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实数的连续性公理证明确界存在定理

时间：2023-02-17 15:59:39 下载该word文档

实数的连续性公理证明确界存在定理定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），
它们都是等价的。下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知A、B不漏。又，则，使，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理，存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上，对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时，有。注意到，便有。故当n>N时有，于是。这就证明了。若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则。定理二证完。定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对，

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