初二数学

考点二、平行四边形

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×高=ah

考点三、矩形

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等

（4）矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积

S矩形=长×宽=ab

考点四、菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

考点五、正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形（或菱形）

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

S正方形=word/media/image1.gif

4、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

第一章 实数

考点一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数word/media/image2.gifword/media/image3.gif

有理数 零 有限小数和无限循环小数word/media/image4.gif

实数 负有理数

正无理数word/media/image2.gifword/media/image3.gif

无理数 无限不循环小数

负无理数

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如word/media/image5.gif等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如word/media/image6.gif+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a的平方根记做“word/media/image7.gif”。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“word/media/image8.gif”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

word/media/image10.gif（word/media/image10.gifword/media/image11.gif0） word/media/image12.gifword/media/image9.gifword/media/image9.gif

word/media/image13.gif ；注意word/media/image8.gif的双重非负性：

-word/media/image10.gif（word/media/image10.gif<0） word/media/image10.gifword/media/image11.gif0

3、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：word/media/image14.gif，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做word/media/image15.gif的形式，其中word/media/image16.gif，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

word/media/image17.gifword/media/image18.gifword/media/image19.gif

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，word/media/image20.gif

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则word/media/image21.gif。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则word/media/image22.gif。

考点六、实数的运算

1、加法交换律 word/media/image23.gif

2、加法结合律 word/media/image24.gif

3、乘法交换律 word/media/image25.gif

4、乘法结合律 word/media/image26.gif

5、乘法对加法的分配律word/media/image27.gif

6、实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即word/media/image28.gif

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系word/media/image28.gif，那么这个三角形是直角三角形。

一元一次不等式（组）

1．不等式：用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式.

2．不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；

不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变.

3．不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集.

4．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是ax+b＞0或ax+b＜0 ，(a≠0).

5．一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应用；注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点.

6．一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组；注意：ab＞0 word/media/image29.gifword/media/image30.gif或word/media/image31.gif；

ab＜0 word/media/image32.gif word/media/image33.gif或word/media/image34.gif； ab=0 a=0或b=0；word/media/image35.gif a=m .

7．一元一次不等式组的解集与解法：所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集.

8．一元一次不等式组的解集的四种类型：设 a＞b

9．几个重要的判断： word/media/image44.gif, word/media/image45.gif,

word/media/image46.gif word/media/image47.gif

第七章：二次根式

1、形如word/media/image48.gif（word/media/image49.gif）的式子叫做二次根式，其中a为整式或分式，a叫做被开方式。

2、二次根式的性质：

⑴word/media/image50.gif (a≥0)

⑵word/media/image51.gif (a≥0)

⑶word/media/image52.gif

⑷word/media/image53.gif (a≥0;b≥0)

⑸word/media/image54.gif (a≥0 b＞0)

3、最简二次根式满足下列条件

(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式；

　　(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

4、二次根式的加减法

⑴同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方式相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

①判断两个根式是否为同类二次根式，首先应化为最简二次根式，观察每个最简二次根式的

被开方式是否相同。

②在没有化成最简二次根式以前，无法判断是否是同类二次根式。

⑵二次根式的加减法就是对同类二次根式进行合并。

5、根式的乘除法：

⑴分母有理化：把分母中的根号化去（分母有理化的依据是分式的基本性质）

⑵有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们相乘后的结果不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式

⑶分母有理化的方法：将分子分母同乘以分母的有理化因式。

5、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

考点三、函数及其相关概念

1、函数

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数的三种表示法：（1）解析法（2）列表法（3）图像法

3、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表（2）描点（3）连线

考点四、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果word/media/image55.gif（k，b是常数，kword/media/image56.gif0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数word/media/image55.gif中的b为0时，word/media/image57.gif（k为常数，kword/media/image56.gif0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数word/media/image55.gif的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数word/media/image57.gif的图像是经过原点（0，0）的直线。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数word/media/image57.gif有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数word/media/image55.gif有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式word/media/image57.gif（kword/media/image56.gif0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式word/media/image55.gif（kword/media/image56.gif0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。