建立一元二次方程解计数等问题

学习目标：

1.学会一元二次方程解决数字问题、握手问题.

2.能够根据实际情况对所得结果进行分析决策.

学习重点：根据实际问题列出一元二次方程.

学习难点：从实际结合问题中抽象出数学模型.

一、知识链接

1.某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个足球队之间都要赛一场，计划安排28场比赛，可邀请多少支球队从参加比赛呢？

设邀请x支球队参加比赛，探究下列问题：

（1）根据“每两个足球队之间都要赛一场”，每支球队都要比赛______场.

（2）用含有x的代数式表示比赛的总场次为__________.于是可以得到方程____________.

二、新知预习

2..新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?

解： 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是_________元，每________台冰箱的销售利润为_________元，平均每天销售冰箱的数量为_________台，

根据题意，得

整理，得：_________________________.

解这个方程，得检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.

答：__________________________.

三、自学自测

1.如有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？

(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

四、我的疑惑

_____________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

一、要点探究

探究点1：列一元二次方程解决其他问题

问题1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.

解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为______则原数表示为_______,对调后新数表示为_______.

根据题意，得

整理，得：_________________________.

解这个方程，得检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.

答：__________________________.

【归纳总结】数字排列问题常采用间接设未知数的方法求解．(2)注意数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个，且最高位上的数字不能为0，而其他如分数、负数根不符合实际意义，必须舍去．

【针对训练】

有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14,交换为之后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数.

问题2：甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？

【针对训练】

1.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ）

A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73

C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73

2.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?

问题3：要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

训练】

元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ）

A.x2=1980 B. x(x+1)=1980

C. x(x- 1)=1980 D.x(x-1)=1980

问题4：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出60 0个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，某销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

【针对训练】

某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？

二、课堂小结

一元一次方程的应用 内容 运用策略

传播、裂变问

题 若设每轮传染x人，n轮后被传染的人数为_________. 弄清题意，分清类型

握手问题 x个同学彼此握手，握手册数为__________

比赛场次 x支足球队比赛，单循环赛制时比赛的总场次为________.双循环赛制时比赛的总场次为________.

数字问题 一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为________.

1.某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级一共有_______个班.

2.经研究发现，若是一个人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人患上流感，按照这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后换流感的人数共______人.

3.一个两位是，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积是736，则原来的两位数是_____.

4.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数．

5.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B运动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动，点P停止运动时点Q也停止运动．

(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?

(2)P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm?

当堂检测参考答案：

1.10

2.11

3.23或32

4.设个位数字为x，则十位数字为14－x，两数字之积为x(14－x)，两个数字交换位置后的新两位数为10x＋(14－x)．

根据题意，得10x＋(14－x)－x (14－x)＝38.

整理，得x2－5x－24＝0，解得x1＝8，x2＝－3.

因为个位数上的数字不可能是负数，所以x＝－3应舍去．

当x＝8时，14－x＝6.

所以这个两位数是68.

5.(1)设P，Q两点从出发开始x s时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据题意得PB＝AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm.

故12(2x＋16－3x)×6＝33，解得x＝5.

故P，Q两点从出发开始5s时，四边形PBCQ的面积为33cm2；

(2)设P，Q两点从出发开始xs时，点P和点Q的距离是10cm.

如图，过Q点作QM⊥AB于点M，则BM＝CQ＝2xcm，故PM＝(16－5x)cm.

在Rt△PMQ中，PM2＋MQ2＝PQ2，

∴(16－5x)2＋62＝102.解得x1＝85，x2＝245.

∵所求的是第一次满足条件的时间，∴x＝85.

故P，Q两点从出发开始85s时，点P和点Q的距离第一次是10cm.