4.3　角

4.3.3　余角和补角

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情景导入　　置疑导入　　归纳导入　　复习导入　　类比导入　　悬念激趣

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图4－3－58

情景导入　举世闻名的比萨斜塔位于意大利的比萨小镇，是一座由白色云石建成的古塔．该塔发生倾斜但斜而不倒，比萨因此远近闻名．比萨斜塔始建于1173年，从地面到塔顶高55米，自建成以后曾发生多次倾斜，常人只凭眼睛也能察觉．意大利科学家伽利略曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验，开创了实验物理的新时代，斜塔也因而更加闻名遐迩．意大利政府曾想尽办法制止古塔的继续倾斜，但到目前为止未能成功．你知道斜塔的倾角是多少度吗？你能用什么方法测量呢？某位游客设计的测量斜塔倾角的方案是：将斜塔看成一条线段OA在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子B，画出直线OB，想办法测出了∠AOB＝85度，然后让学生思考：

(1)斜塔OA倾斜了多少度？(2)斜塔OA与OC所成的角是多少度？(3)斜塔OA与OB所成的另外一个角即∠AOD是多少度？

[说明与建议]说明：从学生的兴趣着手，激发学生的探究欲望，给学生一种轻松的心理氛围，易于学生学习新知识，让学生注重观察生活，知道数学来源于生活，并服务于生活．建议：让学生自由组合，相互讨论，活跃课堂气氛，从他们的兴趣入手，让学生无形中参与到课堂的活动中，在学生的讨论探究中口头归纳出余角和补角的性质．

复习导入(课件演示)计算：

(1)44°＋46°＝__90_°__；(2)30°20′34″＋59°39′26″＝__90_°__；

(3)10°＋25°＋55°＝__90_°__；(4)96°＋84°＝__180_°__；

(5)58°45′＋121°15′＝__180_°__．

学生计算并回答，总结它们的特点．

[说明与建议]说明：通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使学生渴望尽快寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫．建议：教师应关注：计算的准确性，学生是否认真观察并思考．

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[命题角度1]直接运余角与补角的概念求角的度数

在计算时要紧扣余角、补角的定义进行计算．注意互余的两个角都是锐角，互补的两个角可能是一个是锐角，另一个是钝角；也可能两个角都是直角．

例求35°42′角的余角和补角的度数．

解：余角的度数为90°－35°42′＝54°18′；其补角的度数为180°－35°42′＝144°18′.

[命题角度2]根据余角、补角的性质说理的问题

余角、补角的性质是：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．这个性质也为说明两个角相等提供了思路．认真观察分析图形，挖掘出图形中隐含的数量关系是关键．

例1　已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4有什么关系？说说理由．

解：由∠1与∠2互补，∠3和∠4互补，得∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又∠1＝∠3，根据等角的补角相等，可知∠2＝∠4.

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图4－3－59

例2　如图4－3－59，点E，O，A在同一直线上，∠AOB＝∠COD＝90°，那么图中与∠AOD互补的角为__∠DOE，∠BOC__．

[解析]因为∠DOE＋∠AOD＝180°，所以∠DOE与∠AOD互为补角．根据∠AOB＝∠COD＝90°，可得出∠DOE＝∠BOC，所以∠BOC＋∠AOD＝180°，所以∠BOC与∠AOD互为补角．这样，∠AOD的补角有两个分别是：∠DOE，∠BOC.

[命题角度3]用角度表示方向

方位角是以南北方向为起始方向，一般是以北偏东，南偏西等加上角度来表示的．特殊的方位角如下：

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　　例　如图4－3－60，OA表示什么方向的一条射线？并画出表示下列方向的射线．

(1)北偏西60°；(2)南偏东30°；(3)西南方向．

word/media/image7_1.png图4－3－60

word/media/image8_1.png图4－3－61

[答案：OA表示北偏东30°的射线(1)射线OB(2)射线OC(3)射线OD(如图4－3－61所示)]

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P138练习

1．图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？

[答案] 10°与80°互为余角；30°与60°互为余角；10°与170°互为补角；30°与150°互为补角；60°与120°互为补角；80°与100°互为补角．

2．一个角是70°39′，求它的余角和补角．

[答案]余角：90°－70°39′＝19°21′，补角：180°－70°39′＝109°21′.

3．∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？

[答案]设这个角为x°，则它的补角为180°－x°.根据题意，得3x＝180－x，解这个方程，得x＝45.所以∠α＝45°.

4．一个角是钝角，它的一半是什么角？

[答案]锐角．

P139习题4.3

复习巩固

1．如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个平角及一个周角，至少各需要多长时间？

[答案] 6小时，12小时．

2．凭你的感觉画出30°，45°，90°，120°，135°的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？

[答案]略．

3．计算：

(1)48°39′＋67°31′；　(2)21°17′×5.

