2019年内江市中考数学试题及解析

全卷满分160分，时间120分钟

A卷(共100分)

1、选择题(本小题共12小题，每小题3分，共36分.)

1.word/media/image1_1.png的相反数是( ) A.6 B.-6 C.word/media/image2_1.png D.word/media/image3_1.png

难度：☆ 考点：有理数的相反数 答案：C

2.-268000用科学记数法表示为( )

A.-268×103 B.-268×104 C.-26.8×104 D.-2.68×105

难度：☆ 考点：科学记数法 答案：D

3.下列几何体中，主视图为三角形的是( )

word/media/image4.gif

A B C D

难度：☆ 考点：立体图形的三视图 答案：A

4.下列事件为必然事件的是( )

A.袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球

B.三角形的内角和为180°

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告

D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上

难度：☆ 考点：统计与概率 答案：B

5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

word/media/image5.gif

A B C D

难度：☆ 考点：平面图形的对称性 答案：D

6.下列运算正确的是( )

A.m2•m3=m6 B.(m4)2=m6 C.m3+m3=2m3 D.(m-n)2=m2-n2

难度：☆ 考点：幂的运算 答案：C

7.在函数word/media/image6_1.png中，自变量x的取值范围是( )

A.x＜4 B.x≥4且x≠-3 C.x＞4 D.x≤4且x≠-3

难度：★ 考点：复合函数自变量的取值范围 答案：D

word/media/image7.gif解析：由4-x≥0及x+3≠0，分别解得x≤4，x≠-3，再由范围的逻辑关系得...

8.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AC的长为( )

A.6 B.7 C.8 D.9

难度：★ 考点：平行线分线段成比例 答案：C

9.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程

x2-8x+15=0的一根，则此三角形的周长是( )

A.16 B.12 C.14 D.12或16

难度：★ 考点：一元二次方程的求解、三角形的三边关系 答案：A

解析：由方程x2-8x+15=0解得x=3或5，而3+3=6，舍去，故三角形的周长为5+5+6=16.

word/media/image8.gif10.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC

绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE.当点B的对应点D

恰好落在BC边上时，则CD的长为( )

A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6

难度：★ 考点：图形的旋转不变性、等边三角形的判定及性质

简析：由旋转得AD=AB，又∠B=60°，则△ABD为等边三角形，

故CD=BC-BD=BC-AB=3.6-2=1.6. 答案：A

11.若关于x的不等式组word/media/image9_1.png恰有三个整数解，则a的取值范围是( )

A.1≤a＜word/media/image10_1.png B.1＜a≤word/media/image10_1.png C.1＜a＜word/media/image10_1.png D.a≤1或a＞word/media/image10_1.png

难度：★★ 考点：不等式组的解集及解不等式组 答案：B

解析：解不等式组，得word/media/image11_1.png.由该不等式组有三个整数解，即不等式word/media/image12_1.png＜x＜2a有整数解为0,1,2.则2＜2a≤3，故1＜a≤1.5。

12.如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离为h2；按上述方法不断操作下去...经过第n次操作后得到折痕Dn-1En-1到AC的距离记为hn.若h1=1，则hn的值为( )

word/media/image13.gifA.word/media/image14_1.png B.word/media/image15_1.png C.word/media/image16_1.png D.word/media/image17_1.png

难度：★★ 答案：C

考点：图形的翻折、相似三角形的性质、规律数求和及客观题的简便求解。

解析：由折叠及中点得DE∥D1E1∥...∥AC，进而得

h2=h1+word/media/image18_1.pngh1=1+word/media/image18_1.png，h3=h1+word/media/image18_1.pngh1+word/media/image19_1.pngh1=1+word/media/image18_1.png+word/media/image19_1.png，...

故hn=1+word/media/image18_1.png+word/media/image19_1.png+...+word/media/image20_1.png=word/media/image16_1.png。

2、填空题(本小题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.分解因式：xy2-2xy+x= .

