课 题

1．1正弦定理和余弦定理

1．1.1　正弦定理

第 课时

教

学

目

标

1．知识与技能

(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题．

2．过程与方法

通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法．

3.情感、态度与价值观

(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识；

(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数学的价值，不断提高自身的文化修养．

教学重点

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

教学难点

正弦定理的发现和证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断．

教学方法

讲练结合

教学过程：步骤、内容、教学活动

二次备课

【问题导思】　 正弦定理

1．如图在Rt△ABC中，C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∠A、∠B与∠C的正弦值有怎样的关系？

【提示】　∵sin A＝，sin B＝，

∴＝＝c.

　又∵sin C＝sin 90°＝1，∴＝＝.

2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？

【提示】　成立．

3．钝角三角形中呢？

【提示】　成立．

1．正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：

＝＝.

2．三角形中的元素与解三角形

(1)三角形的元素

把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．

(2)解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(对应学生用书第3页)知识运用 已知两角及一边解三角形

例1在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．

【思路探究】　(1)由sin B＝能解出∠B的大小吗？∠B唯一吗？

(2)能用正弦定理求出边b吗？

(3)怎样求其他边与角的大小？

【自主解答】　∵sin B＝，

∴B＝30°或150°，

当B＝30°时，由A＝60°得，C＝90°；

当B＝150°时，不合题意，舍去．

由正弦定理可得：＝＝.

故b＝·a＝×3＝，

c＝·a＝×3＝2.

1．解答本题时首先应把已知条件sin B＝进行转化，把问题化归为已知两角及一边解三角形问题，要注意当B＝150°时不合题意．

2．解决已知两角及一边类型的解题方法是：

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．

(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．

在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝60°，则b等于(　　)

A. 　　　　　　　　　　B.

C. D.

【解析】　因为A＝75°，B＝60°，所以C＝180°－75°－60°＝45°.因为c＝，根据正弦定理得＝，所以b＝＝＝.

【答案】　A

已知两边及一边的对角解三角形

例2　在△ABC中，若c＝，C＝，a＝2.求A，B，b.

【思路探究】　(1)条件中已知边c和其对角C，又知边a，能否用正弦定理求得A值？

(2)求得A值后，怎样求其他元素？

【自主解答】　由＝，得sin A＝＝.

∴A＝或A＝π.

又∵c>a，∴C>A，∴只能取A＝，

∴B＝π－－＝，b＝＝

＝＋1.

1．解题时由已知条件用正弦定理直接得到的是sin A的值，由sin A求A可能有两种情况，要根据题意进行取舍．

2．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：

(2013·青岛高二检测)在△ABC中，已知b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形的解的情况是(　　)

A．一个解　　　 B．两个解

C．无解 D．无法确定

【解析】　∵bsin C＝30×sin 26°<30×sin 30°＝15＝c，

∴bsin C<c<b，故此三角形有两解．

【答案】　B

判断三角形的形状

例3在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．

【思路探究】　(1)正弦定理的变形公式有哪些？能否用这些变形公式把已知条件sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三边的关系？

(2)对于条件sin A＝2sin Bcos C，我们能否利用三角形中三内角的关系将其化为某一个角的三角函数式？

【自主解答】　法一　在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)．

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

∴()2＝()2＋()2，即a2＝b2＋c2.

∴A＝90°，∴B＋C＝90°.

由sin A＝2sin Bcos C，

得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)，

∴sin2B＝.∵B是锐角，∴sin B＝.

∴B＝45°，C＝45°.

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二　在△ABC中，根据正弦定理：sin A＝，sin B＝，sin C＝ (R为△ABC外接圆半径)．

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形且A＝90°.

∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，

∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C.

∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，

即sin (B－C)＝0，∴B－C＝0，即B＝C.

∴△ABC是等腰直角三角形．

1．判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．

2．正弦定理的变形公式：

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

实际题目中，我们是通过以上两个变形公式完成边化角和角化边的．

(2013·淄博高二期中)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos A＝bcos B，则△ABC一定是(　　)

A．等腰三角形　　　　B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【解析】　由正弦定理，已知条件可以变形为sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A＝sin 2B，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，△ABC为等腰三角形或直角三角形．

易错专练 解三角形时忽视大边对大角致误

　在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝，求B.

