答案：（B）
    注：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，但事件{X=a}未必是不可能事件. 2.答案：（B）
    解：由于X服从参数为的泊松分布，故P{Xk}又P{X1}P{X2},故1e1!kek!,k0,1,2,.2e2!2，因此
    P{X2}1P{X2}1P{X0}P{X1}P{X2}. 20e221e222e251120!1!2!e3.答案：（D）
    解：由于X服从[1,5]上的均匀分布,故随机变量X的概率密度为
    1ba4,x[1,5].因此，若点a,b[1,5]，则P{aXb}. f(x40,x[1,5]P{3X6}P{3X5}23，P{0X4}P{1X4}， 4421P{1X3}P{1X3}. 424 答案：（C） 解：由于X~N(,4,故X~N(0,1;
    2
    由于P{X0}P{12X01}(,而(0，故只有当02222时，才有P{X0}；
    P{X2}P{X2}1P{X2}1P{X2}1(1; 22正态分布中的参数只要求0，对没有要求. 5.答案：（A）
    解：由于X~B(2,p，故
    00P{X1}1P{X1}1P{X0}1C2p(1p21(1p22pp2，
    而P{X1}，故2pp2p或p（舍）； 由于Y~B(3,p，故
    11219P{Y1}1P{Y1}1P{Y0}1C30(0(131(3. 33327595913536.答案：（B）
    解：这里g(x2x3，g(x处处可导且恒有g(x20，其反函数为xh(yy3，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函2数为fY(yfX(7.答案：（D）
    y311y3fX(. 2222注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页. 8.答案：（C）
    解：因为X~N(1,1，所以F(xP{X0}P{12xe(t122dt，f(x1e2(x122. X101}(11(110.84310.1569, 11P{X0}1P{X0}1P{X0}1(1(10.8431;
    X111}(00.5, 11P{X1}1P{X1}1P{X1}1(00.5;P{X1}P{9.答案：（B）
    解：由于f(xf(x，所以X的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y轴对称，因此随机变量X落在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出F(0P(X0.我们可以画出函数f(x的图形，借助图形来选出答案B. 也可以直接推导如下：
    F(aaa12f(xdx，令ux，则有
    a    a    a    0    0a1f(xdx.20F(af(uduf(uduf(xdxf(xdxf(xdx10.答案：（A）
    3137解：P{X}f(xdxxdxx2|114. 48112441111.答案：（B） 解：P{X2}1P{X2}1P{2X2}1P{21X121}222
    1[(0.5(1.5]1(0.51(1.50.3753.
    12.答案：（D）
    解：对任意的x0,P{Xx}1P{Xx}1F(x1(1exex；选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数0. 13.答案：（A）

    解：选项A改为X~N(0,1，才是正确的；
    aP{X(a,b}F(bF(a((b；
    P{|X|k}P{kXk}P{kXk}. kXkP{}(k(k2(k1,(k014.答案：（B）
    解：由于随机变量X服从(1,6上的均匀分布,所以X的概率密度函数15,x[1,6]为f(x.而方程x2Xx10有实根，当且仅当0,x[1,6]X240X2或X2，因此方程x2Xx10有实根的概率为 pP{X2}P{X2}
    二、填空题 答1.Xx. 620.8. 612.解：由规范性知111111515c. 2c4c8c16c16c163.解：由规范性知1a(kak1232/312aa. 12/324.解：因为P{Xx}P{Xx}P{Xx}F(xF(x0，所以只有在F（X）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，P{X=1}=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，P{X=2}=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6. 1,1x55.解：由于X~U[1,5]，所以X的概率密度为f(x， 40,其它
    故p(x1Xx2f(xdx116.f(xe2(x222x211dx(x21. 4421y2e,y ,x；f(y223X373P2X7P7.解：. 222(2(2.5(2(2.510.99720.993810.9910p(Xcp(Xcp(Xc1p(Xc1X3c3c38.解:由(0p(Xcp((. 2222c30c329．13
    0.50.5y１0．解：FY(yP{Yy}P{Xy}0故fY(yFY(y
    11dxy,(0y4 2214y(0y4. 三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律
    解：X可以取值3，4，5，分布律为
    21C23C5P(X3P(一球为3号,两球为1,2号11021C33C5 P(X4P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球3 10610P(X5P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球也可列为下表 X： 3， 4，5 P：21C43C5136 ,,1010100,x1,四、 设随机变量X的分布函数为FX(xlnx,1xe,，
    1,xe.求（1）P (X<2, P {0<X≤3}, P (2<X<52；（2）求概率密度fX (x. 解：（1）P (X≤2=FX (2= ln2， P (0<X≤3= FX (3－FX (0=1，

