数学天地：

初一年级数学核心题目赏析

有理数及其运算篇

【核心提示】

有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.

通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.

【核心例题】

例1计算：

分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成，可利用通项，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.

解 原式=

=

=

=

word/media/image8_1.png例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图).化简.

分析 从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0.

解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0

所以， = -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c

例3 计算：

分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.

　　解 原式==

　 例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220.

　　分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.

解 原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）

=2-22-23-24-……-218+219

=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）

=2-22-23-24-……-217+218

=……

=2-22+23

=6

【核心练习】

1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求： 的值.

（提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1.）

2、代数式的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个）

【参考答案】

1、 2、3

字母表示数篇

【核心提示】

用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法.

【典型例题】

例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____

分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.

解 由3x-6y-5=0，得

所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==

例2已知代数式，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是 ，当x=-1时，代数式的值是 .

分析 当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.

解 当x=1时，

==3

当x=-1时，

==1

例3 152=225=100×1（1+1）+25， 252=625=100×2（2+1）+25

352=1225=100×3（3+1）+25， 452=2025=100×4（4+1）+25……

752=5625= ，852=7225=

（1）找规律，把横线填完整；

（2）请用字母表示规律;

（3）请计算20052的值.

　　分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.

　　解 (1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25

(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25

(3) 20052=100×200（200+1）+25=4020025

例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S表示三角形的个数.

（1）当n=4时，S= ，

（2）请按此规律写出用n表示S的公式.

word/media/image24_1.pngword/media/image25_1.pngword/media/image26_1.png

分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.

解 (1)S=13

(2)可列表找规律：

所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)

【核心练习】

1、观察下面一列数，探究其中的规律：

—1，，，，，

①填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ；

②第2008个数是什么？

③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.

2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,……请将你找出的规律用公式表示出来:

【参考答案】

1、①，，;②;③0.

2、1+n×(n+2) = (n+1)2

平面图形及其位置关系篇

【核心提示】

平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.

【典型例题】

例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个.　

分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.

解 找交点最多的规律：

word/media/image37_1.pngword/media/image38_1.pngword/media/image39_1.png

例2 两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（ ）条直线.

A．20 B．36 C．34 D．22

word/media/image40_1.png分析与解 让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D.

例3 如图，OM是∠AOB的平分线.射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______.

　 分析 求∠MON有两种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线，想办法和已知的∠AOC靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.

解 因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，

　　　 所以∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠COB

word/media/image42_1.png　 所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=（∠AOB-∠COB）=∠AOC=×80°=40°

例4 如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.

（1）求∠DOE的大小；

（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.

　　分析 此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE， 和OC在∠AOB内的位置无关.

解 (1)因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.

所以∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA

所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=（∠BOC+∠COA）=∠AOB

因为∠AOB=60°

所以∠DOE =∠AOB=×60°=30°

(2)由（1）知∠DOE =∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关.故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同.

【核心练习】

1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条.

2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分.

【参考答案】

1、15条 2、.

一元一次方程篇

【核心提示】

一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。

【典型例题】

例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值.

分析 因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入.

解 由2x+3=2a，得 2x=2a-3.

把2x=2a-3代入2x+a=2得

2a-3+a=2，

3a=5,

所以

例2 解方程

分析 这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况.

解 两边同时乘以6，得

6x-3(x-1)=12-2(x+1)

去分母，得

6x-3x+3=12-2x-2

6x-3x+2x=12-2-3

5x=7

x=

例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.

分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.

解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为

,原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得：

+8%=

解得 y=1.17x

故这种商品原来的利润率为=17%.

例4解方程 │x-1│+│x-5│=4

分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.

解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：

1）当x<1时，原方程可化为 –(x-1)-(x-5)=4，解得 x=1.因x<1，所以x=1应舍去.

2）当1≤x≤5时，原方程可化为 (x-1)-(x-5)=4，解得 4=4，所以x在1≤x≤5范围内可任意取值.

3）当x>5时，原方程可化为 (x-1)+(x-5)=4，解得 x=5.因x>5，故应舍去.

所以， 1≤x≤5是比不过的。

【核心练习】

1、已知关于x的方程3[x-2(x-)]=4x和有相同的解，那么这个解是 .（提示：本题可看作例1的升级版）

2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时.

【参考答案】

1、 2、4.8

生活中的数据篇

【核心提示】

生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的.

【典型例题】

例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）

研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：

（1）你是怎样设计统计图的？

（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法.

分析 选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的.

解 用复式条形统计图：（如下图）

从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场.

例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：

（1）三幅统计图分别表示了什么内容？

（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？

（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？

（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？

分析 这类问题可根据三种统计图的特点来解答.