【错解】　∵＝，

∴sin B＝＝＝，

∴B＝30°或150°.

【错因分析】　本题解答忽略了题目中的隐含条件a>b，从而A>B.

【防范措施】　已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角时，要分清是大边对的角还是小边对的角，从而确定解的情况．

【正解】　∵＝，

∴sin B＝＝＝.

∵a>b，∴A>B，

∴B为锐角．故B＝30°.

巩固练习

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　)

A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.

【解析】　由正弦定理＝，知sin B＝＝＝.

【答案】　A

2．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)

A. B.

C. D.

【解析】　∵＝，∴sin A∶sin B＝a∶b＝.

【答案】　A

3．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝________.

【解析】　由正弦定理得sin A＝2sin B·sin A，

∵sin A≠0，∴sin B＝.

又0<B<180°，∴B＝60°或120°.

【答案】　60°或120°

4．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°.求b.

【解】　A＝180°－60°－75°＝45°，

由正弦定理＝，

得b＝＝＝4.

【课堂小结】

1．正弦定理主要解决了两类问题：即“已知两边和其中一边的对角”、“已知两角和任一边”解三角形．对于“已知两边及其中一边的对角”解三角形时，由于三角形的形状不确定，会出现两解、一解和无解的情况，需要特别注意．

2．在解三角形时，除了恰当地运用正弦定理外，还要注意与三角的其他知识相结合，如三角形内角和定理，大边对大角，三角恒等变换公式等等.

布置作业

教材第4页 练习 1、2题

板

书

设

计

教

学

反

思

课 题

1．1.2　余弦定理

第 课时

教

学

目

标

1．知识与技能：理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题．

2．过程与方法：通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力．

3．情感、态度与价值观：探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想．通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义．

教学重点

余弦定理的发现过程及定理的应用

教学难点

用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理的灵活应用

教学方法

讲练结合

教学过程：步骤、内容、教学活动

二次备课

余弦定理

【问题导思】　

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.

1．如果C＝90°，如何求AB边的长？

【提示】　利用勾股定理求AB的长，即c2＝a2＋b2.

2．设＝a，＝b，＝c.怎样用向量的线性运算表示？

【提示】　＝－＝a－b.

3．在问题2的前提下，如何用向量的数量积表示AB边的长？

【提示】　|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C，

∴c2＝a2＋b2－2abcos C.

4．你能用同样的方法表示BC、AC的长吗？请你写出结论．

【提示】　能．结论：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B.

文字语言: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．

符号语言: a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C

余弦定理的推论

【问题导思】　

如果已知△ABC的三边长a、b、c，能否分别求出三个内角A、B、C的值？

【提示】　能．用余弦定理变形可得公式．

cos A＝， cos B＝， cos C＝.

已知两边一角解三角形

在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，

(1)a＝2，b＝2，C＝15°；(2)a＝，b＝，B＝45°.

【思路探究】　(1)中已知角C是已知边a、b的夹角，可以直接用余弦定理求边c吗？其他元素如何求？

(2)中已知角B是已知边b的对角，可以用正弦定理求解吗？解的情况唯一吗？用余弦定理行吗？

【自主解答】　(1)法一　cos 15°＝cos(45°－30°)＝，sin 15°＝sin(45°－30°)＝.

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，

∴c＝－.又b>a，∴B>A，∴角A为锐角．

由正弦定理，得sin A＝sin C＝×＝.

∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝180°－30°－15°＝135°.

法二　cos 15°＝cos(45°－30°)＝，

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，

∴c＝－.∴cos A＝＝.

又0°<A<180°，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝180°－30°－15°＝135°.

(2)法一　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B，∴2＝3＋c2－2·c，

即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.

当c＝时，由余弦定理得cos A＝＝＝.

∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝时，

由余弦定理得cos A＝＝＝－.

∴A＝120°，C＝15°.

法二　由正弦定理知sin A＝＝＝.

∵a＝>＝b，∴A有两解．∴A＝60°或120°.

当A＝60°时，C＝75°，这时c＝＝＝.

当A＝120°时，C＝15°，这时c＝＝＝.

