安徽省合肥市包河区大地中学2020-2021学年九年级第一次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列函数一定是关于x的二次函数的是( )

A． B． C． D．

2．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的物物线解析式是( )

A． B．

C． D．

3．抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为（　　）

A． B．2 C．2 D．2

5．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是( )

A． B． C． D．

6．若抛物线()恒在轴下方，则常数应满足（ ）

A． B．

C． D．

7．函数与的图象如图所示，有以下结论:① ② ③④当时，．其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．在下列函数图象上任取不同两点、，一定能使成立的是（　　）

A． B．

C． D．

9．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）

A． B．

C． D．

10．三个关于的方程：，已知常数，若、、分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（ )

A． B．

C． D．不能确定的大小

二、填空题

11．若(-2，5)、(4，5)是抛物线上的两点，则它的对称轴是_____________．

12．二次函数的图象绕其顶点旋转180°后所得图像的解析式是_____________．

13．二次函数，当时，的取值范围是_____________．

14．如图，点在双曲线上，且点A的横坐标为3，过作⊥轴，垂足为，的垂直平分线交于，则的面积为________________．

三、解答题

15．已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，-2)．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）判断点(3，5)是否在这个二次函数的图像上，并说明理由．

16．用配方法将二次函数转化为顶点式，并写出其对称轴和顶点坐标．

17．已知抛物线交y轴于负半轴，且与轴有两个不同的交点．

（1）求c的取值范围；

（2）若抛物线经过点、点和点，试比较的大小．

18．二次函数y＝a(x－h)2的图象如图，已知a＝，OA＝OC，试求该抛物线的解析式．

19．如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4，0)，等腰直角三角形的直角顶点在反比例函数的图象上．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）把向右平移个单位长度，对应得到．当这个函数图象经过一边的中点时，求的值．

20．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m，跨度为10m，把它放在图示平面直角坐标系中．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）通过计算说明，现有一辆宽4m，高3.2m的厢式货车能否安全通过此隧道?

21．如图，一次函数(，为常数，)的图象与反比例函数()的图象交于点与点；

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据图象直接写出当为何值时，；

（3）求出的面积．

22．如图，抛物线（）经过三点；

（1）写出不等式的解集；

（2）点为第四象限内抛物线上一动点，求以四点构成的四边形面积的最大值．

23．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?

参考答案

1．A

【分析】

根据二次函数的定义逐项判断即可得．

【详解】

A、，此项符合题意；

B、不满足二次函数的定义，此项不符题意；

C、中的不满足二次函数的定义，此项不符题意；

D、当时，不满足二次函数的定义，此项不符题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，熟记定义是解题关键．

2．D

【分析】

根据抛物线平移法则“左加右减，上加下减”得到新抛物线解析式，整理即可．

【详解】

解：将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的新抛物线解析式是，即．

故选：D

【点睛】

本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移法则是解题的关键．

3．C

【分析】

先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．

【详解】

当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，

当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，

所以抛物线与坐标轴有2个交点．

故选C．

【点睛】

本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．

4．B

【分析】

过D作DE⊥OA于E, 设D (m,), 于是得到OA=2m, OC=, 根据矩形的面积列方程即可得到k.

【详解】

解：如图

过D作DE⊥OA于E, 设D (m,),

OE=m.DE=，点D是矩形OABC的对角线AC的中点,

OA=2m，OC=,

矩形OABC的面积为8,

OA.OC==8,

k=2,

故答案为: 2.

【点睛】

本题主要考查反比列函数k的几何意义及反比列函数图像上点的坐标特征.

5．C

【分析】

根据二次函数表达式可有对称轴是直线x=m且开口向上，而对称轴左侧随的增大而减小，即可得到结论．

【详解】

解：∵函数对称轴是直线x=m，且开口向上，

∴对称轴左侧随的增大而减小，

∵当时，随的增大而减小，

∴．

故选：C．

【点睛】

主要考查二次函数的性质，要求学生能够根据函数关系式推断函数图像性质和特征，准确判断对称轴．

6．D

【分析】

若抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)恒在x轴下方，应满足抛物线开口向下，抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与 x轴无交点，方程ax2+bx+c =0(a≠0)没有实根．所以△=b2-4ac<0

