第十六章 分式

分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子f2aba21207969d4fc71b01c0488b4b7a.png叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。

分式的意义：当A和B都表示有理数且B不等于0时，则式子f2aba21207969d4fc71b01c0488b4b7a.png表示一个分数。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。由于分式中的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式中的分母不能为9 ，即当B≠0时，分式f2aba21207969d4fc71b01c0488b4b7a.png才有意义。

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为

9a907b8406aa0e1f0ba1be4c9e6ce5d4.png ， 6576de3714983db82426fee5a7a7316b.png（C≠0），其中A，B，C是整式。

分式的约分与最简分式：与分数的约分类似，我们利用分式的基本性质，约去252ef9a88e2e7da998327a7c4a7ad7e2.png的分子和分母的公因式x，不改变分式的值，使252ef9a88e2e7da998327a7c4a7ad7e2.png化为561c8dd149081ff8dcbc4cae49ab2272.png，这样的分式变形叫做分式的约分。经过约分后的分式561c8dd149081ff8dcbc4cae49ab2272.png，其分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果化为最简分式或整式。

分式的通分与最简公分母：与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。

分式的运算：

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

e5a3795b988b3169bb464e488270c2c7.png 43b4e98800275cc9f19bbad953e0b899.png

在分式的计算中，运算结果应化为最简分式，分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分。

根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得：

分式的乘方：一般地，当n是正整数时，f55205c692e008adc70d12c3d41e88bc.png 即分式的乘方要把分子、分母分别乘方。d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母分式相加减：先通分，变为同分母分式，再加减。

107add14861570a5d0900329a8fe965b.png 9439482c8b61e6ebc38b8dd1bc72fea8.png

式与数有相同的运算法则：先乘方，再乘除，然后加减。

负数整数幂的意义；一般地，当n 是正整数时，18b5c481649b730d9e3fde72c6d30347.png，这就是说，1fb28718a4a8f37c83c0940a6ee258be.pnga97a523ed7bd1c3ee3b4ae20fbd0380d.png是556e7948e6054c074bd3bb564f2bc585.png的倒数。

整数指数幂的运算性质：

9e76f31c85ef9199caa24532a8f7b705.png ef366746c32a62099f6716bcfeb22fa9.png 7e9dc80de702e5a305c2829f98946037.png 15a894a4a3a56ab646fb1f7ed20b38a7.png 003bc664f75490103221b73699fb608e.png d3d51aa08923a55fdab624edffa20134.png

小数的科学记数法：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示为f2e361b283f043230ccbcccadfd5f10f.png的形式，其中0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png是整数数位只有一位的正数，n是正整数。这种形式不仅便于记数，而且便于比较熟的大小。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程的思路：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

注意：一般的解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

解与分式方程有关的应用题的一般步骤：

（1）审题，理解题意；（2）设未知数；（3）找出相等关系，列方程；（4）解这个分式方程；

（5）检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）写出答案．

审；设；列；解；答．

第十七章 反比例函数

反比例函数的定义：一般地，形如bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为常数，9c428c8e44c663f630d275d197d6a034.png）的函数称为反比例函数。bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png还可以写成624990db4b5fbcc7ac4962dfff4592ee.png56cb2620366f4925e40545641d7b6f65.png

反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数415290769594460e2e485922904f345d.png，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png（也叫做比例系数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png），分母中含有自变量9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，且指数为1；比例系数14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png；自变量9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的取值为不等于0的一切实数；函数415290769594460e2e485922904f345d.png的取值是一切非零实数。

反比例函数的图像：图像的画法：描点法：

1 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

2 描点（有小到大的顺序）

3 连线（从左到右光滑的曲线）

图像特征：反比例函数的图像是双曲线，bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为常数，14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png）中自变量7f36509f20b76eba66f86f3316fd7d8e.png，函数值8c3810987f5dda52afbac270f401519c.png，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交；反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png或9d41bad04520a29bdd62232e461f366c.png）。

k的几何意义：反比例函数bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png）中比例系数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的几何意义是：过双曲线bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png （14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png）上任意引9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴415290769594460e2e485922904f345d.png轴的垂线，所得矩形面积为b3142b2990f0d06e7431f1e424e10788.png。

反比例函数性质如下表：

反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png）

反比例函函数与实际问题的解题步骤：

1、审清题意，理解题目中关键信息。

2、分析题目中量的关系并用式子表示，构造自变量与因变量的关系。

3、通过函数关系，解决实际问题。

第十八章 勾股定理

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.证明方法：赵爽弦图。

勾股定理的应用：勾股定理常用于直角三角形中的计算。

常用的勾股定理模型：

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

勾股数：像3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

第十九章 四边形

平行四边形：

定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.

2. (角) 两组对角分别相等.

3.（线）对角线互相平分.

4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点.

判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

4. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形.

5. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

矩形

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD
矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形。
　　 3.有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

正方形：

(1)正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的矩形，又是一个特殊的有一个角是直角的菱形．

(2)正方形的性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角；四条边都相等且平行；正方形的两条对角线相等，并且互相互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．它有4条条对称轴．

(3)正方形的判定：

有一组邻边相等的矩形是正方形；

有一个是直角的菱形是正方形；

对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．

梯形

梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

等腰梯形：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

直角梯形：一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

等腰梯形的判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

(8)平移一腰，即从梯形的一个顶点___________________，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图(1)所示)；

(9)从同一底的两端__________，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形(图(2)所示)；

(10)平移对角线，即过底的一端__________，可以借助新得的平行四边形或三角形来研究梯形(图(3)所示)；

(11延长梯形的两腰__________，得到两个三角形，如果梯形是等腰梯形，则得到两个等腰三角形(图(4)所示)；

(12)以梯形一腰的中点为__________，作某图形的中心对称图形(图(5)～(6)所示)；

(13)以梯形一腰为__________作梯形的轴对称图形(图(7)所示)．

第二十章 数据的分析

统计基础知识：

1.加权平均数：加权平均数的计算公式。

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加权平均数=

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。
4.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
5.方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

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数据的收集与整理的步骤：

1.收集数据   2.整理数据   3.描述数据  4.分析数据   5.撰写调查报告  6.交流 

6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少受极端值的影响。