1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．

2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．

若把本例(2)条件改为“b＝3，c＝3，B＝30°”，试解此三角形．

【解】　法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，

∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.

当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.

当a＝6时，由正弦定理sin A＝＝＝1.

∵0<A<180°，∴A＝90°，C＝60°.

法二　由b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3×＝知本题有两解．

由正弦定理sin C＝＝＝，∴C＝60°或120°.

当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝＝＝6，

当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，则a＝3.

故a＝3或6.

已知三边解三角形

　在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角．

【思路探究】　(1)由a∶b∶c＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？

(2)最大内角应该是哪条边所对的角？能否用余弦定理求解？

【自主解答】　由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)．因此c边是最大边，其所对角C为最大内角．

由余弦定理推论得：

cos C＝＝＝－，

∴C＝120°，

即最大内角为120°.

1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键．

2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．

(2013·洛阳高二检测)边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为(　　)

A．90°　　　B．120°　　　C．135°　　　D．150°

【解析】　设边长为5、7、8的对角分别为A、B、C.

则A<B<C.由题意cos B＝＝.

∴cos(A＋C)＝－cos B＝－，∴A＋C＝120°.

【答案】　B

判断三角形的形状

　在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．

【思路探究】　可以先利用三边之间的数量关系式，应用余弦定理求A，再应用三角公式求出另外两角，进而判断△ABC的形状．

【自主解答】　因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，

由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝，即A＝60°.

又因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，且sin A＝2sin Bcos C，

所以sin Bcos C＝cos Bsin C，即sin(B－C)＝0，所以B＝C，

又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，

故△ABC为等边三角形．

1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．

2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：

①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.

②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2.

③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.

④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.

在△ABC中，若acos A＋bcos B＝ccos C．试判断△ABC的形状．

【解】　由余弦定理可得

a·＋b·＝c·，

等式两边同乘以2abc，得

a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)，

整理化简得a4＋b4－2a2b2＝c4，

∴(a2－b2)2＝c4.

因此有a2－b2＝c2或b2－a2＝c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2，故△ABC是以A(或B)为直角的直角三角形.

正余弦定理的综合应用

　(12分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.

(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.

【思路点拨】　(1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a，b的关系．

(2)用余弦定理求cos B的值进而求B.

【规范解答】　(1)由正弦定理，得asin B＝bsin A，

所以bsin2A＋bcos2A＝a，所以＝.6分

(2)由余弦定理及c2＝b2＋a2，得cos B＝.8分

由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2，

所以cos2B＝.10分又cos B>0，故cos B＝，

∴B＝45°.12分

在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．

巩固练习：

1．三角形的两边AB、AC的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－，则三角形的第三边长为(　　)

A．52　　　　　 B．2

C．16 D．4

【解析】　由条件可知cos A＝－，则BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A

＝52＋32－2×5×3×(－)＝52，∴BC＝2.

【答案】　B

2．(2013·青岛高二期中)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是(　　)

A. B. C．0 D.

【解析】　∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角．由余弦定理得cos C＝＝0. 【答案】　C

3．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.

【解析】　由余弦定理得：cos C＝＝＝. 【答案】　

4．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，求cos C的值．

【解】　∵sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，

由正弦定理，知a∶b∶c＝3∶2∶4.

设a＝3k，b＝2k，c＝4k(k>0)，

由余弦定理得：cos C＝＝－.

课堂小结：

1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．

2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型

(1)已知三边解三角形．(2)已知两边及一角解三角形．

3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍.

布置作业：

板

书

设

计

教

学

反

思

课 题

角度问题

第 课时

教

学

目

标

1．知识与技能

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．

2．过程与方法

通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．

3．情感、态度与价值观

培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．

教学重点

能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．

教学难点

灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题．

教学方法

讲练结合

教学过程：步骤、内容、教学活动

二次备课

方位角与方向角

【问题导思】　

课上，老师让同学们画148°的方位角，有二位同学提出疑问，甲说：老师的说法不对，应具体说出148°角是哪个方向偏哪个方向的角度，如南偏东148°.乙说：方位角应该小于90°，不应该为148°.你认为老师说法正确吗？二位同学产生疑问的原因是什么？

【提示】　老师说法是正确的．二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与方向角的概念．

图1－2－17

1．方位角：从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α°(如图1－2－17)． 方位角的取值范围：0°～360°.