【详解】

∵ax2+bx+c=0，△=b2-4ac<0，

∴方程ax2+bx+c=0无实根，

∴抛物线与x轴无交点，

∵抛物线开口向下a<0，

∴则抛物线的函数值均为负，即y<0，

∴抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)恒在x轴下方，

故选择：D．

【点睛】

本题考查抛物线的值恒为负问题，关键是考虑y=0时，方程无实根，使用判别式△<0，会用开口方向向下即a<0，函数值为负得以解决．

7．C

【分析】

利用判别式的意义对①进行判断；利用x=1，y=1可对②进行判断；利用x=3，y=3对③进行判断；根据1＜x＜3时，x2+bx+c＜x可对④进行判断．

【详解】

解：∵抛物线与x轴没有公共点，

∴△=b2-4c＜0，所以①错误；

∵x=1，y=1，

∴1+b+c=1，

即b+c=0，所以②正确；

∵x=3，y=3，

∴9+3b+c=3，

∴3b+c+6=0，所以③正确；

∵1＜x＜3时，x2+bx+c＜x，

∴x2+（b-1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，所以④正确．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．

8．D

【分析】

根据各函数的增减性依次进行判断即可．

【详解】

A、∵

随的增大而增大，即当时，必有

当时，，

故A选项不符合；

B、∵对称轴为直线，

当时随的增大而增大，当时随的增大而减小，

当时：当时，必有

此时，

故B选项不符合；

C、当时，随的增大而增大，

即当时，必有

此时，

故C选项不符合；

D、∵对称轴为直线，

当时随的增大而减小，

即当时，必有

此时，

故D选项符合；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一一分析，有点难度．

9．C

【分析】

直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；

根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．

【详解】

解：由方程组得ax2＝−a，

∵a≠0

∴x2＝−1，该方程无实数根，

故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．

A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；

C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；

D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．

故选C．

【点睛】

本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．

10．A

【分析】

由y=a（x+1）（x-2）=a（x-）2-a得到顶点坐标是（，-a），抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（2，0）据此作出函数图象，结合函数图象作出判断．

【详解】

解：∵a1＞a2＞a3＞0，

∴二次函数y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）开口大小为：y1＜y2＜y3．

∴其函数图象大致为：

．

∴x1＜x2＜x3．

故选：A．

【点睛】

考查了抛物线与x轴的交点，解题的技巧性在于根据题意作出函数图象，由函数图象直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化．

11．

【分析】

根据抛物线的对称性可知，对称轴即为与x轴的两点交点横坐标的平均数．

【详解】

∵(-2，5)、(4，5)是抛物线上对称的两点，

∴抛物线的对称轴为．

故答案是：．

【点睛】

本题考查了抛物线的对称性，对称轴的求法．抛物线是关于对称轴成轴对称图形．

12．y=-2x2+4x-1

【分析】

利用旋转性质，形状顶点不变，开口大小不变，由于转转180º，开口向下，a变负，为此先把原抛物线解析式配方变顶点式即可．

【详解】

y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1，

抛物线的顶点为（1，1），

抛物线y=2x2-4x+3绕顶点旋转180º，

开口向下，开口大小不变，顶点不变，

则所求抛物线解析式为y=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1，

抛物线解析式为y=-2x2+4x-1，

故答案为：y=-2x2+4x-1．

【点睛】

本题考查旋转后抛物线解析式问题，关键是掌握旋转不变形顶点不变，开口大小不变，只是开口方向改变，会利用不变形解决抛物线顶点问题，利用开口方向与大小确定a,是问题得以解决．

13．-5≤y＜13．

【分析】

先求出对称轴，再求出y的最小值，然后再判定出-1和4与对称轴距离的远近，距离较大的为y的最大值．

【详解】

解：∵

∴函数图像开口向上，对称轴为ｘ＝=1

当x=1时，y的最小值为-5

∵1-（-1）=2＜3=4-1

∴当x=4时，y的最大值为13

∴的取值范围是-5≤y＜13．

故答案为-5≤y＜13．

【点睛】

本题主要考查了求二次函数函数值的取值范围，灵活应用二次函数图像的性质是解答本题的关键．

14．

【分析】

要求△ABC的面积，AC已知，求BC，由DB为AO的垂直平分线，则OB=AB，由AB+BC=OC=3，,在Rt△ABC中，由勾股定理得，可求BC即可．

【详解】

y=，点A在反比例函数上，x=3，则y=2，A(3，2)，

由DB为AO的垂直平分线，则OB=AB，设BC=a，则OB=3-a，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AC=2，AB=OB=2-a，a2+22=(3-a)2，

a=，

S△ABC=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查三角形面积为题，关键是利用反比例函数，解决OC与AC，利用垂直平分线， 将OB转化为AB，可以利用BC表示AB，利用勾股定理求BC问题得以解决．