    P(2X5555FX(FX(2lnln2ln 22241,1xe,（2）f(xF'(xx
    0,其它五、设随机变量X的概率密度f(x为
    0x1xf(x2x1x2
    其他0求X的分布函数F (x。
    解：F(xP(Xx0xf(tdt
    当x0时,F(xx0dt0x2当0x1时,F(x0dttdt02x当1x2时,F(x当2x时,F(x故分布函数为
    00dt    1    0tdt    x    1(2tdt2xx122
    00dt    1    0tdt    2    1(2tdtx20dt10x2F(x222xx121x00x1
    1x22x六、设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x24xKK20有实根的概率
    1 ∵ K的分布密度为：f(K5000K5其他
    要方程有根，就是要K满足(4K2－4×4× (K+2≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴
    2P(K21f(xdxdx25550dx3
    5七、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=eX的分布密度
    1∵ X的分布密度为：f(x0

    Y=g (X =eX是单调增函数
    0x1
    x为其他
    又 且

    X=h (Y=lnY，反函数存在 α = min[g (0, g (1]=min(1, e=1 max[g (0, g (1]=max(1, e= e
    f[h(y]|h'(y|11∴ Y的分布密度为：ψ(yy0八、设X的概率密度为
    1yey为其他
    2x0xπ f(xπ2x为其他0求Y=sin X的概率密度。
    ∵ FY ( y=P (Y≤y = P (sinX≤y 当y<0时：FY ( y=0 当0≤y≤1时：FY ( y = P (sinX≤y = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π =当1<y时：FY ( y=1 ∴ Y的概率密度ψ( y 为： y≤0时，ψ( y =[ FY ( y]' = (0 ' = 0 arcsiny02xdx2π2xdx
    πarcsinyπ2π0<y<1时，ψ( y =[ FY ( y]' = =arcsiny02xdxπ2
    2xdx
    πarcsinyπ2π2π1y21≤y时，ψ( y =[ FY ( y]' = (1
    = 0 第三章 多维随机变量及其分布
    一、选择题
    1.答案：（A）
    解：要使F(xaF1(xbF2(x是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质，在这里利用F(1这一性质可以得到aF1(bF2(ab1，只有选型A满足条件. 2.答案：（A）

    解：由P{X1X20}1可知P{X1X20}1P{X1X20}0，故
    P{X11,X21}P{X11,X21}P{X11,X21}P{X11,X21}0P{X11,X21}P{X11,X21}P{X11,X21}P{X11,X21}0又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：
    1P{X11}P{X11,X21}P{X11,X20}P{X11,X21}4
    1P{X11,X20}41P{X11}P{X11,X21}P{X11,X20}P{X11,X21}4
    1P{X11,X20}41P{X20}P{X11,X20}P{X10,X20}P{X11,X20}2
    1P{X10,X20}P{X11,X20}P{X11,X20}02故P{X1X2}P{X11,X21}P{X11,X21}P{X10,X20}0. 3.答案：（D）
    解：联合分布可以唯一确定边缘分布 ，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布. 4.答案：（A）
    解：由问题的实际意义可知，随机事件{Xi}与{Yj}相互独立，故
    P{Xi,Yj}P{Xi}P{Yj}6111,i,j1,2,11C6C63666；
    {XY}{Xk,Yk}P{XY}P{Xk,Yk}k1k1116； 366P{XY}1P{XY}115； 66
    {XY}{XY}{XY}，
    而事件{XY}又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即
    {XY}{Xk,Yk1}{Xk,Yk2}{Xk,Y6},k1,2,3,4,5
    故P{XY}5.答案：（B）
    151517P{XY}P{XY}P{XY}. 36366122解：当(X,YN(1,2,12,22,时，X~N(1,12，Y~N(2,2，且X和Y相互独立的充要条件是0；单由关于S和关于T的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的. 6.答案：（C）
    解：（方法1）首先证明一个结论，若T~N(,2，则ST~N(,2.证明过程如下（这里采用分布函数法来求ST的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于
    FS(sP{Ss}P{Ts}P{Ts}1P{Ts}1P{Ts}1FT(s,故fS(sfT(s(1fT(s1e2(s2221e2(s(222,这表明T也服从正态分布，且ST~N(,2. 2所以这里Y~N(2,2.再利用结论：若X1与X2相互独立，且2Xi~N(i,i2,i1,2，则X1X2~N(12,122.便可得出
    22XY~N(12,122；XY~N(12,122； 2X2Y(XYY~N(122,1242; 22XYX(XY~N(212,4122. （方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的
    线性组合仍然服从正态分布，且若Xi~N(i,i2,i1,2,,n，则
    YkiXi~N(kii,ki2i2
    i1i1i1nnn22故XY~N(12,122；XY~N(12,122；
    22X2Y~N(122,1242;2XY~N(212,4122. 7.答案：（A）
    解：由于X~N(3,1，Y~N(2,1，所以Z1Z2Y2(Y21N(0,1，故Z32Z22(Y2X3(X3~N(0,1，1N(0,(221N(0,4，而ZZ1Z3，所以Z~N(0,5. 8.答案：（D）
    解：由联合概率密度函数的规范性知
    4    4    41f(x,ydxdyCdxsin(xydyC[cosxcos(x]dx4. 0004C[sinxsin(x]21C21049.答案：（A） 解：P{XY1}122xy1f(x,ydxdy
    1154165dx(xxydy(x3x2xdx. 36327201x010.答案：（Ｂ）
    解：由联合概率密度函数的规范性知
        (2x3y1f(x,ydxdyAdxe00AAdye2xd(2xe3yd(3yA6.
    606012.答案：（C）