2．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

俯角、仰角与坡角

(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图1－2－18，仰角为∠1，俯角为∠2.

图1－2－18

(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的比．

确定航向的角度问题

　一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)

图1－2－19

【思路探究】　(1)如图AB，BC已知，只要求出它们的夹角ABC就可以用余弦定理求出AC，∠ABC怎样求？

(2)∠CAB怎样求？若求出∠CAB，航向该怎样表示？

【自主解答】　在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，

AC＝

＝

≈113.15.

由正弦定理，得＝， sin ∠CAB＝

＝≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，

75°－∠CAB＝56.0°.

答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.

1．本题中由于A、C均为固定点，故所求航向是确定的，只要解出∠CAB的大小，可用方向角表示出来．

2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在(0，]上时，用正、余弦定理皆可．

如图1－2－20所示，从A到B，方位角是50°，距离是470 m，从B到C，方位角是80°，距离是860 m，从C到D，方位角是150°，距离是640 m，试计算从A到D的方位角和距离．

图1－2－20

【解】　连接AC，在△ABC中，

∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，

由余弦定理，得

AC＝≈1 289 m，

由正弦定理，得

sin ∠BAC＝≈≈0.333 6，

∴∠BAC≈19.5°，

∴∠ACB≈10.5°.

在△ACD中，∠ACD≈80°－10.5°＋30°＝99.5°.

由余弦定理，得AD＝≈1 531 m.

∴cos ∠CAD＝≈0.911 1，

∴∠CAD≈24.3°.

∴从A到D的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8°.

即从A到D的方位角约为93.8°，距离约为1 531 m.

不确定航向的角度问题

　某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．

【思路探究】　(1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的等量关系？

【自主解答】　如图所示，设所需时间为t小时，

则AB＝10t，CB＝10t，

在△ABC中，根据余弦定理，则有

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，

可得：(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°.

整理得：2t2－t－1＝0，

解得t＝1或t＝－ (舍去)，

所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10，BC＝10.

在△ABC中，由正弦定理得：＝，

∴sin∠CAB＝＝＝.

∴∠CAB＝30°.

所以舰艇航行的方位角为75°.

1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B，画出可以求解的三角形．

2．解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解．体现了数形结合与方程的数学思想方法．

在甲船A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？

【解】　设甲船沿直线与乙船同时到C点，

则A、B、C构成△ABC，如图，设乙船速度为v，则甲船速度为v，到达C处用时为t.

由题意BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.

在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°，

∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt. ∴2v2t2－avt－a2＝0,

解得vt＝－ (舍去)或vt＝a. ∴BC＝a，

在△ABC中AB＝BC＝a，∴∠BAC＝∠ACB＝30°. 60°－30°＝30°.

即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了a海里．

易错辨析题：

应用正余弦定理时出现增根致误

图1－2－21

　某观测站C在A城的南偏西20°方向上，由A城出发的一条公路走向是南偏东40°.在C处测得公路上距C为31 km的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，则这人还要走多远才可到达A城？

【错解】　如题图所示，∠CAD＝60°，

在△BCD中，由余弦定理，得：

cos B＝＝＝.

所以sin B＝＝.

在△ABC中，AC＝＝24(km)．

在△ACD中，由余弦定理，得：

CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos ∠CAD，

即212＝242＋AD2－24AD. 所以AD＝15或AD＝9，

即这人还要走15 km或9 km才能到达A城．

【错因分析】　余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题意，导致了错误．

【防范措施】　求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问题．

【正解】　设∠ACD＝α，∠CDB＝β，

在△CBD中，由余弦定理，得：

cos β＝＝＝－. 所以sin β＝.

所以sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝×＋×＝.

在△ACD中，由正弦定理，得＝，

所以AD＝＝15(km)．

即这人还要走15 km才可以到达A城．

巩固练习：

图1－2－22

1．对右图正确的描述应为(　　)

A．东偏北α°　 　B．东北方向α° C．北偏东α°

【答案】　C

2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10°　　　　　　　B．北偏西10°

C．南偏东10° D．南偏西10°

【解析】　如图，由题意，知AC＝BC，∠ACB＝80°，

∴∠CBA＝50°，α＋∠CBA＝60°.

