1、物体的受力分析2、力的正交分解法

二、知识归纳、总结：

专题四：物体的受力分析

（一）物体的受力分析

物体之所以处于不同的运动状态，是由于它们的受力情况不同。要研究物体的运动，必须分析物体的受力情况。正确分析物体的受力情况，是研究力学问题的关键，是必须掌握的基本功。

如何分析物体的受力情况呢？主要依据力的概念，从物体所处的环境（有多少个物体接触）和运动状态着手，分析它与所处环境的其他物体的相互联系。具体的分析方法是：

1、确定所研究的物体，然后找出周围有哪些物体对它产生作用。

不要找该物体施于其他物体的力。比如所研究的物体叫A，那么就应该找出“甲对A”和“乙对A”及“丙对A”的力……而“A对甲”或“A对乙”等力就不是A所受的力。也不要把作用在其他物体上的力错误地认为通过“力的传递”作用在研究对象上。

2、要养成按步骤分析的习惯。

先画重力：作用点画在物体的重心。

其次画接触力（弹力和摩擦力）：绕研究对象逆时针（或顺时针）观察一周，看研究对象跟其他物体有几个接触点（面），某个接触点（面）若有挤压，则画出弹力，若还有相对运动或趋势，则画出摩擦力。分析完这个接触点（面）后再依次分析其他接触点（面）。

再画其他场力：看是否有电场、磁场作用，如有则画出场力。

3、画完受力图后再作一番检查。

检查一下画出的每个力能否找出它的施力物体，若没有施力物体，则该力一定不存在。特别是检查一下分析的结果，能否使研究对象处于题目所给的运动状态，否则必然发生了多力或漏力的现象。

4、如果一个力的方向难以确定，可用假设法分析。

先假设此力不存在，观察所研究的物体会发生怎样的运动，然后审查这个力应在什么方向时，研究对象才能满足给定的运动状态。

5、合力和分力不能重复地列为物体所受的力。

力的合成与分解的过程是合力与分力“等效替代”的过程，合力和分力不能同时存在。在分析物体受力情况时，如果已考虑了某个力，那么就不能再考虑它的分力。例如，在分析斜面上物体的受力情况时，就不能把物体所受重力和“下滑力”并列为物体所受的力，因为“下滑力”是物体所受重力在沿斜面方向上的一个分力。

例1、跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各拴一个物体，如图所示。物体A和B重均为2N，水平拉力F=12N。若物体A和B均处于静止状态，试分析物体A和B的情况，画出受力情况，画出受力的示意图，并计算各力的大小。

分析：根据各种力的概念和物体处于平衡状态，全面分析物体受力情况。针对静摩擦力是被动力的特点，判断物体A所受静摩擦力的方向。

解：物体受力情况如图所示。物体A和B均处于静止状态，它们所受合力均为零。物体B受重力GB和拉力F′，GB = F′=20N。物体A受重力GA =20N，水平拉力F=12N，绳子拉力F′=20N，水平面支持力FN = GA－F′sin30°=10N， F′水平分力为F′A= cos30° ≈17N。由于方向向左的F′水平分力比方向向右的水平拉力F大5N，所以物体A还受到5N静摩擦力作用，其方向应该向右，图中的FN应该为向右。

（二）力的合成和分解

1、合力与分力的关系是等效替代关系。

2、力的合成与分解都遵循平行四边形定则。计算时首先要根据题目要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或分解的图示，再根据数学知识解三角形求解合力与分力。主要是求解直角三角形问题，对于较简单的斜三角形问题，也应能利用正弦定理、余弦定理或相似三角形的知识求解，但不作为重点。

3、二力（F1F2）合成的合力（F）的取值范围为：|F1－F2|≤F≤（F1+F2）。

4、把一个已知力分解为两个互成角度的分力，如果没有条件限制，可以分解为无数对分力。要得到确定的答案，必须给出一些附加条件。如已知两个分力的方向，已知一个分力的大小及方向等。在实际问题中，要根据力产生的实际作用效果或处理问题的方便来决定如何分解。

5、力的正交分解：在很多问题中，常把一个力分解为互相垂直的两个分力，特别在物体受多个力作用时，把物体受到的各力都分解到互相垂直的两个方向上去，然后分别求每个方向上的力的代数和。这样就可把复杂的矢量运算转化为互相垂直方向上的简单的数学运算。

