6.1　余弦函数的图像

6.2　余弦函数的性质

1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．

2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点)

3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理　余弦函数的图像与性质

阅读教材P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．

1．利用图像变换作余弦函数的图像

余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x向左平移个单位长度得到．如图1－6－1是余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．

图1－6－1

2．利用五点法作余弦函数的图像

画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cos x(x∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y＝cos x，x∈R的简图(如图1－6－2)．

图1－6－2

3．余弦函数的性质

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.(　　)

(2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移个单位得到．(　　)

(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是位置不同．(　　)

(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．(　　)

【解析】　(1)(3)正确；余弦函数y＝cos x＝sin，即可看作是y＝sin x向左平移个单位得到的，因而(2)错；正、余弦函数有相同的周期(都是2π)，相同的最大值(都是1)，相同的最小值(都是－1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而(4)错．

【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________

解惑：___________________________________________________________

疑问2：_________________________________________________________

解惑：___________________________________________________________

疑问3：_________________________________________________________

解惑：___________________________________________________________

[小组合作型]

　用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．

【精彩点拨】　利用“五点法”：

―→―→

【自主解答】　列表：

描点并用光滑的曲线连接起来，如图．

作函数y＝acos x＋b的图像的步骤

1．列表：由x＝0，，π，，2π时，cos x＝1,0，－1，0,1，求出y值．

2．描点：在同一坐标系中描五个关键点．

3．连线：用平滑曲线．

[再练一题]

1．作出函数y＝1－cos x在[－2π，2π]上的图像．

【解】　①列表：

②作出y＝1－cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出y＝1－cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．

如图所示：

　求下列函数的定义域．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝log2(－1＋2cos x)＋.

【精彩点拨】　写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的定义域，求若干个不等式的交集即可．

【自主解答】　(1)要使y＝有意义，则必须满足2cos x＋1≥0，即cos x≥－.

结合余弦函数的图像得y＝的定义域为.

(2)要使函数有意义，

则即

cos x>的解集为

，

x2≤9的解集为{x|－3≤x≤3}，

取交集得.

∴原函数的定义域为.

1．求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图像，关键有两点：(1)选取一个合适的周期；(2)确定边界值．

2．当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围，即取它们的交集．

3．当三角不等式与代数不等式在一起时，在取交集时，应注意对三角不等式解集中的k进行讨论．

[再练一题]

2．求下列函数的定义域．

(1)y＝；(2)y＝log (2cos x－)．

【解】　(1)要使函数有意义，则有－cos x≥0，

∴cos x≤，可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.

故所求函数的定义域为

.

(2)要使函数有意义，则有2cos x－>0，

∴cos x>，故所求定义域为

.

　(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；

(2)比较大小cosπ________cos.

【精彩点拨】　(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝cos x的单调性相反．

(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．

【自主解答】　(1)由于y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以函数y＝1－2cos x的增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．

(2)由于cosπ＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos＝cos，

y＝cos x在[0，π]上是减少的．

由<知cos>cos，

即cosπ.

【答案】　(1)[2kπ，2kπ＋π]　(2)<

1．形如y＝acos x＋b(a≠0)函数的单调区间

(1)当a>0时，其单调性同y＝cos x的单调性一致；

(2)当a<0时，其单调性同y＝cos x的单调性恰好相反．

2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．

[再练一题]

3．(1)比较大小：cos与cos；

(2)求函数y＝log (cos 2x)的增区间．

【解】　(1)cos＝cos＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos＝cos.

∵0<<<π，且y＝cos x在[0，π]上递减，

∴cos，

即cos.

(2)由题意得cos 2x>0且y＝cos 2x递减．

∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z，

∴kπ<x<kπ＋，k∈Z，

∴y＝log (cos 2x)的增区间为，k∈Z.

[探究共研型]

探究1　余弦函数在第一象限内是减函数吗？

【提示】　不是．余弦函数y＝cos x在内是减函数，但不能说在第一象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos 60°°.

探究2　求与余弦函数相关的最值问题时应注意什么？

【提示】　首先看函数的定义域，一定注意在定义域内求最值．

探究3　对于y＝Acos2x＋Bcos x＋C型的函数如何求最值？

【提示】　利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求最值．

　求下列函数的最值．

(1)y＝－cos2x＋cos x；

(2)y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈.

【精彩点拨】　本题中的函数可以看作是关于cos x的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．

【自主解答】　(1)y＝－2＋.

∵－1≤cos x≤1，

∴当cos x＝时，ymax＝.

当cos x＝－1时，ymin＝－2.

∴函数y＝－cos2x＋cos x的最大值为，最小值为－2.

(2)y＝3cos2x－4cos x＋1

＝32－.

∵x∈，cos x∈，

从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；

当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.

∴函数在区间上的最大值为，最小值为－.

求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：

(1)sin x，cos x的有界性；

(2)sin x，cos x的单调性；

(3)化为sin x＝f(x)或cos x＝f(x)，利用|f(x)|≤1来确定；

(4)通过换元转化为二次函数．

[再练一题]

4．已知函数y＝－cos2x＋acos x－a－的最大值为1，求a的值.

【导学号：66470018】

【解】　y＝－cos2 x＋acos x－a－

＝－2＋－－.

∵－1≤cos x≤1，于是

①当<－1，即a<－2时，当cos x＝－1时，

ymax＝－a－.

由－a－＝1，得a＝－>－2(舍去)；

②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当cos x＝时，ymax＝－－.

由－－＝1，得a＝1－或a＝1＋(舍去)；

③当>1，即a>2时，当cos x＝1时，ymax＝－.

由－＝1，得a＝5.

综上可知，a＝1－或a＝5.

[构建·体系]

1．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　)

A．2，－2　　　　　 B．1，－3

C．1，－1 D．2，－1

【解析】　∵－1≤cos x≤1，

∴－2≤2cos x≤2，

∴－3≤2cos x－1≤1，

∴最大值为1，最小值为－3.

【答案】　B

2．函数y＝sin x和y＝cos x都是减少的区间是(　　)

A． (k∈Z)

B. (k∈Z)

C. (k∈Z)

D. (k∈Z)

【解析】　结合函数y＝sin x和y＝cos x的图像知都减少的区间为(k∈Z)．

【答案】　C

3．函数y＝的定义域是________.

【导学号：66470019】

【解析】　由题意知1＋cos x≠0，即cos x≠－1，结合函数图像知.

【答案】　

4．满足＋2cos x≥0(x∈R)的x的集合是________．

【解析】　∵＋2cos x≥0，

∴cos x≥－，结合图像(略)知：

－π＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

【答案】　

5．画出y＝1－3cos x在[0,2π]上的简图，并指出其最值和单调区间．

【解】　列表：

图像如下：

由图像可知，函数y＝1－3cos x在[0,2π]上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为[0，π]，减区间为[π，2π]．

我还有这些不足：

(1)______________________________________________________________

(2)______________________________________________________________

我的课下提升方案：

(1)______________________________________________________________

(2)______________________________________________________________