∴α＝10°，

即A在B的北偏西10°.

【答案】　B

3．△ABC中，a＝4，b＝5，c＝7，则cos C＝(　　)

A．－ B.

C. D.

【解析】　cos C＝＝＝－.

【答案】　A

4．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，求该船的速度．

【解】　如图，B，C为两灯塔，行驶半小时后船从A到达D，由∠ADC＝75°，∠ADB＝60°，∴∠BCD＝∠BDC＝15°.

∴BD＝BC＝10，∴AD＝10×cos 60°＝5.

设船速为x，则x＝5，即x＝10(海里/小时)．

课堂小结：

1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．

2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.

布置作业：

板

书

设

计

教

学

反

思

课 题

三角形中的几何计算

第 课时

教

学

目

标

1．知识与技能

通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式及文字语言的叙述，进—步熟悉正、余弦定理的内容，作用及所解三角形的类型．能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形问题灵活地解三角形．

2．过程与方法

善于利用分类讨论的思想、先易后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题，把对学生的思维训练贯穿整节课的始终．

3．情感、态度与价值观

通过本节课的探究，培养学生勇于探索、勇于创新、善于分析以及具体问题具体分析的科学精神和良好的学习习惯．并对正弦定理、余弦定理的反射美产生愉悦感，从而激发学生热爱数学，热爱科学的追求精神．

教学重点

灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算．

教学难点

利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用．

教学方法

讲练结合

教学过程：步骤、内容、教学活动

【问题导思】　 三角形的面积公式

如图，在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb和hc.

1．你能用△ABC的边角分别表示ha，hb，hc吗？

【提示】　ha＝bsin C＝csin B. hb＝csin A＝asin C. hc＝bsin A＝asin B.

2．你能用边a与高ha表示△ABC的面积吗？

【提示】　S△ABC＝aha＝absin C＝acsin B.

已知△ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，其面积为S，则：S＝absin C＝bcsin A＝casin B

例题讲解： 三角形中的面积计算

　△ABC中，已知C＝120°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．

【思路探究】　(1)AB、AC是不是C的两夹边？(2)要使用三角形的面积公式应求哪个角？怎样求？

【自主解答】　由正弦定理＝，

∴sin B＝＝＝.

因为AB>AC，所以C>B， ∴B＝30°，∴A＝30°.

所以△ABC的面积S＝AB·AC·sin A＝·2·2·sin 30°＝.

由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．

(2013·蒙阴高二检测)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为________．

【解析】　由S△ABC＝，得AB·ACsin A＝，

即×2AC×＝，

∴AC＝1.由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A

＝22＋12－2×2×1×＝3.

∴BC＝.

【答案】　

三角形中的证明问题

　在△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0.

【思路探究】　去掉括号再考虑用正弦定理求解．

【自主解答】　由正弦定理＝＝，

则asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B，

所以左边＝asin B－asin C＋bsin C－bsin A＋csin A－csin B

＝(asin B－bsin A)＋(bsin C－csin B)＋(csin A－asin C)

＝0＋0＋0＝0＝右边，

所以原式成立．

1．证明本题的关键在于充分借助正、余弦定理实现边角互化．

2．恒等式证明通常采用以下三种方法：

(1)从等式的左边证到右边；

(2)从等式的右边证到左边；

(3)对等式的两边同时变形，化为同一个式子．

方法的选择原则是从复杂的一边证明到简单的一边．

3．证明过程中，要注意三角函数和、差、倍角公式的灵活运用．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.

求证＝2.

【证明】　由正弦定理，设＝＝＝k，

则＝＝，

所以＝，

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B.

化简可得s in(A＋B)＝2sin(B＋C)，

又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，

因此＝2.

三角形中的综合问题

　(2013·黄冈高二检测)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列且cos B＝.

(1)求＋的值；(2)设·＝3，求a＋c的值．

【思路探究】　(1)结合已知条件，用正弦定理与三角恒等公式求值．

(2)用余弦定理解决．

【自主解答】　(1)由已知b2＝ac，及正弦定理得sin2B＝sin Asin C，

由cos B＝，则sin B＝.

＋＝＝＝＝＝.

