重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）=（　　）

A． B． C． D．

2．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3，4}，若P=M∪N，则P的子集个数为（　　）

A．14 B．15 C．16 D．32

3．（5分）已知函数f（）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（　　）

A．1 B．2 C．0 D．﹣1

4．（5分）若函数f（）=a2﹣b+1（a≠0）是定义在R上的偶函数，则函数g（）=a3+b2+（∈R）是（　　）

A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

5．（5分）设a=log2，b=（）3，c=3，则（　　）

A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c

6．（5分）已知tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，则tan（α﹣）等于（　　）

A． B． C． D．

7．（5分）方程﹣log=3和﹣log=3的根分别为α，β，则有（　　）

A．α＜β B．α＞β

C．α=β D．无法确定α与β大小

8．（5分）函数f（）=2sin（2+）的图象为M，则下列结论中正确的是（　　）

A．图象M关于直线=﹣对称

B．由y=2sin2的图象向左平移得到M

C．图象M关于点（﹣，0）对称

D．f（）在区间（﹣，）上递增

9．（5分）函数y=sin2（﹣）的图象沿轴向右平移m个单位（m＞0），所得图象关于y轴对称，则m的最小值为（　　）

A．π B． C． D．

10．（5分）已知f（）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，若实数a满足f（3|2a+1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣）

C．（﹣，+∞） D．（﹣，﹣）

11．（5分）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（　　）

A．0 B． C． D．1

12．（5分）若区间[1，2]的 长 度 定 义 为|2﹣1|，函数f（）=（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（　　）

A． B． C． D．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）计算：log3+lg4+lg25+（﹣）0=　 　．

14．（5分）已知扇形的面积为4cm2，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的弧长为　 　．

15．（5分）若α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），则sin2α的值为　 　．

16．（5分）已知正实数，y，且2+y2=1，若f（，y）=，则f（，y）的值域为　 　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={|5≤＜7}

（1）求集合A；

（2）求（∁UB）∩A．

18．（12分）在平面直角坐标系Oy中，若角α的始边为轴的非负半轴，其终边经过点P（2，4）．

（1）求tanα的值；

（2）求的值．

19．（12分）已知二次函数f（）=m2+4+1，且满足f（﹣1）=f（3）．

（1）求函数f（）的解析式；

（2）若函数f（）的定义域为（﹣2，2），求f（）的值域．

20．（12分）已知函数f（）=sin2ω+2cosωsinω+sin（ω+）sin（ω﹣）（ω＞0），且f（）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求函数f（）在区间（0，π）上的单调增区间．

21．（12分）已知函数f（）=log2（）﹣（m为常数）是奇函数．

（1）判断函数f（）在∈（，+∞）上的单调性，并用定义法证明你的结论；

（2）若对于区间[2，5]上的任意值，使得不等式f（）≤2+m恒成立，求实数m的取值范围．

22．（12分）已知函数f（）=a（|sin|+|cos|）﹣sin2﹣1，若f（）=﹣．

（1）求a的值，并写出函数f（）的最小正周期（不需证明）；

（2）是否存在正整数，使得函数f（）在区间[0，π]内恰有2017个零点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）=（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣

故选D．

2．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3，4}，若P=M∪N，则P的子集个数为（　　）

A．14 B．15 C．16 D．32

【解答】解：集合M={1，2}，N={2，3，4}，

则P=M∪N={1，2，3，4}，

∴P的子集有24=16个．

故答案为：C．

3．（5分）已知函数f（）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（　　）

A．1 B．2 C．0 D．﹣1

【解答】解：∵函数f（）=，f（﹣1）=f（1），

∴f（﹣1）=1﹣（﹣1）=2，f（1）=a，

∵f（﹣1）=f（1），∴a=2．

故选：B．

4．（5分）若函数f（）=a2﹣b+1（a≠0）是定义在R上的偶函数，则函数g（）=a3+b2+（∈R）是（　　）

A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

【解答】解：f（）为偶函数，则b=0；

∴g（）=a3+；

∴g（﹣）=a（﹣）3﹣=﹣（a3+）=﹣g（）；

∴g（）是奇函数．

故选A．

5．（5分）设a=log2，b=（）3，c=3，则（　　）

A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c

【解答】解：a=log2＜0，b=（）3∈（0，1），c=3＞1．

∴c＞b＞a．

故选：B．

6．（5分）已知tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，则tan（α﹣）等于（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，

