【成才之路】2015-2016学年高中数学 4、2、2最大值、最小值问题第2课时练习 北师大版选修1-1

一、选择题

1、将数8拆分为两个非负数之与,使其立方之与为最小,则分法为(　　)

A、2与6　　　　　　 B、4与4

C、3与5 D、以上都不对

[答案]　B

[解析]　设一个数为x,则另一个数为8－x,则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8,y′＝3x2－3(8－x)2,令y′＝0,即3x2－3(8－x)2＝0,解得x＝4、

当0≤x<4时,y′<0,函数单调递减;当4<x≤8时,y′>0,函数单调递增,所以x＝4时,y最小、

2、要制做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为(　　)

A、a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.pngcm　　　　　　 B、39f3151051ced489401299ae980795f6.pngcm

C、94ed494991c44424373df439761599b9.pngcm D、a1b048eb0d569bd7a76e06a1964fa313.pngcm

[答案]　D

[解析]　设圆锥的高为x,则底面半径为3549b976dd27fffa12cce04de2de7a67.png,

其体积为V＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.pngπx(400－x2)　(0＜x＜20),

V′＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.pngπ(400－3x2),令V′＝0,解得x＝e430f79cded836b3a9d9e1cf4c6eb84e.png、

当0＜x＜a1b048eb0d569bd7a76e06a1964fa313.png时,V′＞0;当a1b048eb0d569bd7a76e06a1964fa313.png＜x＜20时,V′＜0,

所以当x＝a1b048eb0d569bd7a76e06a1964fa313.png时,V取最大值、

3、福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却与加热,如果第x小时时,原油温度(单位:℃)为f(x)＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.pngx3－x2＋8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值就是(　　)

A、8 B、54ddb7426ce94091a2b0d9801717d19c.png

C、－1 D、－8

[答案]　C

[解析]　瞬时变化率即为f ′(x)＝x2－2x为二次函数,且f ′(x)＝(x－1)2－1,又x∈[0,5],

故x＝1时,f ′(x)min＝－1、

4、用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3 4,那么容器容积最大时,高为(　　)

A、0、5m B、1m

C、0、8m D、1、5m

[答案]　A

[解析]　设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm,则高为767a7bdaa632a312a999fb6fe692c314.png＝38eb254102352c1c5fabd82703c59e5c.png(m),容积V＝3x·4x·38eb254102352c1c5fabd82703c59e5c.png＝18x2－84x3c03156b9f3a7eb06ba423d773435f13a.png,V′＝36x－252x2,

由V′＝0得x＝07a259d3e3c2ccb207739fa1a11ea8be.png或x＝0(舍去)、x∈354520d3947eb3589d3e1a55dd796cc6.png时,V′>0,x∈6ba2a7fe5a62e962fcd7181a8437c4e0.png时,V′<0,所以在x＝07a259d3e3c2ccb207739fa1a11ea8be.png处,V有最大值,此时高为0、5m、

5、内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)

A、R　　 B、2R　

C、b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.pngR　 D、265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.pngR

[答案]　C

[解析]　设圆锥高为h,底面半径为r,则R2＝(h－R)2＋r2,∴r2＝2Rh－h2,

∴V＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.pngπr2h＝b913ccb6e05701c7f257ecf71fd3173a.pngh(2Rh－h2)＝adb86d3ff06dbc6f1a791804fba6ee21.pngπRh2－b913ccb6e05701c7f257ecf71fd3173a.pngh3,

V′＝b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.pngπRh－πh2、令V′＝0得h＝92ea6df8fefa61abb26e55dc5eb4b47c.pngR、

当0<h<b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.pngR时,V′>0;当6347146bc65b040bd262ba3afb9a3b1d.png<h<2R时,V′<0、

因此当h＝b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.pngR时,圆锥体积最大、故应选C、

6、设圆柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面半径为(　　)