(2)由·＝3，得accos B＝3，ac＝＝5，

由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac×，得ac＝a2＋c2－ac，

a2＋c2＋2ac＝ac＝21，

∴(a＋c)2＝21.∴a＋c＝.

1．本题体现了正、余弦定理在三角形中的综合应用．解答本类综合问题时，还常常用到同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式．

2．以下结论也常常用到：

(1)A＋B＝π－C，＝－.

(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(4)三角形内的诱导公式

sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，

tan(A＋B)＝－tan C(C≠)，

sin＝cos，cos＝sin.

△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C，

(1)求A的大小；

(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．

【解】　(1)由已知条件得

2cos Asin B＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B.

又∵sin B≠0，∴cos A＝.

又∵0°<A<180°，∴A＝60°.

(2)由余弦定理得

7＝b2＋c2－2bc·cos 60°

＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，

将b＋c＝4代入，得bc＝3

故△ABC面积为S＝bcsin A＝.

解三角形中的函数思想

　(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足S＝ (a2＋b2－c2)．

(1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值．

【思路点拨】　利用面积公式求角C，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式化简求最大值．

【规范解答】　(1)由题意可知absin C＝×2abcos C．2分

所以tan C＝，4分

因为0＜C＜π，所以C＝.6分

(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin (π－A－)

＝sin A＋sin(－A)＝sin A＋cos A＋sin A

＝sin(A＋)≤ (0＜A＜).9分

当A＝，即△ABC为等边三角形时取等号，11分

所以sin A＋sin B的最大值为.12分　

本题把求最值问题转化为三角函数求最值的方法是函数思想在本章的重要体现．

巩固练习：

1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为(　　)

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D．2

【解析】　S△ABC＝AB·ACsin A＝sin 60°＝.

【答案】　B

2．△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为(　　)

A．20 B．25

C．55 D．49

【解析】　由bcsin A＝220，∴c＝55.

又a2＝b2＋c2－2bccos A＝2 401.∴a＝49.

【答案】　D

3．边长为a的等边三角形的高为________．

【解析】　高h＝asin 60°＝a.

【答案】　a

4．已知△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，求AC边上的高．

【解】　设AC边上的高为h，由余弦定理知

cos B＝＝，

∴sin B＝，

∴S＝×3××＝×2＝3.

又S＝×4×h，∴2h＝3，∴h＝，

∴AC边上的高为.

课堂小结：

1．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积．证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化．

2．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．

3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等．

布置作业：

二次备课

板

书

设

计

教

学

反

思

课 题

章末归纳提升

第 课时

教

学

目

标

1.正弦定理主要有两方面的应用：一是已知三角形的任意两个角与一边；二是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不确定，可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数．

2．余弦定理有两个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．

3．余弦定理除了解决两种类型的解三角形问题外，也可以用来解决判断三角形解的个数问题，如已知a，b，A时可用a2＝b2＋c2－2bccos A，在这个以c为变量的一元二次方程中，运用判别式即可判断解的个数．

教学重点

解三角形相关知识的灵活运用

教学难点

解三角形相关知识的灵活运用

教学方法

讲练结合

教学过程：步骤、内容、教学活动

二次备课

.

利用正、余弦定理解三角形

　在△ABC中，a＝4，A＝60°，当b满足下列条件时，解三角形：

(1)b＝；

(2)b＝2＋；

(3)b＝；

(4)b＝8.

【思路点拨】　已知两边和其中一边的对角解三角形，可以用正弦定理，也可以用余弦定理解决，解题时一定要准确判断解的情况．

【规范解答】　(1)∵a>b，∴B为锐角，由正弦定理，

sin B＝sin A＝，

∴B＝30°，C＝90°，

由正弦定理c＝·sin C＝.

(2)由正弦定理sin B＝·sin A＝×＝，当B为锐角时B＝75°，C＝45°.

由正弦定理c＝·sin C＝，

当B为钝角时B＝105°，C＝15°，

由正弦定理c＝·sin C＝2－.

(3)法一　由正弦定理sin B＝·sin A＝1，

∴B＝90°，C＝30°，

由正弦定理c＝·sin C＝.

法二　设第三边长为c，

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴16＝＋c2－c，即c2－c＋＝0.