难度：☆ 考点：多项式的因式分解之提公因式和完全平方公式 答案：x(y -1)2

14.一组数据为0,1,2,3,4，则这组数据的方差是 .

难度：★ 考点：衡量一组数据离散程度之“三差”

解析：易得word/media/image21_1.png，则word/media/image22_1.png

15.若word/media/image23_1.png，则分式word/media/image24_1.png的值为 .

难度：★ 考点：等式的变形、分式的化简，整体代入法

解析：由word/media/image23_1.png得m+n=2mn,代入分式，得word/media/image25_1.png.

16.如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A=150°，CD=4，以CD为直径的⊙O交AD于

E，则图中阴影部分的面积为 .

难度：★★ 考点：圆、三角形、平行四边形的知识综合

解析：连结CE、OE.由平行四边形ABCD中∠A=150°，得∠D=30°，

word/media/image26.gif由CD为⊙O的直径，得∠DEC=90°，∠COE=60°.

由CD=4，得OC=EC=2,进而得DE=2word/media/image27_1.png.

则S△ODE=word/media/image28_1.pngS△CDE=word/media/image29_1.pngEC•ED=word/media/image27_1.png，S扇形OCE=word/media/image30_1.png,

故阴影部分的面积为word/media/image31_1.png.

3、解答题(本小题共5小题，共44分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.)

17.(本小题满分7分)

计算：word/media/image32_1.png

难度：★ 考点：实数的综合计算.(这种题型是定向明显的常规问题，纯属送分)

解析：原式=word/media/image33_1.png

18.(本小题满分9分)

如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，

连结AE、AF、EF.

word/media/image34.gif (1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=5，请求出EF的长.

word/media/image35.gifword/media/image36.gif难度：★ 考点：正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.

word/media/image37.gif (1)证明： ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°

∵BE=DF，

∴△AED≌△CFD.

(2)解： ∵△AED≌△CFD，∴AE=AF=5，∠BAE=∠DAF

∴∠EAF=∠DAE+∠DAF=∠DAE+∠BAE=90°

∴在等腰直角△EAF中，EF=word/media/image38_1.pngAE=5word/media/image38_1.png.

19.(本小题满分9分)

“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品.王老师从全校20

word/media/image39.gif个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完

整的统计图.

根据表中提供的信息解答下列问题：

(1)王老师采取的调查方式是 (填“普查”或“抽样调查”)，王老师所调查的4个班共征集到作品 件，请补全条形统计图；

(2)在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为 ；

(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生.现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率.

word/media/image40.gif (要求用树状图或列表法写出分析过程)

难度：★ 考点：数据的统计与整理、分析

答案：(1)抽样调查 24 (2)150°

(3)树状图见右图：

∵一共有12个机会均等的结果，其中有6个结果是一男一女.

∴P(一男一女)word/media/image41_1.png

20.(本小题满分9分)

如图，两座建筑物DA与CB,其中CB的高度为120米,从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30○,测得其底部C的俯角为45○,求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？(结果保留根号)

word/media/image42.gif难度：★★ 考点：解直角三角形综合与方程思想

解：如图，过点A作AE⊥BC于点E.

由题意得，在Rt△AEC中，∠EAC=45○，则AE=CE；

在Rt△AEB中，∠EAB=30○，则AE=word/media/image43_1.pngBE.

设BE为x米，则由CB的高度为120米，

得x+word/media/image43_1.pngx=120，解得x=60(word/media/image43_1.png-1)，

则AE=word/media/image43_1.png×60(word/media/image43_1.png-1)=180-60word/media/image43_1.png(米),易得DC=AE，

故这两座建筑物的地面距离DC为(180-60word/media/image43_1.png)米.

21.(本小题满分10分)

如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=word/media/image44_1.png(k≠0)的图象交于第二、四象限内的点

A(a，4)和点B(8，b).过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4.

(1)分别求出a和b的值；

word/media/image45.gif (2)结合图象直接写出mx+n＜word/media/image44_1.png的解集；

(3)在x轴上取点P，当PA-PB取得最大值时，求出点P的坐标.