    解：用D表示以(0,0,(0,2,(2,1为顶点所形成的三角形区域，用G表示矩形域[0x2,0y1]，则所求的概率为
    P{(X,YD}D3232xx4f(x,ydxdyxydxdydxxydy(dx0.6
    22216DG0x2021213.答案：（B）
    解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若Xi~N(i,,i1,2,,n，则YkiXi~N(kii,ki2i2.
    2    ii1i1i1nnn    1因此(X1X2n1n1222Xn~N(,(N(,；
    ni1ni1nnX1X2~N(,22N(0,22. 令Z2X13，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z的概率密度函数为fZ(z1e2z32222(11.e22(2[z(23]22(22，故
    故2X13~N(23,42.

    二、填空题
    答：1.F（b,c）-F(a,c;F(a,b;F(+,a-F(+,0;F(+,b-F(a,b. 2.1/6. 3.解：SD14.0．
    5.解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2(1/2+ (1/2(1/2=1/2; P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）e21/2,(x,yD1e2dx[ln|x|]12，故f(x,y. x0,(x,yD
    + P（X=1）P（Y=-1）=(1/2(1/2+ (1/2(1/2=1/2; k(6xy,0x2,2y4三、设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y
    0,其它（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5} （2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4} 分析：利用P {(X, Y∈G}=f(x,ydxdyf(x,ydxdy再化为累次积分，其中GGDo0x2,Do(x,y
    2y4解：（1）∵1f(x,ydxdy0212k(6xydydx，∴k3
    81
    8（2）P(X1,Y301dx3128(6xydy（3）P(X1.5P(X1.5,Y（4）P(XY41.50dx127(6xydy 2832420dx4x012(6xydy 8322cxy,xy1四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y
    0,其它（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=f(x,ydxdydy01yycxydxc21022421ydycc 3214521212122xydyx(1x4,1x1 X~fX(xx4
    80,其它5y21272Y~fY(yy4dydx2y00y1
    其它
    四、设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为
    4.8y(2xf(x,y0解：fX(x0x1,0yx其它求边缘概率密度.
    x4.8y(2xdy2.4x2(2xf(x,ydy000x1其它

    fY(y14.8y(2xdx2.4y(34yy20y1 f(x,ydxy其它0五、设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密1ye2,y0度为fY(y2
    0,y0.1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
    1,x(0,1解：（1）X的概率密度为fX(x
    0,其它Y的概率密度为
    1ye2,y0fY(y2且知X, Y相互独立，
    0,y0.于是（X，Y）的联合密度为
    y12f(x,yfX(xfY(y2e00x1,y0
    其它    2（2）由于a有实跟根，从而判别式4X4Y0
    22 即：YX 记D{(x,y|0x1,0yx}
    P(YX2f(x,ydxdydxD01x201x2112edydxde21e2dx
    0002yyx212e2010x22dx12((1(212(0.84130.5
    12.50663120.341310.85550.1445六、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。
    解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：
    fT(t1e2π20(t16022202

    f{X180}FX(180令t160u200.8413u221180(t1602dt2220220118060du(20
    12    1    e    查表设N=min{X1，X2，X3，X 4} P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180} =P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.15874=0.00063 第四章 随机变量的数字特征
    一、选择题
    1．答案：（D）
    解：由于D(XE(X2[E(X]2，所以E(X2D(X[E(X]2314，故E[3(X220]E[3(X2]E(203E[(X2]20342032. 2.答案：（D）
    解：E(XYxyf(x,ydxdy0 3.答案：（D）
    解：Cov(X,YE(XYE(XE(Y，故Cov(X,Y0E(XYEXEY；
    D(XYDXDY2Cov(X,Y，故Cov(X,Y0D(XYDXDY； D(XYDXDY2Cov(X,Y，故Cov(X,Y0D(XYDXDY；
    0xye(xydxdy[xexdx]21
    0    Cov(X,Y0XY0，但不能说明X与Y独立. 4.答案：（C）
    解：由于X,Y独立，所以2X与3Y也独立，故D(2X3YD(2XD(Y3D4X. (DY 5.答案：（C）
    解：当X,Y独立时，D(X3YD(XD(3YD(X9D(Y；