∴(c－)2＝0， ∴c＝，

由正弦定理sin C＝·sin A＝.

∵a>c，∴C为锐角，∴C＝30°，B＝90°.

(4)由正弦定理sin B＝·sin A＝>1，无解．

已知a＝5，b＝5，A＝30°，解三角形．

【解】　由题可知，a<b，A＝30°<90°，

∵bsin A＝5×＝，∴a>bsin A，

∴本题有两解．

由正弦定理，得sin B＝＝＝，

∴B＝60°或B＝120°.

当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝10.

当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝5.

综上，B＝60°，C＝90°，c＝10或B＝120°，C＝30°，c＝5.

正、余弦定理在三角形中的综合应用

正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据．

　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．求角A的大小．

【思路点拨】　根据正弦定理，把已知中的角转化成边再求解．

【规范解答】　∵2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)·sin C，

由正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

即a2＝b2＋c2＋bc.

又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴cos A＝＝－.

∵0<A<π，

∴A＝.

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.

(1)求的值； (2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长．

【解】　(1)由正弦定理，设＝＝＝k(k>0)，

则＝＝.

所以＝，

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B.

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．

又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.

因此＝2.

(2)由＝2，得c＝2a.

由余弦定理及cos B＝，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.

所以b＝2a.

又a＋b＋c＝5，从而a＝1，因此b＝2.

正弦定理和余弦定理的实际应用

正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．

　已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？

【思路点拨】　由题意图出图形，把实际问题转化为数学问题，用解三角形的方法解决．

【规范解答】　如图所示，在△ABC中，

依题意得BC＝20 (海里)，

∠ABC＝90°－75°＝15°，

∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.

由正弦定理，得＝，

所以AC＝＝10(－)(海里)．

故A到航线的距离为AD＝ACsin 60°＝10(－)×＝(15－5)(海里)．

因为15－5>8，所以货轮无触礁危险．

如图1－1是曲柄连杆机结构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长为340 mm，曲柄CB长为85 mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(连杆的端点A移动的距离A0A)．(精确到1 mm)

图1－1

【解】　在△ABC中，由正弦定理，得sin A＝＝≈0.246 2.

∵BC<AB，∴A为锐角，得A≈14°15′.

∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(14°15′＋80°)＝85°45′.

由正弦定理，得AC＝≈≈344.3(mm)．

∴AA0＝A0C－AC＝(AB＋BC)－AC≈(340＋85)－344.3＝80.7≈81(mm)，

即活塞移动的距离约为81 mm.

转化与化归思想

转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．

本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路．

　已知△ABC中，＝c2，且acos B＝bcos A，试判断△ABC的形状．

【思路点拨】　转化第一个已知条件，应用余弦定理求C.转化第二个已知条件，应用正弦定理判断△ABC的形状．

【规范解答】　由＝c2，得a3＋b3－c3＝c2(a＋b)－c3，

∴a2＋b2－ab＝c2，

∴cos C＝，∴C＝60°.

由acos B＝bcos A，得2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R为△ABC外接圆的半径)，

∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝0，

∴A＝B＝C＝60°，

∴△ABC为等边三角形．

在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形　　　　 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【解】　由3b＝2asin B，得＝，

根据正弦定理，得＝，

所以＝，即sin A＝.

又角A是锐角，

所以A＝60°.