[答案] (1)116°10′；(2)106°25′.

4．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，则∠1________∠3；

如果∠1>∠2，∠2>∠3，则∠1________∠3.

[答案]＝>

5．如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且∠DBC＝∠ECB＝31°，求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？

[答案]∠ABC＝2∠DBC＝2×31°＝62°，∠ACB＝2∠ECB＝2×31°＝62°.所以∠ABC＝∠ACB.

6．按图填空：

(1)∠AOB＋∠BOC＝________；

(2)∠AOC＋∠COD＝________；

(3)∠BOD－∠COD＝________；

(4)∠AOD－________＝∠AOB.

[答案] (1)∠AOC；(2)∠AOD；(3)∠BOC；(4)∠BOD.

7．如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？

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[答案]延长AO或BO，先量出∠AOB的补角的度数，再计算出∠AOB的度数．

8．按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：

(1)北偏西30°；

(2)南偏东60°；

(3)北偏东15°；

(4)西南方向(南偏西45°)．

[答案] (1)如图所示，射线OA表示北偏西30°；

(2)如图所示，射线OB表示南偏东60°；

(3)如图所示，射线OC表示北偏东15°；

(4)如图所示，射线OD表示西南方向．

综合运用

9．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．

(1)如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？

(2)如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB是多少度？

[答案] (1)∠BOD＝70°；(2)∠AOB＝40°.

10．如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度(精确到分)?

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[答案] 360°÷15＝24°；360°÷22≈16°22′.

答：齿轮有15个齿时，相邻两齿中心线间的夹角为24°；有22个齿时，其夹角约为16°22′.

11．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？

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[答案]在(1)中∠α与∠β互余；在(2)(3)中∠α与∠β相等；在(4)中∠α与∠β互补．

12．如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向．试在图中确定这艘船的位置．

[答案]如图所示，图中O点即为这艘船的位置．

13．(1)互余且相等的两个角，各是多少度？

(2)一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？

[答案] (1)都是45°；(2)90°.

拓广探索

14．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？

[答案]图略，每一个四边形的另一个角都等于135°.

规律：四边形的四个内角的和为360°.

15．(1)图(1)中，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，量出∠1，∠2，∠3，并计算∠1＋∠2＋∠3.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？

(2)类似地，量出图(2)中∠1，∠2，∠3，∠4，计算∠1＋∠2＋∠3＋∠4.再换几个类似的图试试，你有什么发现？

综合(1)(2)的发现，你还能进一步得到什么猜想？

[答案] (1)∠1＋∠2＋∠3＝360°.发现：无论是怎样的三角形，与每个内角相邻的三个外角的和都为360°.

(2)∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，发现：无论是怎样的四边形，与每个内角相邻的四个外角的和都为360°.

综合(1)(2)发现，多边形的外角和都为360°

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[当堂检测]

1.下列说法:（1）互余的两个角都是锐角;（2）若两角都是锐角，则这两角互余;（3）∠A+∠B+∠C=90°，则∠A、∠B、∠C互余;（4）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°;

（5）钝角只有余角、没有补角.其中正确的有（　）

A．一个 B.两个 C.三个 D.四个

2.小明站在小颖的北偏东４０°，则小颖在小明的（　　　）

Ａ.东偏北４０°Ｂ.东偏北５０°

Ｃ.南偏西５０°Ｄ.南偏西４０°

3.如果∠α=39°31°,∠α的余角∠β =_____,∠α的补角

∠γ=_____.

4.如图所示，，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC的余角是______________.

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5.一个角的余角比它的补角的少40°,求这个角的度数.

参考答案：

1.Ｂ

2.Ｄ

3. 50°29′ 129°31′

4.∠BOC或∠AOD

5. 40°

[能力培优]

专题一角的个数与表示

1.下列说法中正确的个数是（　　）①由两条射线组成的图形叫做角，②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，③角的两边是两条射线，④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3

个角；画2条射线，图中共有6

个角；画3条射线，图中共有10

个角，求画n条射线所得的角的个数．

专题二钟面上的角度问题

3.4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（　　）

A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对

4.如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是9

时12

分．

5.周末莉莉跟妈妈去乡下的外婆家，8点多临出门她看到墙壁上钟表的时针与分针正好是重

合的，下午2点多她和妈妈回家后，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条

直线，问莉莉是几点钟去姥姥家？几点钟回到家？共用了多少时间？

专题三角的折叠与拼接

6.一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：既不重叠又不留空隙）（　　）

A．75°B．105°C．120°D．125°

7．一副三角板按如图所示方式重叠，若图中∠DCE=35025′则∠ACB=_________.

8.如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和C′E重合，折痕是GE，你得到的∠GEF是直角吗？为什么？

专题四角的和、差、倍、分

9.已知α、β是两个钝角,计算的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不

同的答案分别为24°、48°、76°、86°,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是（）．

A．86°B．76°C．48°D．24°

10.计算：

11.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，

求∠AOC的度数.

