2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为

(A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (D)

2. 已知向量, 若a//b, 则实数m等于

(A) (B)

(C)或 (D) 0

3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是

(A) (B)

(C) (D)

4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为

(A) 25

(B) 30

(C) 31

(D) 61

5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为

(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45

6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是

(A) 若, 则z是实数 (B) 若, 则z是虚数

(C) 若z是虚数, 则 (D) 若z是纯虚数, 则

7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为

(A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2

7. 已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是

(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定

7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为

(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有

(A) [－x] = －[x] (B) [x +] = [x]

(C) [2x] = 2[x] (D)

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 双曲线的离心率为 .

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .

13. 观察下列等式:

…

照此规律, 第n个等式可为 .

14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)

A. (不等式选做题) 设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 .

B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知, PD = 2DA = 2, 则PE = .

C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是 .

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. (本小题满分12分)

已知向量, 设函数.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.

17. (本小题满分12分)

设Sn表示数列的前n项和.

(Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式;

(Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列.

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,.

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.

19. (本小题满分12分)

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:

(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

20. (本小题满分13分)

已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

21. (本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.

(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.