解 （1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.

（2）折线统计图

（3）80亿，折线统计图.

（4）扇形统计图

【核心练习】

1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）哪国金牌数最多？

（2）中国可排第几位？

（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？

【参考答案】

1、（1）美国 （2）第3位 （3）俄罗斯.

平行线与相交线篇

【核心提示】

平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定.我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了.

这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么.写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了.

【典型例题】

例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条.

A．7 B．6 C．9 D．8

word/media/image57_1.png分析与解 这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数.也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线.故选D.

例2已知∠BED=60°, ∠B=40°, ∠D=20°,求证：AB∥CD.

分析 要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE可用内错角证明平行.过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD.连接BD，利用同旁内角互补也可证明.

解 延长BE交CD于O，

∵∠BED=60°, ∠D=20°，

∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,

∵∠B=40°，

∴∠BOD=∠B，

∴AB∥CD.

其他方法，可自己试试！

word/media/image58_1.png例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证： ∠EDF=∠BDF.

分析 由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论.

解 ∵CE⊥AB，DF⊥AB，

∴CE∥DF

∴∠EDF=∠DEC， ∠BDF=∠DCE，

∵AC∥ED，

∴∠DEC=∠ACE，

∴∠EDF=∠ACE.

∵CE是∠ACB的平分线，

word/media/image59_1.png∴∠DCE=∠ACE，

∴∠EDF=∠BDF.

例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数.

分析 已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数.

解 ∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，

∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，

∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA）=（180°-∠C）=45°，

∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°.

（注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-（180°-∠C）

=90°+∠C.

所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住.）

word/media/image60_1.png【核心练习】

word/media/image61_1.png1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α.(提示：本题可看作例2的升级版)

2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，

∠C=∠D，求证：∠A=∠F.

【参考答案】

1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线.

2、先证BD∥CE，再证DF∥AC.

三角形篇

【核心提示】

三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错.如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等.

word/media/image62_1.png【典型例题】

例1如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE.求证：△ADB≌△DEC.

分析 要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角.由条件∠1=∠B知，找角比较容易.通过外角可得到∠BDA=∠CED.

证明 ∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠1=∠B，

∴∠1=∠C，

∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1

∴∠BDA=∠CED.

在△ADB和△DEC中

word/media/image63_1.png，

∴△ADB≌△DEC （AAS）.

例2如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.

分析 要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等.下面给出第一种思路的过程.

证明 在AB上截取AF=AC，连接EF，

∵EA别平分∠CAB，

∴∠CAE=∠FAE，

在△ACE和△AFE中

，

∴△ACE≌△AFE（SAS），

∴∠C=∠AFE.

∵AC∥BD，

∴∠C+∠D=180°，

∵∠AFE+∠BFE=180°，

∴∠BFE=∠D.

∵EB平分∠DBA,

∴∠FBE=∠DBE

在△BFE和△BDE中

∴△BFE≌△BDE(AAS),

∴BF=BD.

∵AB=AF+BF,

∴AB=AC+BD.

word/media/image67_1.png例3如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB.求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ.

分析 观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等.证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°.

证明 （1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，

∴∠AEC=∠ADB=90°，

∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，

∴∠ABP=∠QCA

在△ABP和△QCA中

∴△ABP≌△QCA(SAS),

∴AP=AQ.

（2）由（1）△ABP≌△QCA，

∴∠P=∠QAC，

∵∠P+∠PAD=90°，

∴∠QAC+∠PAD=90°，

word/media/image69_1.png∴AP⊥AQ.

【核心练习】

1、如图，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则∠AFE=_____度.

word/media/image70_1.png

2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°AB=AC.D为AC中点，AE⊥BD，垂足为E.延长AE交BC于F.求证：∠ADB=∠CDF

【参考答案】

1、60

2、提示：作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF，再证△APD≌△CFD.

生活中的轴对称篇

【核心提示】

轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用.

【典型例题】

例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.

分析与解 根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的.

例2下列图形中对称轴条数最多的是( )

A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形

E.等边三角形 F.角 G.线段 H.圆 I.正五角星

分析与解 有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H.故选H.

word/media/image72_1.png例3 如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根.

分析 由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了.

解 每添加一根钢管，就形成一个外角.如添加EF形成外角∠FEA，添加FG形成外角∠GFB.可列表找规律：

当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了.故最多能添加这样的钢管8根.

例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？

分析 本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小.因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小.也可作B的对称点确定C点.

解 如图所示，C点即为所求饮水处的位置.

【核心练习】

1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意.

2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF.这个图形是轴对称图形吗？为什么？

【参考答案】

1、略

2、是轴对称图形，△ABC与△DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线.

通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变.不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效.