课下能力提升(十三)　事件的独立性

一、填空题

1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．

2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．

3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．

4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．

5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．

二、解答题

6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：

(1)甲、乙两地都降雨的概率；

(2)甲、乙两地都不降雨的概率；

(3)其中至少一个地方降雨的概率．

7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.

(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？

(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．

8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.

(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

答案

1．解析：由题意知，A1是否发生，对A2发生的概率没有影响，所以A1和A2是相互独立事件．

答案：相互独立

2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．

据题意可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，

故P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

答案：

3．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.

答案：

4．解析：P＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.

答案：0.88

5．解析：设过第一关为事件A，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P(A)＝.设过第二关为事件B，记两次骰子出现的点数为(x，y)，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．

P(B)＝1－P(B)＝1－＝.

所以连过前两关的概率为：P(A)P(B)＝.

答案：

6．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为

P1＝0.2×0.3＝0.06.

(2)甲、乙两地都不降雨的概率为

P2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.

(3)至少一个地方降雨的概率为

P3＝1－P2＝1－0.56＝0.44.

7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．

(1)由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，

P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，

P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.

解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.

所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.

(2)记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D，则P()＝0.8，P()＝0.75，P()＝0.5，

于是P(D)＝1－P()

＝1－P()P()P()＝0.7.

所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.

8．解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，

∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.

(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．

∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1，2)．

∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，

一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，

∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)

＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．

由事件的独立性得

P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.