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    广东省清远市田家炳实验中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析-

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    一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 右图是年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）. A．， B．， C．， D．，


    参考答案： C 略
    2. 已知 且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A．
    B． C． D．
    参考答案：
    C 略
    3. 设    分别为双曲线    的左、右焦点，双曲线上存在一点    使得则该双曲线的离心率为（ ）
    A. B. C. D.3
    参考答案：
    B


    4. 要得到    的图像，只需将的图像（ ）
    A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
    C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
    参考答案：
    D
    5. 已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）

    ①绕着x轴上一点旋转180°; ②沿x轴正方向平移; ③以x轴为轴作轴对称; ④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
    参考答案：
    D 【分析】
    计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
    Word文档下载后（可任意编辑） 【详解】    ，，，
    当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；
    ，，
    故，函数关于对称，故④正确；
    根据图像知：①③不正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 6. 已知i是虚数单位，则复数 （

    ）
    A．－1－i B．－1+i C．1+i D．1－i 参考答案：
    B 7. 下列函数在上为减函数的是 A． B． C． D．
    参考答案：
    D
    8. 设    ，    ，若    ，    ，
    ，则（ ） A． B． C．
    D．
    参考答案：
    C 9. 设全集I是实数集都是的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）

    A． B． C． D．
    参考答案：
    B 由题意
    ， 由图知阴影部分所表示的集合为 故选B．


    10. 已知数列的前n项和为，且, 则等于( A．4 B．2 C．1 D． -2 参考答案：
    A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于函数，存在区间，当时，，则称为倍值函数。已知是倍值函数，则实数的取值范围是 ． 参考答案：


    Word文档下载后（可任意编辑） 12. 设曲线在点(0,1处的切线与坐标轴所围成的面积为，则 ．
    参考答案：
    ±2 略
    13. 设变量x，y
    满足约束条件    则的取值范围是 ．
    参考答案：

    14. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积，角A的平分线AD交BC于D，，，则b=________. 参考答案：
    1
    ，可知    ，即. 由角分线定理可知，    ，    ，    在    中，    ，在    中，    ，即    ，则    . 15. 若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3有三个不同的零点，则函数g（x）=f（x）﹣f（|a|+a+1）的零点个数是 个．
    参考答案：
    4
    【考点】函数零点的判定定理．
    【分析】根据f（x）的零点，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，结合二次函数的图象，问题转化为求f（x）和f（|a|+a+1）的交点个数问题． 【解答】解：对于函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3， ∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数， ∴y=f（x）的图象关于y轴对称， ∴f（0）=4a2﹣3=0，解得：a=±，
    又由x＞0时，f（x）=x2+2ax+4a2﹣3，其对称轴为x=﹣a， 若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3有三个不同的零点，
    必有x=﹣a≥0，故a=﹣，
    ∴f（x）=x2﹣|x|，如图示：
    ，
    f（x）的最小值是f（±）=﹣＜1﹣=f（|a|+a+1），
    故函数g（x）=f（x）﹣f（|a|+a+1）的零点个数是4个，
    故答案为：4．
    16. 定义运算a※b为.如1※2=1，则函数※的值域为 ▲ . 参考答案：

    略
    17. 给出以下四个结论：

    Word文档下载后（可任意编辑） ①函数的对称中心是； ②若不等式对任意的都成立，则；
    ③已知点    在直线    两侧，则；
    ④若将函数    的图像向右平移    （0）个单位后变为偶函数，则    的最小值    是.其中正确的结论是;____ _______.
    参考答案：
    ③④
    三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
    18. 已知函数f（x）=+x．
    （1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；
    （2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；
    （2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．
    参考答案：
    【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
    【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．
    （2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；
    （3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．
    【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1 ∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）
    ∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣ …
    （2）若a＜0，∵（x≠0），
    当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；
    当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；
    在x∈（1，+∞）时，令H（x）=aex（x﹣1）+x2，则H′（x）=（aex+2）x， ∵x∈（1，+∞），∴ex∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴aex≤ae≤﹣e ∴aex+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，
    又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴?x0∈（1，2），使得H（x0）=0 …
    且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值 （*）
    又H（x0）=aex0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：
    ，∴不存在负整数a满足条件． …
    （3）设g（x）=aex（x﹣1）+x2，则g′（x）=（aex+2）x， 因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
    当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点． 又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0 再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，


