2017—2018学年度第一学期期末联考试题

高三数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

全卷满分150分，考试时间120分钟．

注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．

1．设全集，则

A． B．

C． D．

2．某学校为了了解高一、二、三这个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是

A．抽签法 B．系统抽样法

C．分层抽样法 D．随机抽样法

3．若为实数，且，则=

A．－1 B．0 C．1 D．2

4．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为

A． B．

C． D．

5．若双曲线的一条渐近线与圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．4

6．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

A．4cm3

B．5 cm3

C．6 cm3

D．7 cm3

7．若实数x，y满足，则目标函数的最小值为

A．2 B．0 C．5 D．

8．函数的图像如图所示，则

的值等于

A． B．

C． D．1

9．已知函数，则其单调增区间是

A．（0，1] B．[0，1] C．（0，+∞） D．（1，+∞）

10．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24

这24个整数中等可能随机产生．则按程序框图正确编程运行时输

出y的值为3的概率为

A． B．

C． D．

11．在△ABC中，角A，B，C的边分别为a，b，c，已知，

△ABC的面积为9，且，则边长a的值为

A．3 B．6 C．4 D．2

12．已知直线交椭圆于A，B两点，若C，D为椭圆M上的两点，四边形ACBD的对角线CD⊥AB，则四边形ACBD的面积的最大值为

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

13．已知向量，且，的夹角为，则在方向上的投影为 ▲ ．

14．已知l为曲线在A（1，2）处的切线，若l与二次曲线也相切，则 ▲ ．

15．函数的图象向左平移个单位得出函数，则 ▲ ．

16．已知A，B，C是球O球面上的三点，且AB=AC=3，，D为球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，当三棱锥D-ABC体积最大时，其高为 ▲ ．

三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～23为选做题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．

17．（本题满分12分）

已知数列的前n项和（n为正整数）．

（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，，求．

18．（本题满分12分）

如图1，已知直角梯形ABCD中，，AB//DC，AB⊥AD，E为CD的中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置（D折后变为P），使得PB=2，如图2．

（Ⅰ）求证：平面PAE⊥平面ABCE；

（Ⅱ）求点B到平面PCE的距离．

19.（本题满分12分）

如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求3月1日到14日空气质量指数的中位数；

（Ⅱ）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

20．（本题满分12分）

如图，抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．

（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求；

（Ⅱ）若，求圆C的半径．

21．（本题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）求的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程；

（Ⅱ）证明：曲线与曲线有唯一公共点．

请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．

22．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系与参数方程】

已知动点P、Q都在曲线上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点．

(Ⅰ) 求M的轨迹的参数方程；

(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

23．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】

已知函数，其中.

(Ⅰ)当时，求不等式的解集；

(Ⅱ)已知关于的不等式的解集为，求的值．

天门、仙桃、潜江2017－2018学年度第一学期期末联考

高三数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：1—5 DCBDC 6—10 ADCDC 11—12 AB

二、填空题：13． 14．4 15． 16．

三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17．解：（Ⅰ）在中，令，可得，

即……………………………………………………………………1分

当时，

∴……………………………………2分

∴，即

∵，∴，即当时，

又，∴数列是首项和公差均为1的等差数列…………4分

于是，∴……………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得……………………………………7分

∴ ①

②

由①－②得

……………………9分

∴…………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）如图，取AE的中点O，连接PO，OB，BE．

由于在平面图形中，如题图1，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形，

∴在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，

∴PO⊥AE，OB⊥AE，PO=OB=，

∵PB=2，∴，

∴PO⊥OB………………………………………………………………3分

又，∴平面PO⊥平面ABCE，

∵PO平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCD……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PO⊥AE，OB⊥AE，，故AE⊥平面POB．

∵PB平面POB，∴AE⊥PB，又BC//AE，∴BC⊥PB．

在Rt△PBC中，

在△PEC中，PE=CE=2，

∴………………………………9分

设点B到平面PCE的距离为d，由，

得…………………………12分

19．解：（Ⅰ）由题意知，中位数为103.5………………………………………………4分

（Ⅱ）设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，13）．

根据题意，，且．

设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则．

∴………………………………8分

（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大……………………12分

20．解：（Ⅰ）抛物线的准线l的方程为………………………………1分

由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为（1，2）…………………………2分

∴点C到准线l的距离d=2，又，

∴……………………………………5分

（Ⅱ）设，则圆C的方程为………6分

即．

由，得．

设，则

，

由，得……………………………………9分

∴，解得，此时．

∴圆心C的坐标为，

从而，

即圆C的半径为………………………………………………12分

21．解：（Ⅰ）的反函数为，设所求切线的斜率为k．

∵，∴，

于是在点（1，0）处的切线方程为…………………………4分

（Ⅱ）证法一：曲线与曲线公共点的个数等于函数零点的个数……………………………………6分

∵，∴存在零点………………………………7分

又，令，则．

当时，，∴在上单调递减；

当时，，∴在上单调递增，

∴在处有唯一的极小值………………………………10分

即在上的最小值为．

∴（当且仅当时等号成立），

∴在上是单调递增的，∴在上有唯一的零点，

故曲线与曲线有唯一公共点…………………12分

证法二：∵，，

∴曲线与曲线公共点的个数等于曲线与的公共点的个数………………………………6分

设，则，即当时，两曲线有公共点．

又（当且仅当时等号成立），∴在上单调递减，∴与有唯一的公共点，

故曲线与曲线有唯一公共点…………………12分

22．解：(Ⅰ) 依题意有…………………………2分

因此………………………………………3分

M的轨迹的参数方程为（为参数，）……5分

(Ⅱ) M点到坐标原点的距离…………7分

当时，，故M的轨迹过坐标原点………………………………10分

23．解：(Ⅰ)当时，………………………………1分

当时，由得，解得…………2分

当时，无解……………………………………3分

当时，由得，解得……………4分

∴的解集为…………………………5分

(Ⅱ)记，则

………………………………………………7分

由，解得……………………………………9分

又已知的解集为，

∴，于是………………………………………………10分