    E{[XE(X][YE(Y]}E[XYXE(YYE(XE(XE(Y]E(XYE(XE(Y,而当X,Y独立时，E(XYE(XE(Y，故E{[XEX][YEY]}0；P{YaXb}1|XY|1. 6.答案：（C）
    解：当X,Y独立时，可以得到Cov(X,Y0 Cov(X,YE(XYE(XE(Y，而Cov(X,Y0XY0，即X,Y不相关，但不能得出X,Y独立；
    D(XYDXDY2Cov(X,Y，故Cov(X,Y0D(XYDXDY； D(XYDXDY2Cov(X,Y，故Cov(X,Y0D(XYDXDY. 7.答案：（D）
    解：E[(XEX(YEY]0Cov(X,Y0XY0，即X,Y不相关. 8.答案：（A）
    解：D(XYDXDY2Cov(X,YDXDYCov(，XY,0XY0即X,Y不相关. 9.答案：（C）
    解：E(XYEXEY成立的前提条件是X,Y相互独立；
    当X,Y相互独立时，有D(XYDXDY，即D(XYDXDY成立的充分条件是X,Y相互独立；
    而D(XYDXDY2Cov(X,YDXDYCov(X,Y0XY0 即X,Y不相关，所以D(XYDXDY成立的充要条件是X,Y不相关；
    Cov(X,aXbCov(X,aXCov(X,baCov(X,XaD(X； D(X1D(XD(12Cov(X,1D(X. 10.答案：（D）

    解：由D(XYDXDY2Cov(X,YCov(X,Y[D(XYDXDY]；
    D(2X3YD(2XD(3Y2Cov(2X,3Y4D(X9D(Y12Cov(X,Y. 1211.答案：（B）
    解：由D(XE(X2[E(X]2E(X2DX[E(X2]；
    D(2X3D(2XD(32Cov(2X,34D(X
    E(3YbE(3YE(b3E(Yb；
    E(X是一个确定的常数，所以D(E(X0. 12.答案：（D）
    解：E[(Xc2]E(X22cXc2E(X22cE(Xc2
    E(X2[E(X]2{[E(X]22cE(Xc2}E(X[E(X][E(Xc]D(X[E(Xc]D(X22222
    13.答案：（B）
    11n1n(n1(n1解：E(Xkk，
    nnn22k1k111n21n(n1(2n1(n1(2n1， E(Xkknnk1n66k122nn故D(XE(X2[E(X]214.答案：（C）
    (n1(2n1(n1212[](n1 6212xxxx110x解：E(Xxf(xdxxedxxde10xe10|010e10d(10
    1010000E(2X1E(2XE(12E(X121. 15.答案：（B） 解：由于当X(ba2(2021. U[a,b]时，D(X，故这里D(X12123
    16.答案：（A）
    解：由于Xi~N(0,1,i1,2，所以E(X1E(X20，D(X1D(X21
    又因为YX1X2，所以E(YE(X1E(X20，
    D(YD(X1D(X22Cov(X1,X222[E(X1X2E(X1E(X2]22E(X1X2,而X1与X2的独立性未知，所以E(X1X2的值无法计算，故D(Y的值未知. 17.答案：（C）
    解：由于(X,Y服从区域D{(x,y|0x,ya}上的均匀分布，所以(X,Y1,(x,yD2的概率密度为f(x,y，则a0,(x,yD1E|XY||xy|f(x,ydxdy2[dx(xydydy(yxdx]a00D00122dx(xydya2a200axaxayx2aadx2a2630a23. 18.答案：（D） 解：令X*X*XEX，则有EX*0，DX*1，但不一定有DXXEX~N(0,1. DX19.答案：（A）
    111解：由题意知P{X}022xdx，故Y服从参数为3和1/4的二241139项分布，即Yb(3,，因此D(Ynpq3. 4441620.答案：（D）
    解：E(XYxyf，(,xydxdy只有当X与Y独立时，才有
    E(XY二、填空题
    xyfx(xfy(ydxdy. 121.解：由题设=D(X2，故pX12e1!2e2. 2.解：假设P（X=-1）=a，P（X=0）=b，P（X=1）=c,则a+b+c=1,-a+0+c=E(X0.1,a+c=E(X20.9,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即X的概率分布是P（X=-1）=0.4，P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5. 3. f(x1e2(x222,EX,DX2;f(y1e2x22,EY0, DY1. 4.解：由题设E(X2D(X[E(X]24251，故X的概率密度函数为f(x1e22(x128. 5.解：由题设
    p(2X4p(23X343p(1X3111((112(10.3(0.65. p(X2p(X32311(1(0.356.解：E(X=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；
    E(X2=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12；
    D(X=E(X2-[E(X]2=67/12-49/16=121/48； E(2X1=-2E(X+E（1）=-7/2+1=-5/2. 7.解：
    DX4,DY9,XY0.5,D(2X3YD(2XD(3Y2Cov(2X,3Y4D(X9D(Y12Cov(X,Y. 4D(X9D(Y12XYDXDY168136618.解：由于X服从n=10，p=0.4的二项分布，根据二项分布的性质，
    EX=np=4，DX=np（1-p）=2.4，故E（X2）= DX+（EX）2=18.4. 三、设随机变量X的分布为