例2、如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时，AO所受压力最小。

解析：虽然题目问的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论。

以球为研究对象。球所受重力mg产生的效果有两个：对斜面产生了压力FN1，对挡板产生了压力FN2。根据得力产生的效果将重力分解，如图1-82所示。

当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，FN1大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；FN2的大小、方向均改变（图中画出一系列虚线表示变化的FN2）。由图可看出，当FN2与FN1垂直即β=90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力FN2min=mgsinα。

例3、水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示。则滑轮受到绳子的作用力为（g取10m/s2）

A、50N          B、50N          C、100N          D、100N

分析：细绳跨过滑点，则细绳上的张力处处相等。两段绳上的作用力间的夹角为。如图所示，据以前学过的结论知道，F合=F=100N。答：C。

专题五：力的正交分解法

1、定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫做力的正交分解法。

说明：正交分解法是一种很有用的方法，尤其适于物体受三个或三个以上的共点力作用的情怳。

2、正交分解的原理

一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得。当物体受到多个力的作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便。为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，分别求出两个不同方向上的合力Fx和Fy，然后就可以由F合=，求合力了。

说明：“分”的目的是为了更方便的“合”                                                               

正交分解法的步骤：

（1）以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x轴和y轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据方便自己选择。

（2）将与坐标轴不重合的力分解成x轴方向和y轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号Fx和Fy表示。

（3）在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出Fx、Fy的数学表达式。如：F与x轴夹角为θ，则Fx=Fcosθ，Fy=Fsinθ。与两轴重合的力就不需要分解了。

（4）列出x轴方向上的各分力的合力和y轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。

【典型例题】

例1、如图所示，用绳AC和BC吊起一个重100N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°。求：绳AC和BC对物体的拉力的大小。

解：此题可以用平行四边形定则求解，但因其夹角不是特殊角，计算麻烦，如果改用正交分解法计算简便得多。先以C为原点作直角坐标系，设x轴水平，y轴竖直，在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力。即：

FACx=FACsin30°=FAC    

FACy=FACcos30°=FAC

FBCx=FBCsin45°=FBC

FBCy=FBCcos45°=FBC

在x轴上，FACx FBCx大小相等

即FAC=FBC                                        （1）

在y轴上，FACy与FBCy的合力与重力相等

即FAC+FBC=100                   （2）

解（1）（2）得绳BC的拉力

FBC=25（－）N=25（－1）N

绳AC的拉力FAC=50（－1）N

例2、如图所示，重力为500N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。

分析：人和重物静止，所受合力皆为零，对物分析得到，绳拉力F等于物重200N；人受四个力作用，将绳的拉力分解，即可求解。

解：如图所示，将绳的拉力分解得

水平分力

Fx=Fcos60°=200×N=100N

竖直分力

Fy=Fsin60°=200×N =100N

在x轴上，F′与Fx二力平衡

所以静摩擦力F′=Fx  =100N

在y轴上，三力平衡得地面对人支持力

FN =G－Fy =（500－100）N=100（5－）N   

例3、如图所示：将重力为G的光滑圆球用细绳拴在竖直墙壁上，如图，当把绳的长度增长，则绳对球的拉力T和墙对球的弹力N是增大还是减小。

       解：根据球的平衡条件=0用已知力G求未知力T、N。

       （1）明确对象，作受力分析，如图（a），球受G、N、T，设绳与墙夹角为θ。

图（a）

       （2）选用方法：

A、合成法：因为=0。所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等，方向相反。如图 （b），N、G合力T'，T'=T根据平行四边形法则，则在

