专题10 牛顿运动定律的应用之光滑斜面模型和等时圆模型

重难讲练

模型一　光滑斜面模型

如图所示，质量为m的物体从倾角为θ、高度为h的光滑斜面顶端由静止下滑，则有如下规律：

(1)物体从斜面顶端滑到底端所用的时间t，由斜面的倾角θ与斜面的高度h共同决定，与物体的质量无关。

关系式为t＝。

(2)物体滑到斜面底端时的速度大小只由斜面的高度h决定，与斜面的倾角θ、斜面的长度、物体的质量无关。

关系式为v＝。

【典例1】如图所示，一物体分别从高度相同、倾角不同的三个光滑斜面顶端由静止开始下滑。下列说法正确的是(　　)

A. 滑到底端时的速度相同

B. 滑到底端所用的时间相同

C. 在倾角为30°的斜面上滑行的时间最短

D. 在倾角为60°的斜面上滑行的时间最短

【答案】　D

【解析】　由规律(2)可知物体从高度相同的斜面滑到底端时的速度大小相同，但方向不同，选项A错误；由规律(1)可知物体在倾角θ＝60°的斜面上滑行时间最短，选项D正确。

【跟踪训练】

1. 一间新房即将建成，现要封顶，若要求下雨时落至房顶的雨滴能最快地淌离房顶(假设雨滴沿房顶下淌时做无初速度、无摩擦的运动)，则必须要设计好房顶的高度，下列四种情况中最符合要求的是(　　)

【答案】　C

【解析】　如图，设房顶宽为2b，高度为h，斜面倾角为θ。

2. 如图所示，一倾角为θ＝37°的足够长的斜面固定在水平地面上。当t＝0时，滑块以初速度v0＝10 m/s沿斜面向上运动，已知滑块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是(　　)

A.滑块上滑的距离小于5 m

B.t＝1 s时，滑块速度减为零，然后静止在斜面上

C.t＝2 s时，滑块恰好又回到出发点

D.t＝3 s时，滑块的速度大小为4 m/s

【答案】　D

【解析】　设滑块上滑时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律可得mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1，解得a1＝10 m/s2，上滑时间为t1＝＝1 s，上滑的距离为x1＝v0t1＝5 m，因mgsin θ>μmgcos θ，滑块上滑到速度为零后，向下运动，选项A、B错误；设滑块下滑时的加速度大小为a2，由牛顿第二定律可得mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，解得a2＝2 m/s2，经1 s，滑块下滑的距离为x2＝a2t＝1 m<5 m，滑块未回到出发点，选项C错误；t＝3 s时，滑块沿斜面向下运动，此时的速度v＝a2(t－t1)＝4 m/s，选项D正确。

模型二　等时圆模型

1. 模型特征

(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。

(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。

(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。

2.思维模板

【典例2】如图所示，位于竖直平面内的圆周与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻，甲、乙两球分别从A、B两点由静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点。丙球由C点自由下落到M点。则(　　)

A.甲球最先到达M点 B.乙球最先到达M点

C.丙球最先到达M点 D.三个球同时到达M点

【答案】　C

【解析】　设圆轨道的半径为R，根据等时圆模型有t乙>t甲，t甲＝2；丙做自由落体运动，有t丙＝，所以有t乙>t甲>t丙，选项C正确。

【跟踪训练】

1. 如图所示，固定支架ACB，AC竖直，AB为光滑钢丝，AC＝BC＝l，一穿在钢丝中的小球从A点静止出发，则它滑到B点的时间t为(　　)

A. B. C.2 D.

【答案】　C

2. 如图所示，光滑直杆一端固定在地面上的A点，另一端靠在竖直墙上，杆上套有一个小球，球可以在杆上自由滑动，球从杆的上端沿杆下滑到A点所用的时间为t，若逐渐减小杆的长度，使杆与水平方向的夹角从60°逐渐减小到30°，则下列说法正确的是(　　)