∴tan（α﹣）=tan[（α﹣β）﹣（﹣β）]===．

故选：C．

7．（5分）方程﹣log=3和﹣log=3的根分别为α，β，则有（　　）

A．α＜β B．α＞β

C．α=β D．无法确定α与β大小

【解答】解：方程﹣log=3和﹣log=3，

分别化为：log2=3﹣，log3=3﹣．

作出函数图象：y=log2，y=3﹣，y=log3．

则α＜β．

故选：A．

8．（5分）函数f（）=2sin（2+）的图象为M，则下列结论中正确的是（　　）

A．图象M关于直线=﹣对称

B．由y=2sin2的图象向左平移得到M

C．图象M关于点（﹣，0）对称

D．f（）在区间（﹣，）上递增

【解答】解：∵函数f（）=2sin（2+）的图象为M，令=﹣，可得f（）=0，

可得图象M关于点（﹣，0）对称，故图象M不关于直线=﹣对称，故C正确且A不正确；

把y=2sin2的图象向左平移得到函数y=2sin2（+）=2sin（2+）的图象，故B不正确；

在区间（﹣，）上，2+∈（0，π），函数f（）=2sin（2+）在区间（﹣，）上没有单调性，故D错误，

故选：C．

9．（5分）函数y=sin2（﹣）的图象沿轴向右平移m个单位（m＞0），所得图象关于y轴对称，则m的最小值为（　　）

A．π B． C． D．

【解答】解：函数y=sin2（﹣）==的图象沿轴向右平移m个单位（m＞0），

可得y=的图象，

再根据所得图象关于y轴对称，可得2m=（2+1）•，∈，

即m═（2+1）•，则m的最小值为，

故选：D．

10．（5分）已知f（）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，若实数a满足f（3|2a+1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣）

C．（﹣，+∞） D．（﹣，﹣）

【解答】解：∵函数f（）是偶函数，

∴f（3|2a+1|）＞f（﹣），等价为f（3|2a+1|）＞f（），

∵偶函数f（）在区间（﹣∞，0）上单调递减，

∴f（）在区间[0，+∞）上单调递增，

∴3|2a+1|＞，即2a+1＜﹣或2a+1＞，解得a＜﹣或a＞﹣，

故选A．

11．（5分）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（　　）

A．0 B． C． D．1

【解答】解：∵（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，

可得：（α﹣）3﹣cos（）﹣2=0，即（﹣α）3+cos（）+2=0

由8β3+2cos2β+1=0，

得（2β）3+cos2β+2=0，

∴可得f（）=3+cos+2=0，

其，2=2β．

∵α∈[，]，β∈[﹣，0]，

∴∈[﹣π，0]，2β∈[﹣π，0]

可知函数f（）在∈[﹣π，0]是单调增函数，方程3+cos+2=0只有一个解，

可得，即，

∴，

那么sin（+β）=sin=．

故选：B．

12．（5分）若区间[1，2]的 长 度 定 义 为|2﹣1|，函数f（）=（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（　　）

A． B． C． D．3

【解答】解：函数f（）=（m∈R，m≠0）的定义域是{|≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，

∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．

f（）==﹣在区间[a，b]上时增函数，

则有：，

故a，b是方程f（）=﹣=的同号相异的实数根，

即a，b是方程（m）2﹣（m2+m）+1=0同号相异的实数根．

那么ab=，a+b=，只需要△＞0，

即（m2+m）2﹣4m2＞0，解得：m＞1或m＜﹣3．

那么：n﹣m==，

故b﹣a的最大值为，

故选：A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）计算：log3+lg4+lg25+（﹣）0=　　．

【解答】解：原式=+lg102+1=+2+1=．

故答案为：．

14．（5分）已知扇形的面积为4cm2，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的弧长为　4cm　．