    求 E (X， E (3X2+5 解：



    E (X= (－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2= (－22×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X2+5 = 3E (X2+ E (5= 8.4+5=13.4 X Pk
    －2 0.4 0 0.3 2 0.3 四、设随机变量X的概率密度为
    ex,x0 f(x0,x0求（1）Y=2X
    解：（1）E(y（2）Y=e－2x的数学期望。
        2xf(xdx02xexdx
    2xex2ex02
    0 （2）E(Y e2xf(xdxe2xexex
    13x1e 303五、设随机变量X1，X2的概率密度分别为
    2e2x,f1(x0x0x04e4x,x0 f2(x0,x02求（1）E (X1+X2，E (2X1－3X2；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2
    解：（1）E(X1X2E(X1E(X20x2e2xdx0x4e4xdx
    12x14x1132x4xxeexee =240024422 （2）E(2X13X22E(X13E(X221320x24e4xdx
    x4x14x3524xxeee1 =1328880
    （3）E(X1X2E(X1E(X2六、设随机变量X和Y的联合分布为：
    X Y －1 0 1 111 248－1 0 1 1 81 81
    81
    8    0 1 81 81
    81
    8
    验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。
    133 P [X=1]= P [Y=1]= 888 P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1] 证：∵

    P [X=1 Y=1]=∴ X，Y不是独立的 又

    E (X =－1×323+0×+1×=0 888323+0×+1×=0 888 COV(X, Y =E{[X－E (X ][Y－E (Y ]}= E (XY －EX·EY
    E (Y =－1×1111+(－11×+1×(－1×+1×1×=0 8888∴ X，Y是不相关的
    七、设随机变量（X1，X2）具有概率密度。
    = (－1(－1 f(x,y求 解：



    1(xy， 0≤x≤2, 80≤y≤2 E (X1，E (X2，COV（X1，X2），ρX1X2D(X1X2
    E(X2E(X22020dx2020xy17(xydy 8617(xydy 8677(X2} 66dxCOV(X1X2E{(X1
    2027711dx(x(y(xydy
    066836D(X1E(X12[E(X1]220dx201711x(xydy 83662202D(X22E(X2[E(X2]21711dxy(xydy 08636222
    XY    1COV(X1,X2136
    1111DX1DX236D (X1+X2= D (X1+ D (X2+2COV(X1, X2 =1111152( 3636369第五章 大数定理及中心极限定理
    一、选择题
    答：1.（A） 2.（C） 3.（C）
    解:设X:炮弹命中的数量，则X~B400,0.2，由中心极限定理X4000.2近似~N(0,1，因此
    4000.20.86080X8010080P60X100P22.51
    8884.（C）注：EX,DX2不意味X服从正态分布，不要只看符号形式 5.（B ）
    解:因为Xii1,2,服从参数为2的指数分布,故有
    11EXi,DXi,(i1,2,
    24    n    1Xin2Xin2令Yni1,由独立同分布的中心极限定理有 i11nn2nn2Xnt2ix1limPi1xe2dtx
    nn2
    二、填空题 答：1.

    三、据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取ab12ex2/2dx，2.0
    16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
    解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E (Xi =100，D (Xi =1002(l=1,2,…,16.依本章定理1知
    16P(    i1Xi1920P
    Xi160019201600i0P161001610016i016Xi16004000.8
    (0.80.788.1
    i从而P(Xi11619201P(Xi116i192010.78810.2119.
    四、某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ2=400 为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿n1X作为μ的估计，为使P{|Xμ|}0.95,问n至少为多少？ 命X1，…，Xn，以Xni1i解：由中心极限定理知，当n很大时
    X
    i1n    inμ2nσ    nXnμnσ2~N(0,1
    n2nσ nnXnμP{|Xμ|1}P22nσnσnnσ2nnσ2n =22010.95
    n 所以200.975

    查标准正态分布表知
    n1.96
    20n1536.64即n至少取1537。
    第六章 样本及抽样分布
    一、选择题 答：1. ( C 2.（C） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数

    3.（D）注：当总体服从正态分布时D才成立，当然在大样本下，由中心极限定理有近似服从N(0,1 4.（B）

    5.（D）
    对于答案D,由于X/nXi~N(0,1,i1,2,,n，且相互独立，根据2分布的定义有
    (Xi1ni2~x2(n
    26(C 注：
    7.(D 8.(C 注：X~N(0,，X11~t(n11才是正确的. S1/n11nXSn~t(n1才是正确的
    nn1S229.(B 根据~n1得到(XiX2~2n1
    2    i110.(A 解：Xi19i~N(0,9Xi9~N0,1，Yi29~29
    2i1i199 由t分布的定义有Xi199i9～t9
    81Yi12    i

