极坐标与参数方程专题复习

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一、知识点总结

1.直线的参数方程

(1)标准式过点，倾斜角为的直线 (如图)的参数方程是

(t为参数)

定点加t个单位向量就是动点

于是，t的绝对值就是定点和动点间的距离，

(2)一般式 (t为参数)

转化为标准式

2.圆锥曲线的参数方程。“1”的代换

(1)圆 (是参数)

是动半径所在的直线与轴正向的夹角，∈

(2)椭圆 (为参数)

椭圆 (为参数)

3.极坐标

(1)极坐标与直角坐标互换。

(2)过原点倾斜角为的直线的极坐标方程：

(3)圆心在原点，半径为的圆极坐标方程：

二、例题示范

题型一、坐标的互化。（略）

题型二、参数方程的本质（表示点）。

1、点到点、点到直线距离的最值。参数方程看做点带入距离公式。

2、点的轨迹方程。参数方程看做点，同时使用跟踪点发。

例1．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；

（2）点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.

例2．在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与曲线的位置关系；

（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．

例3．已知动点，Q都在曲线C：（β为参数）上，对应参数分别为与（0＜＜2π），M为PQ的中点。

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

例4．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.

（1）求曲线的参数方程；

（2）若点的曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值.

题型三、直线参数方程的几何意义。定标图号联、韦达三定理。

例5．已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系，直线经过点，倾斜角．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；

（2）设与曲线相交于，两点，求的值．

例6．在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，的极坐标方程．

（Ⅰ）说明是哪种曲线，并将的方程化为普通方程；

（Ⅱ）与有两个公共点，顶点的极坐标，求线段的长及定点到两点的距离之积．

题型四、极坐标的几何意义。点到原点的距离。(直线必过原点)

例7．在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线与圆交于点，求线段的长．

例8．选修4-4：坐标系与参数方程

自极点任意作一条射线与直线相交于点，在射线上取点，使得，求动点的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.

参考答案

1．试题解析：（1）由消去参数，得直线的普通方程为，

由得，，即圆的直角坐标方程为.

（2），，，

时最小，此时.

2．试题分析：（1）可将直角坐标代入曲线的普通方程得在曲线内；（2）设点的坐标为，从而点到直线的距离为（其中），

时，取得最小值，且最小值为．

试题解析：（1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得，

曲线的普通方程为，把代入得，所以在曲线内．

（2）因为点在曲线上，故可设点的坐标为，

从而点到直线的距离为（其中），

由此得时，取得最小值，且最小值为．

3.【解析】（Ⅰ）由题意有, , ,

因此,

M的轨迹的参数方程为,(为参数, ).

（Ⅱ）M点到坐标原点的距离为

，

当时，，故M的轨迹过坐标原点.

4．试题解析：（1）将曲线：（为参数）化为，

由伸缩变换化为，代入圆的方程得，

即，可得参数方程为（为参数）.

（2）曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程：，

点到的距离，

∴点到的距离的最小值为.

5．试题分析：(1)利用,化为直角坐标方程,利用直线参数方程公式求出参数方程；(2)利用直线参数方程的几何意义求出弦长.

试题解析：（1）曲线化为，再化为直角坐标方程为，化为标准方程为，

直线的参数方程为（为参数）．

（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得，

，则，，

所以．

6．试题解析：（Ⅰ）是圆，的极坐标方程，

化为普通方程：即：．

（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线上，

将的参数方程为（为参数）代入中得：

化简得：

．设两根分别为，

由韦达定理知：

所以的长，

定点到两点的距离之积．

7．试题解析：（1）可化为，

故其极坐标方程为.……5分

（2）将代入，得，，..……10分

考点：直角坐标与极坐标互化，弦长公式.

8．试题解析：设，.

，.

又，.

则动点的极坐标方程为.………（5分）

极点在此曲线上，方程两边可同时乘，得.

. ………（10分）