15．（1）；（2）不在，理由见解析

【分析】

（1）根据待定系数法写出函数顶点式，然后代入(0，0)即可求解；

（2）将x=3代入函数解析式，判断y是否等于5即可．

【详解】

（1）∵顶点坐标是(1，-2)

∴设函数表达式为

当x=0，y=0时，有，解得a=2

∴函数表达式为

（2）当x=3时，有

∵

∴点(3，5)不在这个二次函数的图像上

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，问题的关键是熟练掌握二次函数的三种表达形式：一般式，双根式（两点式）和顶点式，根据题意选择合适的表达式是本部分的重点．

16．顶点式为，对称轴为：直线，顶点坐标为

【分析】

根据完全平方公式对函数解析式进行配方，并根据函数解析式与图象的关系写出函数图象的对称轴和顶点坐标．

【详解】

由配方法得：

∴二次函数的顶点式为

∴二次函数图象的对称轴为：直线，顶点坐标为．

【点睛】

本题考查二次函数的顶点式及其顶点坐标，熟练利用配方法把二次函数解析式化为顶点式．

17．（1）c＜0；（2）m＞n＞q

【分析】

（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；

（2）把x=-2，3和1分别代入y=2x2-4x+c，求出相应的m，n，q的值即可比较大小．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点，

∴△=b2-4ac=16-8c＞0，

∴c＜2，

又∵抛物线交y轴于负半轴，

∴c＜0；

（2）当x=-2 时，m=16+c；

当x=3时，n=6+c；

当x=1时，q=-2+c；

∵16+c＞6+c＞-2+c，

∴m＞n＞q

【点睛】

本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数函数图象的增减性是解题的关键．

18．y＝(x－2)2

【分析】

把a的值代入二次函数解析式，根据OA=OC求出h的值，即可确定出解析式．

【详解】

解：由题意，得C(h，0)，

∵OA＝OC，∴A(0，h)．

将点A坐标代入抛物线解析式，得h2＝h

.∴h＝2或0(不合题意，舍去)．

∴该抛物线的解析式为y＝(x－2)2.

【点睛】

此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于把坐标代入解析式求解.

19．（1）；（2）1或3

【分析】

（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等腰直角三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；

（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，根据等腰直角三角形的性质得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．

【详解】

（1）如图1，过点A作AC⊥OB于点C，

图1

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，OC＝OB，

又∵B（4，0），

∴OC＝2，AC＝2．

∴A点坐标为（2，2）

把点A（2，2）代入y＝，得k＝4．

∴反比例函数的解析式为；

（2）分两种情况讨论：

①如图2，点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．

由题意得A′B′＝，∠A′B′E＝45°，

在Rt△DEB′中，B′D＝，DE＝1，B′E＝1．

∴O′E＝3，

把y＝1代入，得x＝4，

∴OE＝4，

∴a＝OO′＝4﹣3＝1；

②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．

由题意得A′O′＝，∠A′O′B′＝45°，

在Rt△FO′H中，FH＝1，O′H＝1．

把y＝1代入，得x＝4，

∴OH＝4，

∴a＝OO′＝4﹣1＝3，

综上所述，a的值为1或3．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上的坐标特征、等腰直角三角形的性质、坐标与图形变化-平移，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式，对于题（2）要注意分类讨论．

20．（1）y=（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由见解析．

【分析】

（1）先确定抛物线的顶点坐标以及x轴的的交点坐标，然后运用待定系数法解答即可；

（2）根据货车宽度求出抛物线解析式中的x值，再求出对应的y的值，再与货车高度比较即可解答．

【详解】

解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，4），与x轴的两个交点坐标为（0，0）

设抛物线解析式为y=a（x-5）2+4，

把（0，0）代入，得：0= a（0-5）2+4，解得a=

所以抛物线解析式为：y=（x-5）2+4；

（2）货船能从桥下通过，理由如下：

∵货船宽为2米，高为3米，

∴当x=6时，y=（6-5）2+4=3.84>3．

∴货船能从桥下通过．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键在于熟练运用二次函数解决实际问题．