    二、填空题
    答：1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2.代表性和独立性 3.，n2ni
    X    4.i1n2k21n1nk1n1n，，，， XXXXXXXiiiin1nnn1i1i1i1i1
    5. 0.1 6.p,pq
    n7.2(n1
    n2n228.N,,Na,aii ni1i1三、在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。 解：
    6.321.2X521.8X~N(52,,P{50.8X53.8}P{}6.36.36.336666
    128((0.829377四、设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π (λ 的一个样本，X，S2分别为样本均值和样本方差，求E (X, D (X, E (S 2 . 解：由X~π (λ 知E (X = λ ，D(X
    ∴E (X=E (X = λ, D (X=
    D(Xλ,E(S2D(Xλ. nn第七章 参数估计
    一、选择题
    答：1.答案：
    D. ˆ(XX ˆE[解]因为E(X，所以2.答案：
    D. nn112ˆ(XAX，Eˆ(XAX， [解] 因为E(XE(X，E2i1i ni1ni122221n22ˆˆˆE(XE(X(XiX2. 所以，ni123. 答案
    A . [解]似然函数L(,2i1n12， exp(xi2221
    2lnL0,lnL0由，得A2. 24. 答案
    C. [解]在上面第5题中用取代X即可. 5. 答案
    A. [解]求解同填空第7题. 6. 答案
    B. [解]求解同填空第9题. 7. 答案
    C. ˆ1ˆ2,E(ˆ4，且D( [解]因为E(8.答案
    B. [解]求解同上面第9，10题. 9答案
    D. [解]求解同第12题. 10.答案
    B. 11617111ˆ3. ，D(2525254421n2 [解] 的最大似然估计量是(XiX. ni1211.答案
    A. [解]提示：根据置信区间的定义直接推出. 12.答案
    D. [解]同填空题25题. 13.答案
    B. [解]同填空题第28题. 14. 答案
    A.     2S12/S2[解]因为2~F(n11,n21，所以选A.
    21/2二、填空题
    答：1. 矩估计和最大似然估计；
    2.p(x;ii，f(x;ii；
    3.
    55，； 66因为E(X122(13(1=32，
    2    2[解] （1）矩估计
    ˆX所以32x1x2x34ˆ5. ，即的矩估计量633
    （2）最大似然估计
    因为p(x11,x22,x3122(122526， 对其求导：p51041250. 6ˆˆ2X1, 4. nlnXii1n1XlnXi11n；
    i[解] （1）的矩估计为：
    1211E(Xx(1xdxx
    02201n样本的一阶原点矩为：Xxi
    ni1所以有：1ˆ2X1 X21Xnn（2）的最大似然估计为：
    L(X1,,Xn；(1Xi(1(Xi
    ni1i1lnLnln(1lnXi
    i1ndlnLnlnXi0 d1i1nnˆ得：nlnXii1lnXi1n
    iˆX； 5. p [解] 因为P(Xxp(1p所以极大似然函数px1x,x0,1
    n    i1nxi(1pxii1nL(p，
    lnLpxi1nip    nxii1n令1p1nˆxix. 0，pni1
    6. ˆX，ˆX；
    [解] （1） 矩估计：E(Xkek0k1n，样本的一阶原点矩为：XXi
    ni1k!所以有：EXXX. （2）极大似然估计：似然函数L(x1,,xn;nei1ni1nxixi!i，
    则 lnLn(xlnlnx!
    ii1lnLxi0ˆX. n3n3n22ˆˆX7. a，； (XXbX(XXiini1ni1ab(ba2,D(X[解]因为E(X，所以E(X2D(XE2(X 212ab1n2(ba2ab令X,Xi
    2ni112223n3n2ˆˆX则a(XiX，bX(XiX2. ni1ni18.
    ˆE(，ˆD(ˆD(12；
    9. 数学期望E(X；
    1nnE(X [解] E(XE(XiE(X
    ni1n10. ；
    1nn [解]E(XE(Xi. ni1n11. 1；
    2(n1 [解] E[C(Xi1Xi2]2C(n12，所以C2i1n11；
    2(n1
    12. [14.754，15.146]；
    [解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：
    置信区间为：[XZ,XZ] 2nn2由题得：X1(14.615.114.914.815.215.114.95
    6 0.05Z0.0251.96n6 代入即得：[14.95所以为：[14.754,15.146] 13. [0.15，0.31]； [解] 由210.060.061.96,14.951.96] 662(n1S222得： 22(n1S222，2(n1S2212
    (n1S2(n1S2所以的置信区间为：[，] ， 22(11(11212将n12，S0.2代入得 [0.15，0.31].
    三、设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
    解：（1）矩估计 X ~ π (λ ，E (X = λ，故λˆ=X为矩估计量。
    n（2）极大似然估计L(λni1nλi1P(xi;λenλ，
    x1!x2!xn!ixinlnL(λxlnλlnx!nλ
    ii1i1dlnL(λdλxi1niλn0,解得λˆX为极大似然估计量。
    λxiλe,xi0,1, （其中p(xi;λP{Xxi}xi!
    四、设总体X具有分布律
    X Pk 1 θ2 2 2θ(1－θ
    3 (1－θ 2
    其中θ(0<θ<1为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
    解：（1）求θ的矩估计值
    E(X1θ222θ(1θ3(1θ2
    [θ3(1θ][θ(1θ]32θ令E(X32θX
    3X 则得到θ的矩估计值为θˆ2（2）求θ的最大似然估计值 似然函数L(θ312153
    26P{Xi13ixi}P{X11}P{X22}P{X31}
    ln L(θ =ln2+5lnθ+ln(1－θ 求导