【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，

则：r2===4．解得r=2，

∴扇形的弧长为l=rα=2×2=4cm，

故答案为：4cm．

15．（5分）若α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），则sin2α的值为　﹣1　．

【解答】解：∵α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），∴cos2α=2sin（+α），

∴（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=（cosα+sinα），

∴cosα+sinα=0，或cosα﹣sinα=（不合题意，舍去），

∴α=，∴2α=，∴sin2α=sin=﹣1，

故答案为：﹣1．

16．（5分）已知正实数，y，且2+y2=1，若f（，y）=，则f（，y）的值域为　[，1）　．

【解答】解：2+y2=1；

∴

=

=

=

=

=；

∵1=2+y2≥2y，且，y＞0；

∴；

∴1＜1+2y≤2；

∴；

∴；

∴f（，y）的值域为．

故答案为：[，1）．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={|5≤＜7}

（1）求集合A；

（2）求（∁UB）∩A．

【解答】解：（1）由题意可得：；

解得3≤＜10；

∴A={|3≤＜10}；

（2）CUB={|＜5或≥7}；

∴（CUB）∩A={|3≤＜5或7≤＜10}．

18．（12分）在平面直角坐标系Oy中，若角α的始边为轴的非负半轴，其终边经过点P（2，4）．

（1）求tanα的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）由任意角三角函数的定义可得：．

（2）

==．

19．（12分）已知二次函数f（）=m2+4+1，且满足f（﹣1）=f（3）．

（1）求函数f（）的解析式；

（2）若函数f（）的定义域为（﹣2，2），求f（）的值域．

【解答】解：（1）由f（﹣1）=f（3）可得该二次函数的对称轴为=1…（2分）

即从而得m=﹣2…（4分）

所以该二次函数的解析式为f（）=﹣22+4+1…（6分）

（2）由（1）可得f（）=﹣2（﹣1）2+3…（9分）

所以f（）在（﹣2，2]上的值域为（﹣15，3]…（12分）

20．（12分）已知函数f（）=sin2ω+2cosωsinω+sin（ω+）sin（ω﹣）（ω＞0），且f（）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求函数f（）在区间（0，π）上的单调增区间．

【解答】解：（1）f（）=sin2ω+2cosωsinω+sin（ω+）sin（ω﹣），

=+sin2ω﹣（cos2ω﹣sin2ω），

=；…（5分）

由题意得，即可得ω=1…（6分）

（2）由（1）知

则由函数单调递增性可知：

整理得：…（9分）

∴f（）在（0，π）上的增区间为，…（12分）

21．（12分）已知函数f（）=log2（）﹣（m为常数）是奇函数．

（1）判断函数f（）在∈（，+∞）上的单调性，并用定义法证明你的结论；

（2）若对于区间[2，5]上的任意值，使得不等式f（）≤2+m恒成立，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）由条件可得f（﹣）+f（）=0，即 ，

化简得1﹣m22=1﹣42，从而得m=±2；由题意m=﹣2舍去，

所以m=2，即，上为单调减函数；

证明如下：设，则f（1）﹣f（2）=log2（）﹣1﹣log2（）+2，

因为＜1＜2，所以2﹣1＞0，21﹣1＞0，22﹣1＞0；

所以f（1）﹣f（2）＞0，即f（1）＞f（2）；

所以函数f（）在∈（，+∞）上为单调减函数；

（2）设g（）=f（）﹣2，由（1）得f（）在∈（，+∞）上为单调减函数，

所以g（）=f（）﹣2在[2，5]上单调递减；

所以g（）=f（）﹣2在[2，5]上的最大值为，

由题意知n≥g（）在[2，5]上的最大值，所以．

22．（12分）已知函数f（）=a（|sin|+|cos|）﹣sin2﹣1，若f（）=﹣．

（1）求a的值，并写出函数f（）的最小正周期（不需证明）；

（2）是否存在正整数，使得函数f（）在区间[0，π]内恰有2017个零点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）函数f（）=a（|sin|+|cos|）﹣sin2﹣1，

∵f（）=﹣．

∴a（sin+cos）﹣sin﹣1=﹣．

解得：a=1，

函数f（）的最小正周期T=π，

（2）存在n=504，满足题意：

理由如下：

当时，，

设t=sin+cos，则 ，sin2=t2﹣1，

则，可得 t=1或，

由t=sin+cos图象可知，在上有4个零点满足题意．

当时，，t=sin﹣cos，

则 ，sin2=1﹣t2，

，，t=1或，

∵，

∴在上不存在零点．

综上讨论知：函数f（）在[0，π）上有4个零点，而2017=4×504+1，

因此函数在[0，504π]有2017个零点，所以存在正整数=504满足题意．