第三章 直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1．1 倾斜角与斜率

【知识点归纳】

1.直线的倾斜角：

2.直线的斜率：

3.直线的斜率公式：

【典型例题】

题型 一 求直线的倾斜角

例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（ ）.

A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°

变式训练：

设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则的倾斜角为（ ）。

A. B. C.

D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为

题型 二 求直线的斜率

例 2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练： 已知过两点,的直线l的倾斜角为45°，求实数的值.

题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系

例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）.

A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2

拓展 一 三点共线问题

例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

变式训练:

若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（ ）.

A． B． C． D．

拓展 二 与参数有关问题

例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围.

变式训练：

已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.

拓展 三 利用斜率求最值

例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。

变式训练： 利用斜率公式证明不等式：且

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【知识点归纳】

1.直线平行的判定

2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）：

【典型例题】

题型 一 两条直线平行关系

例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？

变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（ ）.

A．4 B．1 C．1或3 D．1或4

题型 二 两条直线垂直关系

例 2 已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标．

变式训练：（1）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？

（2）直线的斜率是方程的两根，则的位置关系是 .

题型 三 根据直线的位置关系求参数

例 3 已知直线经过点A(3,a)、B（a-2,-3）,直线经过点C（2，3）、D（-1，a-2）,

（1）如果//，则求a的值；（2）如果⊥，则求a的值

题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用

例4 四边形ABCD的顶点为、、、，试判断四边形ABCD的形状.

变式训练：已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．

探点 一 数形结合思想

例 5 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.

（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上. （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

探点 二 分类讨论思想

例6的顶点，若为直角三角形，求m的值.

3.2 直线的方程

3.2.1 直线的点斜式方程

【知识点归纳】

1.直线的点斜式方程：

2.直线的斜截式方程：

【典型例题】

题型 一 求直线的方程

例1 写出下列点斜式直线方程： （1）经过点，斜率是4；（2）经过点，倾斜角是.

例 2 倾斜角是，在轴上的截距是3的直线方程是 .

变式训练：

1. 已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为

2. 已知直线在轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程.

3.将直线绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是 .

题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题

例 3 已知直线的方程为的方程为，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的方程。

探究 一 直线恒过定点或者象限问题

例 4. 已知直线.

（1）求直线恒经过的定点；

（2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.

探究 二 直线平移

例 5 已知直线l：y=2x-3 ，将直线l向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__________________

3.2.2 直线的两点式方程

【知识点归纳】

1.直线的两点式方程：

2.直线的截距式方程：

【典型例题】

题型 一 求直线方程

例 1 已知△顶点为，求过点且将△面积平分的直线方程.

变式训练：

1.已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）.

A． B． C． D．

2.已知，则过点的直线的方程是（ ）.

A. B. C. D.

例 2求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式训练：已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为

题型 二 直线方程的应用

例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；

（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？

探究 一 直线与坐标轴围成的周长及面积

例 4 已知直线过点，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线的方程．

探究 二 有关光的反射

例 5 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

变式训练：已知点、，点P是x轴上的点，求当最小时的点P的坐标．

3.2.3 直线的一般式方程

【知识点归纳】

1．直线的一般式：

2．直线平行与垂直的条件：

【典型例题】

题型 一 灵活选用不同形式求直线方程

例1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

（1）斜率是－，经过点A（8，－2）； （2）经过点B(4，2)，平行于轴；

（3）在轴和轴上的截距分别是,－3； （4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.

题型 二 直线不同形式之间的转化

例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点.

题型 三 直线一般式方程的性质

例 3直线方程的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?

（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.

变式训练：已知直线。

（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围。

题型 四 运用直线平行垂直求参数

例 4 已知直线：，：，问m为何值时：

（1）； （2）.

变式训练：（1）求经过点且与直线平行的直线方程；

（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.

题型 五 综合运用

例 5 已知直线，，求m的值，使得：

  （1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标

3.3.2 两点间的距离

【知识点归纳】

1.两条直线的焦点坐标：

2.两点间的距离公式：

【典型例题】

题型 一 求直线的交点坐标

例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.

（1）直线l1: 2x－3y+10=0 , l2: 3x+4y－2=0； （2）直线l1:, l2:.

题型 二 三条直线交同一点

例 2 若三条直线相交于一点，则k的值等于

变式训练：1.设三条直线：交于一点，求k的值

2.试求直线关于直线:对称的直线l的方程.

题型 三 求过交点的直线问题

例 3 求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.

变式训练：已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.

题型 四 两点间距离公式应用

例 4 已知点且，则a的值为

变式训练：

在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程.

题型 五 三角形的判定

例 5已知点，判断的类型．

探究 一 直线恒过定点问题

例 6 已知直线. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.

变式训练：若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的倾斜角的取值范围.

探究 二 利用对称性求最值问题（和最小，差最大）

例 7 直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.

变式训练：已知，点为直线上的动点．求的最小值，及取最小值时点的坐标．

3.3.3 点到直线的距离

3.3.4 两条平行直线间的距离

【知识点归纳】

1.点到直线的距离：

2.两条平行间直线的距离：

拓展：点关于点、直线对称点的求法

【典型例题】

题型 一 利用点到直线距离求参数

例 1 已知点到直线的距离为1，则a=（ ）.

A． B．－ C． D．

题型 二 利用点到直线距离求直线的方程

例 2 求过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.

变式训练：

直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到的距离相等，则直线的方程是

题型 三 利用平行直线间的距离求参数

例 3若两平行直线和之间的距离为，求的值.

变式训练：两平行直线间的距离是（ ）.

A.　　　B.　　　C.　　　D.

题型 四 利用平行直线间的距离求直线的方程

例 4 与直线平行且与的距离2的直线方程是

题型 五 点、直线间的距离的综合运用

例 5 已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．

探究 一 与直线有关的对称问题

例 6 △ABC中，. 求∠A的平分线AD所在直线的方程.

变式训练：1.与直线关于点（1，-1）对称的直线方程是

2．求点A（2，2）关于直线的对称点坐标

探究 二 与距离有关的最值问题

例 7 在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离.

变式训练：在直线上求一点P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。

（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。