    Word文档下载后（可任意编辑） 当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；
    当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；
    所以函数f（x）在x1处取得极小值． … 当x＜0时，ex＜1，且x﹣1＜0，
    所以g（x）=aex（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，
    函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0， 故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0， 再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，
    当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；
    当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；
    所以函数f（x）在x2处取得极大值．
    综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…
    19. 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线为L，焦点为F，⊙M的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，过原点作倾斜角为的直线n，交L于点A，交⊙M于另一点B，且|AO|=|OB|=2
    （Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；
    （Ⅱ）过L上的动点Q作⊙M的切线，切点为S、T，求当坐标原点O到直线ST的距离取得最大值时，四边形QSMT的面积．

    参考答案：
    【考点】圆与圆锥曲线的综合．
    【分析】（Ⅰ）画出图形，设准线交y轴于N，在直角三角形ANO中，结合已知条件求出|ON|即p的值，则抛物线方程可求，在三角形MOB中，由三角形为正三角形得到|OM|的值，从而求得圆的方程；（Ⅱ）设出两个切点的坐标，求出两条切线的方程，进一步得到ST所在直线方程，写出原点到ST的距离，分析可知当a=0时即Q在y轴上时原点到ST的距离最大，由此求出ST与MQ的长度，则四边形QSMT的面积可求．
    【解答】解：（Ⅰ）如图，

    设准线L交y轴于，在Rt△OAN中，，
    ∴，
    ∴p=2，则抛物线方程是x2=4y； 在△OMB中有，
    ∴OM=OB=2，
    ∴⊙M方程是：x2+（y﹣2）2=4；

    Word文档下载后（可任意编辑） （Ⅱ）设S（x1，y1），T（x2，y2），Q（a，﹣1）
    ∴切线SQ：x1x+（y1﹣2）（y﹣2）=4；切线TQ：x2x+（y2﹣2）（y﹣2）=4， ∵SQ和TQ交于Q点，
    ∴ax1﹣3（y1﹣2）=4和ax2﹣3（y2﹣2）=4成立， ∴ST方程：ax﹣3y+2=0．
    ∴原点到ST距离，当a=0，即Q在y轴上时d有最大值． 此时直线ST方程是．
    代入x2+（y﹣2）2=4，得．
    ∴．
    此时四边形QSMT的面积．
    20. （14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1 （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
    （Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．
    （Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．
    参考答案：
    【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．

    【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用．
    【分析】（Ⅰ）利用f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．
    （Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．
    （Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．
    【解答】（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2， 又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1
    得2ax+a+b=2x﹣1，故解得：a=1，b=﹣2，
    所以f（x）=x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各，解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
    （Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]， 故fmin（x）=f（1）=1，又f（﹣1）=5，f（2）=2， 所以fmax（x）=f（﹣1）=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
    （Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，
    则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

    解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
    【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力． 21. （本小题满分12分）
    某地一天的温度（单位：）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数关系：
    ，且早上8时的温度为，．
    （1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？
    （2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？
    参考答案：
    【知识点】函数模型的选择与应用．B10 【答案解析】（1）这一天在时也就是下午时出现最高温度，最高温度是.（2）央空调应在上午时开启，下午时（即下午时）关闭
    解析：（1）依题意
    ……………………2分
    因为早上时的温度为    ，即，

    Word文档下载后（可任意编辑） ……………………3分

    ，故取，，
    所求函数解析式为
    . …………………………………5分
    由，    ，可知，
    即这一天在时也就是下午时出现最高温度，最高温度是.…………7分
    （2）依题意：令，可得
    ……………………………9分
    ，或，
    即    或，………………11分
    故中央空调应在上午时开启，下午时（即下午时）关闭…………12分
    【思路点拨】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用已知条件求出参数值，即可得到解析式．（2）利用函数的解析式直接求出时间t，即可得到所求结果．
    22. （本小题满分14分）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
    （1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
    （2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．

    参考答案：




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