A.小球从杆的上端运动到下端的时间不断减小

B.小球从杆的上端运动到下端的时间不断增大

C.小球从杆的上端运动到下端的时间先减小后增大

D.小球从杆的上端运动到下端的时间先增大后减小

【答案】　C

【解析】　设A点到墙的距离为L，杆与水平方向的夹角为θ，则＝gt2sin θ，t＝，当θ＝45°时，t最小，因此选项C正确。

3. 如图所示，几条足够长的光滑直轨道与水平面成不同角度，从P点以大小不同的初速度沿各轨道发射小球，若各小球恰好在相同的时间内到达各自的最高点，则各小球最高点的位置(　　)

A.在同一水平线上 B.在同一竖直线上

C.在同一抛物线上 D.在同一圆周上

【答案】　D

正确。

模拟提升

1．（2019届安徽省江淮十校高三第一次联考）

如图所示，相同质量的物块从底边长相同、倾角不同的固定斜面最高处同时由静止释放且下滑到底端，下面说法正确的是 ( )

A． 若物块与斜面之间的动摩擦因数相同，倾角大的斜面上的物块损失的机械能大

B． 若斜面光滑，两物块一定同时运动到斜面底端

C． 若斜面光滑，倾角大的斜面上的物块一定后运动到斜面底端

D． 若物块到达底面时的动能相同，物块与倾角大的斜面间的动摩擦因数大

【答案】D

【解析】设斜面倾角为θ，底边长为s，则有：物体损失的机械能等于摩擦力所做的功，摩擦力做功W=μmgcosθ×=μmgs； 损失的机械能与夹角无关； 所以两物体损失的机械能相同； 故A错误；若斜面光滑，则物体下滑的加速度a=gsinθ，根据可得可知，θ角不同，t不同，当θ=450时，下滑的时间最短，则倾角大的斜面上的物块不一定后运动到斜面底端，选项BC错误； 根据动能定理：，则若物块到达底面时的动能相同，物块与倾角大的斜面间的动摩擦因数大，选项D正确；故选D.

2．（2018江苏省东海高级中学高三年级高考适用性考试）

如图所示，斜面AD和BD与水平方向的夹角分别为60°和30°，两斜面的A端和B端在同一竖直面上，现让两个可视为质点的物块分别从两斜面的顶端同时由静止下滑，结果两物块同时滑到斜面底端D，设两物块与AD、BD面间的动摩擦因数分别为和，则为（ ）

A． :1 B． 1: C． 1:3 D． 3:1

【答案】D

【解析】根据牛顿第二定律，物块由AD下滑时有：mgsin60°-μ1mgcos60°=ma1
得：a1=gsin60°-μ1gcos60°
联立以上四式解得：，故选D。

3．（2018安徽省六安二中河西校区高一第二次抽考）

如图，一个小物块由静止开始分别沿坡度不同的光滑斜面和AB滑下，最后都停在水平面BC上，斜面和水平面平滑连接，下列说法正确的是    

A． 小物块沿斜面下滑的时间一定比斜面AB下滑的时间长

B． 小物块沿斜面下滑的时间一定比斜面AB下滑的时间短

C． 小物块沿斜面下滑的末速度沿比斜面AB下滑的末速度大

D． 小物块沿斜面下滑的末速度沿比斜面AB下滑的末速度小

【答案】A

4．（2018－2019【衡水金卷】高三上一调卷）

如图所示，在候角为的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上。本板与竖直方向AC所成的角度为，一小物块自A端沿木板由静上滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则与角的大小关系应为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示：在竖直线AC上取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切与D点，

根据等时圆的结论可知：A点滑到圆上任一点的时间都相等，所以由A点滑到D点所用时间比由A到达斜面上其他各点时间都短，将木板下端B点与D点重合即可，而∠COD=θ，所以α＝θ/2，故选B。

5．（2018云南省红河州高三复习统一检测）

如图所示，O点是竖直圆环的顶点，Oc是圆环直径，Oa和Ob是两条不同倾角的弦。在Oc、Oa、Ob线上置三个光滑的斜面，一个质点从O自由释放，先后分别沿Oc、Oa、Ob下滑，则到达a、b、c三点的时间

A． 时间都相同 B． 最短的是a点

C． 最短的是b点 D． 最长的是c点

【答案】A

【解析】

选A。