A、9e242e51691e85cd9c0e5858e471467f.png B、02936e3f2d1c8ac74f436bc99dec8723.png

C、18c79719a00b8fc3d152cb8345451351.png D、e63598b6cab9d901c054985e249d2b1c.png

[答案]　D

[解析]　设底面圆半径为r,高为h,则V＝πr2h,

∴h＝b9b1202fa2332aa4baa8b9b0ab18e3d4.png、∴S表＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·806edbbfbc96ae1afa2ac75f55ce162e.png＝2πr2＋449d39b61fb8e99774e4101ac68365cf.png、

∴S表′＝4πr－00b5a4f58338f27147cf0336fb18bd52.png,令S表′＝0得,r＝3b96592ab185ad6a9e00d457b4021ebf.png,

又当x∈(0,e63598b6cab9d901c054985e249d2b1c.png)时,S表′<0;当x∈(3b96592ab185ad6a9e00d457b4021ebf.png,V)时,S表′>0,∴当r＝3b96592ab185ad6a9e00d457b4021ebf.png时,表面积最小、

二、填空题

7、做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积就是27π,且用料最小,则圆柱的底面半径为________、

[答案]　3

[解析]　设圆柱的底面半径为R,母线长为L,则V＝πR2L＝27π,∴L＝0d6c013dbb8720e39bb5f1ce82a315cf.png,要使用料最省,只需使圆柱形表面积最小,∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2πe3d662bad63a0be2d0c4a0f1d47165a9.png,

∴S′(R)＝2πR－fd211757ce0e67e626c368dab8ebd3d1.png,令S′＝0得R＝3,

∴当R＝3时,S表最小、

8、一艘轮船在航行中的燃料费与它的速度的立方成正比,已知在速度为10km/h时燃料费就是每小时6元 ,而其她与速度无关的费用就是每小时96元,则此轮船的速度为______km/h航行时,能使行驶每公里的费用总与最小、

[答案]　20

[解析]　设船速为每小时x(x＞0)千米,燃料费为Q元,则Q＝kx3,

由已知得:6＝k·103,

∴k＝f1e04210afcd8bf2fac73707fde32aca.png,即Q＝f1e04210afcd8bf2fac73707fde32aca.pngx3、

记行驶每千米的费用总与为y元,则

y＝(f1e04210afcd8bf2fac73707fde32aca.pngx3＋96)·fdb253a34abb54bedd1be84f59a86317.png＝f1e04210afcd8bf2fac73707fde32aca.pngx2＋40422336db452ce42b660a9bd3431239.png

y′＝f658400372a15d95ae2c7e9689ef2d08.pngx－c0cc48e3b0581a96c74bbeca4a376ad3.png,令y′＝0,即f658400372a15d95ae2c7e9689ef2d08.pngx－c0cc48e3b0581a96c74bbeca4a376ad3.png＝0,

解之得:x＝20、

这就就是说,该函数在定义域(0,＋∞)内有唯一的极值点,该极值必有所求的最小值,即当船速为每小时20公里时,航行每公里的总费用最小,最小值为7、2元、

三、解答题

9、用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱、问:水箱底边的长取多少时,水箱容积最大？最大容积就是多少？

[答案]　水箱底边长取80cm时,容积最大,最大容积为128 000cm3

[解析]　设水箱底边长为xcm,则水箱高为h＝60－ac2606fe9376e6e3ad14b772d437bfb9.png(cm)、

水箱容积V＝V(x)＝60x2－c5277634ef6722fda4fb90dd302b142f.png(0<x<120)(cm3)、

V′(x)＝120x－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.pngx2、

令V′(x)＝0得,x＝0(舍)或x＝80、

当x在(0,120)内变化时,导数V′(x)的正负如下表:

因此在x＝80处,函数V(x)取得极大值,并且这个极大值就就是函数V(x)的最大值、

将x＝80代入V(x),得最大容积

V＝802×60－06d246af340f060b66ff543788a6d80f.png＝128 000(cm3)、

答:水箱底边长取80cm时,容积最大,最大容积为128 000cm3、

10、(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足:y＝f(x)＝ax2＋8036936bf315c467c2182d558ac30dfe.pngx－bln892e417660acb317c551dba75b2d8491.png,a,b为常数、当x＝10万元时,y＝19、2万元;当x＝30万元时,y＝50、5万元、(参考数据:ln2＝0、7,ln3＝1、1,ln5＝1、6)、