难度：★★★ 考点：函数综合知识

解：(1)∵△AOC的面积为4，即OC•OA=8

而点A(a，4)在第二象限，

∴ -a×4=8，解得a=-2，则A(-2，4)

∵点A(-2，4)和点B(8，b)都在双曲线y=word/media/image44_1.png上，

∴8b=-2×4，解得b=-1，则B(8，-1).

(2)∵直线y=mx+n和双曲线y=word/media/image44_1.png交于点A(-2，4)和点B(8，-1)，

∴mx+n＜word/media/image44_1.png的解集为-2＜x＜0及x＞8.

(3)如图，作点B关于x轴的对称点B’,连结AB’并延长，交x轴于点P.

易得PA-PB=PA-PB’=AB’，即AB’为PA-PB的最大值.

设直线AB’的解析式为y=px+q，将A(-2，4)和B’(8，1)分别代入，

得word/media/image46_1.png，解得word/media/image47_1.png，则直线AB’的解析式为word/media/image48_1.png

当y=0时，x=word/media/image49_1.png，故点P的坐标为(word/media/image49_1.png，0)。

B卷(共60分)

一、填空题(本小题共4小题，每小题6分，共24分.)　　

22、若word/media/image50_1.png，则a-10012= .

难度：★★ 考点：二次根式被开方数的非负性、等式性质等

解析：由a-1002≥0得a≥1002，则等式可逐步化简word/media/image51_1.png，word/media/image52_1.png，word/media/image53_1.png，即word/media/image54_1.png

23、如图，点A、B、C在同一直线上，且AB=word/media/image55_1.pngAC.点D、E分别是AB、BC的中点，分别以

AB、DE、BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(阴影部分)的面积分别记

word/media/image56.gif作S1、S2、S3.若S1=word/media/image57_1.png，则S2+S3= .

难度：★★ 考点：正方形的性质、三角形的相似等

解析：由AB=word/media/image55_1.pngAC，点D、E分别是AB、BC的中点，

得BE=CE=0.5AD=0.5DB.

由以AB、DE、BC为边作三个正方形，得图中的三角形均为等腰直角三角形.

设以EC为直角边的三角形面积为S，即以BE为直角边的三角形面积为S，易得以AD、

DB为直角边的三角形面积为4S，进而得S1=8S，S2=4S，S3=2S.

由S1=word/media/image57_1.png，得S2+S3=word/media/image58_1.png

24、若x、y、z为实数，且word/media/image59_1.png，则代数式x2-3y2+z2的最大值是 .

难度：★★ 考点：方程组的求解、配方法求函数极值

解析：由word/media/image59_1.png可得word/media/image60_1.png.则x2-3y2+z2=(3-y)2-3y2+(y-1)2=-y2-8y+8= -(y+4)2+26

所以，当实数x= -4时，该代数式的最大值是26.

25、如图，在菱形ABCD中，sinB=word/media/image61_1.png，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB沿EF翻

word/media/image62.gif折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时，word/media/image63_1.png的值是 .

难度：★★★ 考点：三角函数、菱形性质、相似原理、勾股定理

解析：如图，延长NM，交AD于点G.

在菱形ABCD中，AD=CD=BC，AD∥BC，∠D=∠B.

当MN⊥BC时，易得△FCN∽△EGM∽△CGD，

则∠N=∠ECM=∠D=∠B.

由sinB=word/media/image61_1.png，得word/media/image64_1.png.

在Rt△CGD中，DG=word/media/image65_1.png，则AG=word/media/image66_1.png.

又word/media/image67_1.png，则AE=word/media/image68_1.png,故word/media/image63_1.png=word/media/image69_1.png

二、解答题(本小题共3小题，每小题12分，共36分.)　

26、某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000

元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元，

B种商品每件的售价定为45元.

(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于

B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

(3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m(10＜m＜20)元，B种

商品售价不变.在(2)条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.