    θ22θ(1θθ22θ(1θ5
    dlnL(θ510 dθ61θ5得到唯一解为θˆ
    6五、设X1，X2， X3， X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量
    T111(X1X2(X3X4 63T2(X12X23X34X45
    T3(X1X2X3X44
    （1）指出T1，T2， T3哪几个是θ的无偏估计量； （2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。 解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以
    E (Xi = θ, D (Xi = θ 2, i=1,2,3,4 由数学期望的性质2°，3°有
    E(T1E(T211[E(X1E(X2][E(X3E(X4]θ 631[E(X12E(X23E(X34E(X4]2θ
    5
    1[E(X1E(X2E(X3E(X4]θ
    4即T1，T2是θ的无偏估计量 E(T3（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4独立，知
    D(T1D(T2115[D(X1D(X2][D(X3D(X4]θ2 3691811[D(X1D(X2D(X3D(X4]θ2 164D (T1> D (T2
    所以T2较为有效。
    六、 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N ~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。
    σzα）解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（X， n20.61.96(5.608,6.392 计算得X6.0,查表z0.0251.96,σ0.6,即为(6.09Stα(n1）（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（X，计算得X6.0，查表n2t0.025(8=2.3060. 1910.33S(xix22.640.33.故为(6.02.3060(5.558,6.442
    8i1832第八章 假设检验
    一、选择题 答：
    1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.D
    二、填空题
    答：1.100 2. 1.176
    三、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25. 解：设测定值总体X～N（μ，σ 2），μ，σ 2均未知
    步骤：（1）提出假设检验H0：μ=3.25; H1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为tX3.25~t(n1
    Sn    2（3）H0的拒绝域为| t |≥tα(n1.

    （4）n=5, α = 0.01，由计算知x3.252,S1n1(Xi15iX20.01304
    查表t0.005(4=4.6041, |t|3.2523.250.343tα(n1
    0.0130425（5）故在α = 0.01下，接受假设H0 四、要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。试在显著水平α = 0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ。即需检验假设H0：μ≥1000，H1：μ<1000。
    解：步骤：（1）H0:μ≥1000；H1：μ<1000；（σ =100已知） （2）H0的拒绝域为x1000zα
    σn（3）n=25，α = 0.05，x950， 计算知x10002.5z0.051.645
    100    25 （4）故在α = 0.05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。
    五、某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆，设总体为正态分布。问在水平α = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？
    解：（1）提出H0：σ ≤0.005；H1：σ >0.005 2(n1S（2）H0的拒绝域为0.0052χα(n1
    2（3）n=9，α = 0.05，S=0.007，由计算知
    (n1S22280.007215.68χ(n1 22α0.0050.005查表χ0.05(815.507
    （4）故在α = 0.05下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显著地偏
    东华理工大学2010— 2011学年第 二 学期
    《概率论与数理统计》期末考试试卷（A1）
    一．填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
    1. 已知样本X1,X2,,X16取自正态分布总体N(3,1，X为样本均值，已知P{X}0.5，则 。

    2.已知p(Ap(Bp(C14,p(AB0,p(ACp(BC18，则A,B,C全不发生的概率为 。
    3. 设X~N(0,1,YX55, 则EY= ．
    4.设X在[2,b]服从均匀分布，X1,,Xn是从总体X中抽取的样本，则b的矩估计量为
    . 00.55.设随机变量 X 的分布函数为: F(x = 0.81(x1,(1x1,(1x3,(3x., 则X
    的概率分布律为___________________________ ．
    6.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为20.04，从某天生产的产品中随机抽取16个，测得直径平均值为10毫米，给定0.05，则滚珠的平均直径的区间估计为 .(Z0.051.645,Z0.0251.96. 7. 已知X~N(3,1，Y~N(2,1，且X,Y相互独立,记ZX2Y8,则Z服从的分布为 。
    一、填空题（每小题3分，共21分） (1 3 （2）1 （3） 5 （4） 2X2 （5）
    2    X
    -1 1
    3 (6 （9.9902， 10.0098） (7 N(1,5

    P 0.5 0.3
    0.2 二、选择题：(本大题共7小题，每小题2分，共14分
    1、设0P(A1,0P(B1,且P(A|BP(AB1，则下列正确的是( . (A A与B不相容

    (C A与B不独立 2、下列叙述中正确的是( . (A D( (B A与B相容 (D A与B独立
    XEXXEX1 (B ~N(0,1 DXDX22(C EX(EX (D EX2DX(EX2

