成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析（一）

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．

1．当x→0时，x2是x-1n(1+x)的（　　）．

A．较高阶的无穷小量

B．等价无穷小量

C．同阶但不等价的无穷小量

D．较低阶的无穷小量

2．设函数(sinx)=sin2 x，则ˊ(x)等于（　　）．

A．2cos x

B．-2sin xcosx

C．％

D．2x

3．以下结论正确的是（　　）．

A．函数(x)的导数不存在的点，一定不是(x)的极值点

B．若x0为函数(x)的驻点，则x0必为(x)的极值点

C．若函数(x)在点x0处有极值，且ˊ(x0)存在，则必有ˊ(x0)=0

D．若函数(x)在点x0处连续，则ˊ(x0)一定存在

4．

A．

B．

C．exdx

D．exIn xdx

5．函数y=ex-x在区间(-1，1)内（　　）．

A．单调减少

B．单调增加

C．不增不减

D．有增有减

6．

A．F(x)

B．-F(x)

C．0

D．2F(x)

7．设y=(x)二阶可导，且ˊ(1)=0,″(1)>0，则必有（　　）．

A．(1)=0

B．(1)是极小值

C．(1)是极大值

D．点(1,(1))是拐点

8．

A．(3)- (1)

B．(9)- (3)

C．1[f(3)-f(1)

D．1/3[(9)- (3)]

9．

A．2x+1

B．2xy+1

C．x2+1

D．x2

10．设事件A，B的P(B)=0．5，P(AB)=0．4，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A | B)=（　　）．

A．O．1

B．0．2

C．0．8

D．0．9

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．

11．

12．当x→0时，1-cos戈与xk是同阶无穷小量，则k= __________．

13．设y=in(x+cosx)，则yˊ __________．

14．

15．

16．设(x)的导函数是sin 2x，则(x)的全体原函数是 __________．

17．

18．曲线y=xlnx-x在x=e处的法线方程为 __________．

19．

20．

三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．

21．

22．23．

24．

25．(本题满分8分)一枚5分硬币，连续抛掷3次，求“至少有1次国徽向上”的概率．

26．(本题满分10分)在抛物线y2=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形，其一边在x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少

27．(本题满分10分)设z=z(x，y)由方程ez-x2+y2+x+z=0确定，求出．

28．(本题满分10分)求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S，并求

此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy．

参考答案及解析

一、选择题

1．【答案】应选C．

【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较．

比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项．本题即为计算：

由于其比的极限为常数2，所以选项C正确．

请考生注意：由于分母为x-ln(1+x)，所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)-x，否则将导致错误的结论．

与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶”．例如：当x→0时，x-In(1+x)是x的

A．1/2阶的无穷小量

B．等价无穷小量

C．2阶的无穷小量

D．3阶的无穷小量

要使上式的极限存在，则必须有k-2=0，即k=2．

所以，当x→0时，x-in(1坝)为x的2阶无穷小量，选C．

2．【答案】应选D．

【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算．

本题的解法有两种：

解法1先用换元法求出(x)的表达式，再求导．

设sinx=u，则(x)=u2，所以ˊ(u)=2u，即ˊ(x)=2x，选D．

解法2将(sinx)作为(x)，u=sinx的复合函数直接求导，再用换元法写成ˊ(x)的形式．

等式两边对x求导得

ˊ(sinx)·COSx=2sin xCOSx，ˊ(sin x)=2sinx．

用x换sin x，得ˊ(x)=2x，所以选D．

请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的．熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩．为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：

(2004年)设函数 (cosx)=1+cos3x，求ˊ(x)．(答案为3x2)

3．【答案】应选C．

【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的．要否定一个命题的最佳方法是举一个反例，

例如：

y=|x|在x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导，排除A和D．

y=x3，x=0是它的驻点，但x=0不是它的极值点，排除B，所以命题C是正确的．

4．【答案】应选A．

【解析】本题可用dy=yˊdx求得选项为A，也可以直接求微分得到dy．

5．【答案】应选D．

【解析】本题需先求出函数的驻点，再用y″来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两侧的yˊ必异号，从而进一步确定选项．

因为yˊ=ex-1，令yˊ=0，得x=0．

又y″=ex>0，x∈(-1，1)，且y″|x=0=1>0，所以x=0为极小值点，故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增，则当x∈(-1，1)时，函数有增有减，所以应选D．

6．【答案】应选B．

【解析】用换元法将F(-x)与F(x)联系起来，再确定选项．

7．【答案】应选B．

【提示】根据极值的第二充分条件确定选项．

8．【答案】应选D．

【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法．本题可以直接换元或用凑微分法．

9．【答案】应选B．

【解析】用二元函数求偏导公式计算即可．

10．【答案】应选C．

【解析】利用条件概率公式计算即可．

二、填空题

11．【答案】应填e-2.

【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件，可知k=e-2．

12．【答案】应填2．

【解析】根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定k值．

13．

【解析】用复合函数求导公式计算．

14．【答案】应填6．

15．

【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导．

将等式两边对x求导(此时y=y(x))，得

16．

【解析】 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念．

17．

18．【答案】应填x+y-e=0．

【解析】 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程．

19．【答案】 应填2π．

【提示】 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质．

20．

【提示】 将函数z写成z=ex2·ey，则很容易求得结果．

三、解答题

21．本题考查的是型不定式极限的概念及相关性质．

【解析】含变上限的型不定式极限直接用洛必达法则求解．

22．本题考查的知识点是复合函数的求导计算．

【解析】 利用复合函数的求导公式计算．

23．本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法．

【解析】 本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分．

另外由于被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分．

解法1

解法2三角代换去根号．

24．本题考查的知识点是反常积分的计算．

【解析】 配方后用积分公式计算．

25．本题考查的知识点是古典概型的概率计算．

26．本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法．

【解析】 本题的关键是正确列出函数的关系式，再求其最大值．

解如图2-7-1所示，设A点坐标为(x0，y0)，则AD=2-x0，矩形面积

27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法．

利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x，y，z)=ez-x2+y2+x+z，

然后将等式两边分别对x，y，z求导．考生一定要注意：对x求导时，y，z均视为常数，而对y或z求导时，另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量．

解法1直接求导法．

等式两边对x求导得

解法2公式法．

解法3微分法．

对等式两边求微分得

三种解法各有优劣，但公式法更容易理解和掌握．建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法．

28．本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法．

【解析】 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对x积分还是对)，积分．选择的原则是：使得积分计算尽可能简单或容易算出．本题如果选择对x积分，则有

这显然要比对y积分麻烦．

在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转．历年的试题均是绕x轴旋转，而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积．

旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此)是：

解 画出平面图形，如图2-7-2所示的阴影部分，则有阴影部分的面积