图（b）

B、分解法：因为=0。所以其中任一个力在其它两个力方向的分力均与该力大小相等、方向相反而平衡。如图（c），在T、N方向上分解G有T'=T，N'=N。仍可看。

图（c）

C、用正交分解法：建立直角坐标系。如图（d），因为球受=0，必同时满足，

。对三种解法要深刻理解，针对具体问题灵活运用，讨论结果：

图（d）

【模拟试题】

1、关于重心，下列说法正确的是：

       A、重心就是物体内最重的一点

       B、重心是物体各部分所受重力的合力的作用点

       C、任何形状规则的物体，它的重心必在其几何中心

       D、重心是物体所受重力的作用点，所以重心总是在物体上，不可能在物体外

2、关于弹力，下述说法正确的是

       A、通常所说的压力、支持力和绳的拉力都是弹力

       B、轻绳、轻杆上产生的弹力方向总是在绳、杆的直线上

       C、两物体相互接触一定有弹力存在

       D、压力和支持力的方向总是垂直于接触面

3、一根轻弹簧，当它在100牛的拉力作用下，总长度为 0.55米；当它在300牛的压力作用下总长度为0.35米。则弹簧不受外力作用时自然长度为多少？

4、如图所示，A叠放在B上，B放在斜面上，AB处于静止状态。下列叙述正确的是

       A、B相对A与相对斜面的运动趋势相同

       B、B相对A的运动趋势方向沿斜面向上，相对斜面沿斜面向下

       C、A相对B的静摩擦力沿斜面向上

       D、斜面相对B的运动趋势方向沿斜面向上

5、如图所示，用水平力F将物体压在竖直墙壁上，保持静止状态，物体所受摩擦力的大小

       A、随F的增大而增大

       B、随F的减小而减小

       C、等于物体重力的大小

       D、可能大于物体重力的大小

6、如图18所示四种情况中物体A都受到静摩擦力的作用，v和a表示共同前进的速度和加速度方向，其中物体A所受静摩擦力的方向与它的对地速度方向相反的是哪一种？

7、如图所示，木块受到和摩擦力等三个水平力作用，静止在水平面上；若撤去，木块所受的合力

       A、大小为8N，水平向右

       B、大小为4N，水平向左

       C、大小为2N，水平向右

       D、等于零

8、如图所示，甲、乙、丙三个质量相同，与地面动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F，它们受到摩擦力大小的关系是

       A、三者相同                                    B、乙最大

       C、丙最大                                        D、已知条件不够，无法判断谁最大

9、如图所示，小物体m放在质量为M的物体上，M系在固定在O点的水平轻弹簧的一端且置于光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，将M向右拉离平衡位置x，然后无初速释放，在以后的运动中，M和m保持相对静止，那么m在运动中受到的最小和最大摩擦力各是多少？

【试题答案】

1、正确选项B。注意选项C中没明确质量分布均匀这一重要的制约条件。

2、正确选项A和D。对于选项B中，轻杆上产生弹力方向可以不沿杆直线方向，因为杆可以产生弯曲形变。对于选项C，相互接触物体可以不产生形变，所以相互接触物体不一定有弹力存在。例如图所示，竖直悬挂的小球与斜面接触而保持静止小球只受重力和绳张力而平衡，不受斜面支持力，从另外一个角度分析，若物体受斜面支持力，就一定要有向左的加速度而不能保持静止。

3、设弹簧原长为，根据胡克定律，，即，解之得米。注意两次形变方向不同。列方程时要注意。答案0.50米。

4、判断相对运动趋势可以设接触面光滑从而转化成相对运动问题。

       A相对B和斜面有下滑趋势，B相对斜面有下滑趋势，B相对A有上滑趋势；A受B的静摩擦力沿斜面向上，A对B的静摩擦力沿斜面向下。正确选项BD。

5、由题意可知静摩擦力的大小等于物体重力，增加F的大小只能增大墙与物的最大静摩擦力而不会影响物体平衡时静摩擦力等于重力这一结果。所以正确选项是C。也可以进一步设想只要摩擦力不等于重力，竖直方向就不会是平衡状态而与题意不符。

6、正确选项是D。在A中静摩擦力向右，充当动力且，f与v同向；B中摩擦力沿斜面向上f与v同方向；C中静摩擦力指向圆心充当向心力，f与v垂直；D中上面物体加速向右，它给A的静摩擦力向左，f与v方向相反。

7、由题意可知平面可以对物体提供0—6N的静摩擦力，当撤去之后，平面给物体向左2N的静摩擦力就可以使物体平衡，所以物体受合力为零，正确选项是D。

8、由于题目没有给出物体的质量，动摩擦因数的大小，F的大小，因此就无法判断物体的运动状态，也就不能判断是静摩擦力还是滑动摩擦力，所以正确选项是D。读者还可以进一步探讨：假设是静止或水平运动条件下三者摩擦力的关系。

9、m与M一起做简谐振动，在平衡位置加速为零。而只有M对m水平方向的静摩擦力才能使m产生水平方向加速度，维持共同的简谐振动。所以m运动中在平衡位置受到摩擦力最小等于零。M与m系统有最大加速度a时是位移为x时。，此时对m的最大静摩擦力，所以m的最小静摩擦力为零，最大静摩擦力为。