21．（1）y1=-2x+10，；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）15．

【分析】

（1）先根据B点坐标求出k2，确定反比例函数解析式；再根据反比例函数解析式求出A点坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可；

（2）直接根据A、B的坐标写出答案即可；

（3）如图：连接AO、BO,先根据一次函数解析式确定C、D的坐标，进而求得△ACD的面积，再求出△AOC和△BOD的面积，最后用S△AOB=S△ACD-S△AOC-S△BOD求解即可．

【详解】

解（1）把点B（4，2）代入反比例函数得，k2=4×2=8

∴反比例函数的解析式为

将点A（m，8）代，解得m=1

∴A（1，8）

将A、B的坐标代入，得

，解得

∴一次函数的解析式为y1=-2x+10；

（2）如图；∵A（1，8），B（4，2）

∴，即的解集为0＜x＜1或x＞4；

（3）如图：连接AO、BO

∵y1=-2x+10

∴C（0,10），D（5，0），即OD=10,OC=5

∴S△ACD= , S△AOC= S△BOD=

∴S△AOB=S△ACD-S△AOC-S△BOD=25-5-5=15．

【点睛】

本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、运用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及拼凑法求不规则三角形的面积，掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键．

22．(1)x<-1或x>5

(2)

【分析】

（1）抛物线（）经过 过点可求>0，抛物线开口向上，满足，在两根之外x<-1或x>5，

（2）过M与BC平行直线：y=x交y轴于E，过E作ED⊥BC直线于D，点为第四象限内抛物线上一动点，由A，B，C为顶点三角形面积是定数，则△BCM面积最大即可，在Rt△OBC中BC=，CE=，证△OBC∽△DEC，求出，S△CBM最大=，S四边形ACMB最大= S△ABC+S△CBM．

【详解】

（1）抛物线（）经过三点，

由A、B得，过点C

，

，

>0，

，

抛物线开口向上，

，

x<-1或x>5，

(2) 设CB解析式y=kx+b，过，

，

，

y=x-，

点为第四象限内抛物线上一动点，以四点构成的四边形面积的最大值，

由A，B，C为顶点，AB=5-（-1）=6，OC=，

S△ABC=AB•OC=，

要使以四点构成的四边形面积的最大值，

则△BCM面积最大，

设过M与BC平行的直线为y=x+n，

与抛物线相切，

，

，

，

，

过M与BC平行直线：y=x，

y=x交y轴于E，过E作ED⊥BC直线于D，

在Rt△OBC中BC=，

CE=，

∠CDE=∠COB=90º，∠DCE=∠OCB，

∴△OBC∽△DEC，

，

，

S△CBM最大=，

S四边形ACMB最大= S△ABC+S△CBM=+=．

【点睛】

本题考查抛物线在x轴上方的范围，及四边形的最大面积问题，（）用待定系数法求，用>0，抛物线开口向上，会用两根的范围，会求直线解析式，点为第四象限内抛物线上一动点，以四点构成的四边形面积的最大值．会用分割法A，B，C为顶点三角形面积是定数，则△BCM面积最大需解决，利用过M与BC平行的直线为y=x+n与抛物线相切，求与y轴的交点E，利用相似△OBC∽△DEC求最大距离解决问题．

23．(1) y=－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15且x为整数); (2) 每件55元或56元时，最大月利润为2 400元;(3)见解析.

【解析】

试题分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件,得

（0＜x≤15且x为整数）；

（2）把进行配方即可求出最大值，即最大利润.

（3）当时，，解得：,．

当时，，当时，．

当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．

试题解析：（1）（且为整数）；

（2）．

∵a=-10＜0，

∴当x=5.5时,y有最大值2402.5．

∵0＜x≤15且x为整数，

∴当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+6=56，y=2400（元）

∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当时，，解得：,．

∴当时，，当时，．

∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．

∴当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．

∴当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．

考点：1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用.