12.已知∠AOB=∠BOC，∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数.

13.已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.

（1）如图①，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数;

（2）在如图①中，若∠AOC=，直接写出∠DOE的度数（用含的代数式表示）;

（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置.

①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

②在∠AOC的内部有一条射线OF,满足：∠AOC－4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,试确定∠AOF与

∠DOE的度数之间的关系，说明理由.

专题五余角、补角、方位角

14．（2012•孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（　　）

A．45°B．60°C．90°D．180°

15.如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度．（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是北偏东70°

；（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40°

；（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是南偏西50°

；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE= 160°

．

16.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．

17.如图所示：点O是直线AB上的一点，OE平分，OD平分。

求：(1)的度数；

（2）图中互余的角有多少对？请把它们写出来.（一定要仔细哦!）

知识要点：

1.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

2.1度=60分，1分=60秒.1周角=2平角=4直角=360°.

3.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.

4.如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.

5.同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等.

温馨提示：

1.与角有关的注意事项：

（1）角的两条边是射线，而不是线段，所以无法度量和延长.

（2）角的大小与边的长短粗细无关．

（3）放大镜不能改变角的度数.

（4）平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，故不能说“平角是一条直线”.同理周角是一个角，而不是一条射线，故不能说“周角是一条射线”．

2.与角的和、差、倍、分有关的注意事项.

（1）度分秒加法：度与度相加，分和分相加，秒和秒相加，计算结束后，满60进一；

（2）度分秒减法：度与度相减，分和分相减，秒和秒相减，如果不够减，就向前一位借1，借1°就相当于60′，借1′就相当于60″；

（3）度分秒乘法：计算结束后，满60进一；60″就相当于1′, 60′就相当于1°.

（4）度分秒除法：余1°就相当于60′，余1′就相当于60″．

3.余角与补角中的注意事项：

（1）互为余角、互为补角均是指两个角的关系，与第三个角无关；

（2）互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．

（3）锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角.

（4）表示方向时我们一般书写形式为“南（北）偏东（西）×°”．

方法技巧：

1.在已知角内画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+…+（n+1）=.

2.时钟上每格30°，时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题

的基本工具．

3.用一副三角板可以画0°~180°中15°的倍数的角，即15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、

120°、135°、150°、165°、180°．共12个角.

4.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角．

5.在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.

答案：

1. B 解析:①角是有公共端点的两条射线所构成的图形,故①错误；②角的大小与边的长短

无关，只与两条边张开的角度有关，故②正确；③角的两边是两条射线，故③正确；④把一

个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数不变，故④错误．

2. 解：因为在已知角内画1条射线，图中共有3个角，即1+2=3个角；在已知角内画2条射线，图中共有6个角，即1+2+3=6个角；在已知角内画3条射线，图中共有10个角，即1+2+3+4=10个角所以在已知角内画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+…+（n+1）=.

3. B 解析：因为4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：30°×2=60°，时针转动4×30°=125°，所以4点10分时，分针与时针的夹角是125°－60°=65°.

4. 9时12分解析：由图可知，时针过1个大格线，走过×60=12分钟，所以，分针逆时针数12小格即为12点的位置，所以，该钟面所显示的时刻是9时12分．

5. 解：设8点x分时针与分针重合，则：6x－0.5x=180+60，解得：x=．

所以约8点43分时莉莉出门去姥姥家．

设2点y分时，时针与分针方向相反．则：6x－0.5x=180+60，解得：y=．

所以约2点43分时莉莉回家.所以共用了6个小时．

6. D 解：一副三角板的度数分别为：30°、60°、45°、45°、90°，因此可以拼出75°、105°和120°，不能拼出125°的角．

7. 144°35′解析：因为∠ACD=∠BCE=90°,故∠ACE=∠ACD－∠DCE=90°－35025′=54035′.

所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°+54035′=144°35′.

8.解析：∠GEF是直角.理由如下：

由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，

所以∠1+∠2=900，所以∠GEF是直角．

9. C 解析:因为α、β是两个钝角，所以90°＜α＜180°, 90°＜α＜180°．

所以180°＜α＋β＜360°，所以30°＜＜60°．所以C选项符合要求．

10.

（4）176°52′÷3=58°+172′÷3=58°+57′+60〞÷3=58°57′20〞.

11.解析：若OC在∠AOB的内部，如图1，则∠AOC=∠AOB－∠BOC=60°－20°=40°;若OC在∠AOB的外部，如图2，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°.所以∠AOC的度数为40°或80°.

图1 图2

12. 解析：设∠AOB=x°，所以∠COD=∠AOD=3∠AOB=3x°.

因为∠AOB=∠BOC，所以∠BOC=2x°.因为∠BOC+∠COD+∠AOD+∠AOB=360°，