    3、设是总体X中的参数，称(,为的置信度1a的置信区间，下面说话正确的是（ ）. (A 以(,估计的范围，不正确的概率是1a (B 以概率1a落入(, (C 以概率a落在(,之外 (D (,以概率1a包含 4、设(X,Y~f(x,yg(x,y0,(x,yG,D为一平面区域,记G,D的面积分别为,其它0SG,SD,则P{(x,yD}((A. SG (B f(x,ydxdy (C SDD2g(x,ydxdy (D
    GSDG SG5、设总体分布为N(,,若未知,则要检验H0:2100,应采用统计量(
    . (A XS/n(X (B i1n2iX (C (Xi1n2i (D (n1S21001002
    6、有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为4:1,1:2,3:2,已知这三类箱子数目之比为2:3:1，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ ）. (A 7
    15 (B
    19
    45 (C     5
    13 (D
    19
    307、设随机变量X的概率密度函数为f(x,f(xf(x,F(x是X的分布函数,则对任意 实数a有( . (A F(a1a0f(xdx

    (B F(a0f(xdx (D F(a2F(a1
    12    a(C F(aF(a

    二、选择题（每小题2分，共14分）
    D,A,D,B,B,A,B
    三、一座20层的高楼的底层电梯上了10位乘客，乘客从第3层起开始离开电梯，每一名乘客在各层离开电梯是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率。（7分） 解：设A表示事件没有两位乘客在同一层离开，则样本空间包含的样本点数为18，事件A包含的样本点数为P1018，因此10P18PA100.0445
    18    10
    四、已知随机变量X~N(1,32，Y~N(0,42，且X与Y相互独立，设Z(1 求E(Z；D(Z； (2 求YZ．(12分 解：(1E(ZEXY 321XY1E(XE(y
    232311110 ；
    332XYXYXY22D(ZDEZEZEE(
    323232X2XYY2EXEY2EX2EXEYEY21(= ； =E(934329349又因为EX2DXEX9110,EY2DY(EY216016
    222所以D(Z=101615； 9491(2Cov(Y,Z Cov(Y,1 3X2Y=E(YXYXYE(YE (
    323211112EEYE2EEYE 32328则YZ=
    五、某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006，每辆参加保险的汽车每年交保险费800元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元．试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱少于200000元的概率．（8分） 附：标准正态分布分布函数x表：
    CovY,ZDYDZ=825 545x x
    0.56 0.7123 0.57 0.7157 0.58 0.7190 0.59 0.7224 解：设A｛某辆汽车出事故｝，则PA0.006，设X表示运输公司一年内出事故的车数．则X~B500，0.006 ．
    保险公司一年内共收保费800500400000，若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算，则保险公司一年赚钱小于200000元，则在这一年中出事故的车辆数超过4辆．因此
    所求概率为
    PX4P 1P体X~NX5000.00645000.0065000.0060.9945000.0060.994
    ,2X5000.0060.5810.580.2810六、设总5000.0060.9942，其中0已知，是未知参数．X1，，Xn是从该总体中抽取的一个样本，求未知参数的极大似然估计量。（8分）

    解： 当0为已知时，似然函数为
    2L2n221n2exp2xi
    2i1n1n22因而 lnLln2 所以，由似然方程 xi222i11nlnL2xi0，解得xi，
    ni1di1d1n1n所以的极大似然估计量为XXi
    ni1七、设随机变量X与Y的联合密度函数为
    bx2yf(x,y0 (1 求常数b ；

    (2 求Y的边缘密度函数； （8分）


    解：（1）由(x2y1，（其他）.
        f(x,y1得到1dy01yybx2ydx21252bydy，解得b 0341（2）fYy
        752y212xydxy,0y1fx,ydxy42其他0,
    八、设随机变量X密度函数为fX(x,x，求YX的概率密度。（8分）


    解：当y0时，FYy0，当y0时，FYyP(YyPXyP(yXyfXxdx，
    y    yy00,因此fYyfXyfXyy0
    九、设某种产品的一项质量指标 X~N(1600,1502，现从一批产品中随机地抽取16件，测得该指标的均值 X1645．以0.05检验这批产品的质量指标是否合格？ (8分. (Z0.051.645,Z0.0251.96

    解：设H0:01600,H1:1600 当H0为真时，检验统计量为X0，给定显著性水平0.05，拒绝域为
    /nX0/n代入数据得z0.0251.96.
    X0/n164516001.21.96，落在拒绝域外，故接受H0即质150/16量指标合格.

    22十、设总体Y~N,，其中，0都是未知参数．Y1，，Yn是从该总体中抽取的一个样本，（6分）
    1n（1）试证明YYi为的无偏估计量。（普通班同学解答）
    ni11n22ˆYi为2的无偏估计量。（2）假设是已知的，试证明（实验班同学解答）
    ni12（1）因为Yi~N，,i1，2，，n, 所以E(Yi，则
    11n1nEYiEYin，
    nni1ni11n所以YYi为的无偏估计量。
    ni1(2因为Yi~N，2， 所以YiY2~N0，1，所以i~1 ，所以2
    Yi21n22ˆ，；因此， E1i1，2，，nEEYini12 En22nYi22nYi22YiEEn2 i1nni1ni1n1n2ˆYi是未知参数2的无偏估计． 所以，ni12

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