又cos B＝cos C，且B、C都为三角形的内角，

所以B＝C，故△ABC为等边三角形．

【答案】　D

课堂小结：

1、第一章解三角形的知识网络构建是什么？

2、本节课你有什么收获？

布置作业：

板

书

设

计

教

学

反

思

课 题

1.2应用举例距离和高度问题

第 课时

教

学

目

标

1．知识与技能

(1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度的实际问题；

(2)掌握解三角形应用题的基本步骤和基本方法；

(3)培养运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．

2．过程与方法

(1)经历将实际问题抽象为数学模型的过程，体会数学建模思想；

(2)能够从数学角度去思考问题，体验解决问题方法策略的多样性；

(3)体验合作学习的过程，能在小组合作探究中清楚地表述自己的观点，善于倾听和评估不同意见．

3．情感、态度与价值观

(1)意识到数学知识在现实生活中的重要作用，增强对数学学习的兴趣；

(2)在探究合作过程中，增加探究意识与合作意识，增强与人交流的意识；

(3)通过课外实习活动，体会数学的应用价值．

教学重点

1.实际问题向数学问题的转化；

2．解斜三角形的方法．

教学难点

实际问题向数学问题转化思路的确定．

教学方法

讲练结合

教学过程：步骤、内容、教学活动

【探究新知】

基线的概念

1.定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．

2．性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高

测量中的有关概念

1.坡角

坡面与水平面的夹角，如图1－2－1所示，α为坡角．

图1－2－1

2．坡比

坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan α，如图1－2－1所示．

3．仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1－2－2所示)．

图1－2－2

4．铅直平面：铅直平面是指水平面垂直的平面．

【例题讲解】 求两点间可视但不可到达的距离问题

图1－2－3

如图1－2－3，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．

【思路探究】(1)AC的对角∠ABC是多少度？(2)能用正弦定理求出AB的长度吗？

【自主解答】在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°则B＝180°－(A＋C)＝60°，

由正弦定理，得AB＝AC＝＝20(3＋)．

即A，B两点间的距离为20(3＋)m.

如图所示，设A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：

(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；

(2)测量AC，∠BAC，∠BCA；

(3)用正弦定理解△ABC，得

AB＝＝.

图1－2－4

如图1－2－4，为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B在一条直线上)，计算隧道DE的长．(精确到1 m)

【解】　在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB，

∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.

∴AB＝200 (m)．

∴DE＝AB－AD－BE＝200－120≈409(m)．

∴隧道DE的长约为409 m.

求不可到达两点之间的距离问题

图1－2－5

　在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图1－2－5所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．

【思路探究】　本题的未知量可以看成测量两点不可到达的距离的量，因此可以解三次三角形．法一：分别由解△ADC和△BDC得AD和BD，再解△ABD得AB；也可采用法二：分别由解△ADC和△BDC得AC和BC，再解△ABC得AB.

【自主解答】　法一　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，

又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，

∴AD＝CD＝AC＝a.

在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°.

∵＝，

∴DB＝CD·＝a·＝a.

在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB

＝a2＋(a)2－2×a·a·＝a2，

∴AB＝a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.

法二　同法一，得AD＝DC＝AC＝a.

在△BCD中，∠DBC＝45°，

∴＝，∴BC＝a.

在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°

＝a2＋a2－2×a·a·＝a2，

∴AB＝a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.

如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：

(1)取基线CD；

(2)测量CD，∠ACB，

∠BCD，∠ADC，∠BDA；

(3)在△ACD中，解三角形得AC，在△BCD中，解三角形得BC；

(4)在△ABC中，利用余弦定理得AB＝.

图1－2－6

本例若改为下面的叙述，试解答之．

如图1－2－6，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．

【解】　在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，

∴∠CAD＝30°.

∴AC＝CD＝.在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.

在△BCD中，由正弦定理，得BC＝＝，

则在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠BCA

＝()2＋()2－2×cos 75°＝5. ∴AB＝.

故两目标A，B之间的距离为km.

求底部不可到达的物体的高度问题

图1－2－7

　如图1－2－7，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.

【思路探究】　(1)由在C点和D点的仰角如何用塔高表示出线段BC、BD的长度？

(2)在△BCD中，已知CD、∠CBD，又用塔高表示了BC、BD，如何建立关于塔高的方程？

(3)怎样求得塔高AB?

【自主解答】　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；

在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.

在△BCD中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos ∠CBD，

即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，

所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)．即塔高AB＝200米．

1．解答本题的关键是用仰角与塔高分别表示BC、BD的长度．在△BCD中用余弦定理建立了关于塔高的方程，进而求得塔高．

2．测量高度时需要注意的问题：

①在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．如图所示：

②要根据题意正确画出图形，同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．

甲、乙两楼相距200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？

【解】　如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．

在△ABC中，BC＝200×tan 60°

＝200，

AC＝200÷sin 30°＝400，

由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，

∴△ACD为等腰三角形．

由余弦定理得

AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 120°，

4002＝AD2＋AD2－2AD2×(－)＝3AD2，

AD2＝，AD＝.

答：甲楼高为200m，乙楼高为m.