(1)求f(x)的解析式;

(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值、(利润＝旅游增加值－投入)、

[答案]　(1)f(x)＝－ff4efddf59e8687cc30e3c88a1c94c4d.png＋93f62367b9054b1695dbf97468c8f5c6.pngx－ln892e417660acb317c551dba75b2d8491.png(x≥10)　(2)24、4万元

[解析]　(1)由条件可得

3057227610cdc9d3489eb1feee692c3a.png

解得a＝－68b319693b47a4c5e61e1ce88ebe5536.png,b＝1,

则f(x)＝－ff4efddf59e8687cc30e3c88a1c94c4d.png＋93f62367b9054b1695dbf97468c8f5c6.pngx－ln892e417660acb317c551dba75b2d8491.png(x≥10)、

(2)T(x)＝f(x)－x＝－ff4efddf59e8687cc30e3c88a1c94c4d.png＋b30e6c2e592cbb494f6a2d2ecb70e68b.pngx－ln892e417660acb317c551dba75b2d8491.png(x≥10),

则T′(x)＝86e8d9cbd345bf5657055e5167487609.png＋b30e6c2e592cbb494f6a2d2ecb70e68b.png－b94ebb7591e5056f271e306e51125387.png＝－80e0b5ccc40f72578d968426b9400dc8.png,

令T′(x)＝0,则x＝1(舍)或x＝50,

当x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此T(x)在(10,50)上就是增函数;

当x∈(50,＋∞)时,T′(x)<0,因此T(x)在(50,＋∞)上就是减函数,

∴当x＝50时,T(x)取最大值、

T(50)＝－9f48cdafa93618a34bfd411df4251b21.png＋b30e6c2e592cbb494f6a2d2ecb70e68b.png×50－lnc2a380f0e7fa65ea9d9fca2acd2b4199.png＝24、4(万元)、

即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24、4万元、

一、选择题

1、以长为10的线段AB为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大值为(　　)

A、10 B、15

C、25 D、50

[答案]　C

[解析]　如图,设∠NOB＝θ,则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ,故Smax＝25、

2、若一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则圆柱侧面积的最大值为(　　)

A、2πr2 B、πr2

C、4πr2 D、66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.pngπr2

[答案]　A

[解析]　设内接圆柱的底面半径为r1,高为t,

则S＝2πr1t＝2πr12d491cd188249feb5398b159a13728a57.png＝4πr1d491cd188249feb5398b159a13728a57.png、

∴S＝4π5ef5a576482482115edcc3dac25ce97d.png、

令(r2r9e2d2a9b5b096d19e9abf72805442659.png－r701310195a0c79d8c5e56c075d3598fa.png)′＝0得r1＝8393082f913a6a17aabfedc716d01622.pngr、

此时S＝4π·193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngr·d42fb5cd1b76f81ef3dd594390cc9b45.png

＝4π·193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngr·193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngr＝2πr2、

3、某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系就是R(x)＝－41ad096fb2b1e9b1e24f1ec62b7e412e.png＋400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数就是(　　)

A、150 B、200

C、250 D、300

[答案]　D

[解析]　由题意可得总利润P(x)＝－e2dcd4ea4a5c910b1e5e2a6382bd34b3.png＋300x－20 000,0≤x≤390、由P′(x)＝0,得x＝300、

当0≤x≤300时,P′(x)>0;当300<x≤390时,P′(x)<0,所以当x＝300时,P(x)最大,故选D、

二、填空题

4、用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2 1,该长方体的最大体积就是________、

[答案]　3m3

[解析]　设长方体的宽为x,则长为2x,高为04bbd3c2505d0a826aba4a8d5f2e29a9.png－3x　(0<x<003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png),故体积为V＝2x24bfa7666ff409bfd2e5b78265b90d395.png＝－6x3＋9x2,

V′＝－18x2＋18x,令V′＝0得,x＝0或1,

∵0<x<2,∴x＝1、

∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1、5m时,体积最大,最大体积Vmax＝3m3、

5、某厂生产某种产品x件的总成本:C(x)＝1 200＋877f38c7449214b4e135f0323acf0c24.pngx3,又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为________件、

[答案]　25

[解析]　设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x＝k,

由题知a＝85ad47734ba8b876676511de2545d5f2.png、总利润y＝50066f0d9f19c1b01cf4ea57afa77b0b856.png－877f38c7449214b4e135f0323acf0c24.pngx3－1200(x>0),y′＝04a666db37477bd5795b45fb3c0ba52b.png－14238a7146947263ea40604323937e0b.pngx2,

由y′＝0,得x＝25,x∈(0,25)时,y′>0,x∈(25,＋∞)时,y′<0,所以x＝25时,y取最大值、

6、如图所示,一窗户的上部就是半圆,下部就是矩形,如果窗户面积一定,窗户周长最小时,x与h的比为________、

[答案]　1 1

[解析]　设窗户面积为S,周长为L,则S＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.pngx2＋2hx,h＝5824d144e859ca07fbf35d1ae6aaa0fb.png－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.pngx,∴窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.pngx＋2x＋afe93ee746572b031ae2286680d6983b.png,

∴L′＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png＋2－267b2b9bb0e3a35dd811bafff37627de.png、

由L′＝0,得x＝038af71a4387e5338b502bd289dc3dd7.png,x∈357c85b9194ca3f237563af955719c1a.png时,L′<0,x∈b6e1f95d54749e3f4be8c80d3c1a3f79.png时,L′>0,∴当x＝038af71a4387e5338b502bd289dc3dd7.png时,L取最小值,此时bbdc387f781f101658574ac4861e813b.png＝0258c6bdd5fd1e0ac51c2434ab051b7c.png＝d84723265acadf207b8eea7d2d7bae76.png－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png＝8d4d7101f1b6f4e802aa9d61f488f172.png－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png＝1、

三、解答题

7、(2014·三峡名校联盟联考)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的关系式y＝cad797fed79970c88e1e63ccb9dac052.png＋4(x－6)2,其中2<x<6,m为常数、已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套、

(1)求m的值;

(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大、(保留1位小数)

[答案]　(1)10　(2)3、3元/套

[解析]　(1)因为x＝4时,y＝21,

代入关系式y＝cad797fed79970c88e1e63ccb9dac052.png＋4(x－6)2,得45f9e7fc6ea22eaf07b4a8a0a0a4e289.png＋16＝21,

解得m＝10、

(2)由(1)可知,套题每日的销售量y＝db427ac8955c9f600eb27e1c85e941dc.png＋4(x－6)2,

所以每日销售套题所获得的利润

f(x)＝(x－2)[db427ac8955c9f600eb27e1c85e941dc.png＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6),

从而f ′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)、

令f ′(x)＝0,得x＝1b12ceb0cd2318dd71eb705ee4f5dd05.png,且在(0,1b12ceb0cd2318dd71eb705ee4f5dd05.png)上,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增;在(1b12ceb0cd2318dd71eb705ee4f5dd05.png,6)上,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减,

所以x＝1b12ceb0cd2318dd71eb705ee4f5dd05.png就是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也就是最大值点,

所以当x＝1b12ceb0cd2318dd71eb705ee4f5dd05.png≈3、3时,函数f(x)取得最大值、

故当销售价格为3、3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大、

8、有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂与乙厂的水管费用分别为每千米3a元与5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

[答案]　供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省

[解析]　如图所示,依题意,点C在直线AD上,设C点距D点x km、

因为BD＝40,AD＝50,所以AC＝50－x、

所以BC＝270c3450840d5e02a751b2bfcb9d8346.png＝a63de4498a7ab0753f6a5f4a2b4e15a8.png、

又设总的水管费用为y元,则

y＝3a(50－x)＋5aa63de4498a7ab0753f6a5f4a2b4e15a8.png(0<x<50)、

所以y′＝－3a＋ecb3e0615ed89a061e66a32c4f2be92b.png 、

令y′＝0,解得x1＝30,x2＝－30(舍去)、

当x<30时,y′<0;当x>30时,y′>0、

所以当x＝30时,取得最小值,此时AC＝50－x＝20(km),

即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省、