难度：★★★ 考点：列方程、不等式(组)解应用题

解析：(1)A种商品每件的进价设为a元，则B种商品每件的进价为(a-20)元，

由题意，得word/media/image70_1.png，解得a=50，经检验符合题意，则a-20=50-20=30

答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元.

(2)设购进A种商品x件，则购进B种商品(40-x)件，

由题意，得word/media/image71_1.png，解得word/media/image72_1.png≤x≤18

x可以取整数14、15、16、17、18，所以该商店有五种进货方案：

①A14件，B26件；②A15件，B25件；③A16件，B24件；④A17件，B23件；

⑤A18件，B22件.

(3)A种商品每件利润为(80-50-m)元，即(30-m)元；B种商品每件利润为45-30=15元.

设总利润为w元，则w=(30-m)x+15(40-x)=(15-m)x+600

∵10＜m＜20

∴当10＜m＜15时，15-m＞0，w随x的增大而增大，此时，方案⑤获得总利润

最大，w=18(15-m)+600=870-18m；

当m=15时，w=600，即五种方案获得总利润相同，均为600元；

当15＜m＜20时，15-m＜0，w随x的增大而减小，此时，方案①获得总利润

最大，w=14(15-m)+600=810-14m.

27、如图，AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB=5，OB与⊙O相交

于点P，AP的延长线交直线l于点C.(1)求证：AB=BC；(2)若⊙O的半径为3，求线段AP的

长；(3)若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取

值范围.

难度：★★★ 考点：圆的性质、勾股定理、相似性质等

word/media/image73.gif解析：(1)如图，连结OA.

∵AB与⊙O相切于点A，

∴∠OAB=90○，即∠OAP+∠BAP=90○.

∵OB⊥l于点B，

∴∠PBC=90○，即∠BPC+∠BCP=90○.

∵⊙O中，OA=OP， ∴∠OAP=∠OPA.

∵∠OPA=∠BPC，

∴∠BAP=∠BCP， ∴AB=BC.

(2)在Rt△OAB中，OA=3,OB=5，则AB=word/media/image74_1.png4.

过点A作AH⊥OB于H，则AH=word/media/image75_1.png

在Rt△OHA中，OH=word/media/image76_1.png，则PH=OP-OH=3-word/media/image77_1.png=word/media/image78_1.png

∴AP=word/media/image79_1.png.

(或)求出AH、PC后再利用△PHA∽△PBC，得AP=word/media/image80_1.png

(或)作AM⊥l于点M,可得△AMB∽△BAO，则BM=word/media/image75_1.png.

由AM∥PB得word/media/image81_1.png，则AP=word/media/image82_1.png.

(3)如图，以BC为底边的等腰△GBC与⊙O有唯一交点G，连结GO，则GO=AO=r.

word/media/image83.gif 过点G作GF⊥BC，则BF=GO=0.5BC=0.5AB，

进而得AB=2r.

在Rt△OAB中,AO2+AB2=OB2，即r2+4r2=25,解得r=word/media/image84_1.png；

又直线l与⊙O相离，则r＜5.

故⊙O的半径r的取值范围为word/media/image84_1.png＜r＜5.

28、已知抛物线C1：word/media/image85_1.png与C2：word/media/image86_1.png的顶点相同.

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)点A是抛物线C2在第四象限内的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最

大值；

(3)设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为(-1，-4).问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线

段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB’，且点B’恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点

word/media/image87.gifQ的坐标，若不存在，请说明理由。

难度：★★★★ 考点：函数综合应用

解析：(1)∵抛物线C1：word/media/image85_1.png的顶点为(1，-4)，

又抛物线C1与C2：word/media/image86_1.png的顶点相同，

∴word/media/image88_1.png，解得m=2，进而解得n=-3，

∴抛物线C2的解析式是word/media/image89_1.png.

(2)抛物线C2：word/media/image90_1.png与x轴交于点(-1，0)和(3，0)

设点A的坐标为(a，a2-2a-3)(0＜a＜3)，则点P坐标为(a，0)，

∴AP+OP=|a2-2a-3|+a=-a2+3a+3=word/media/image91_1.png

∴当word/media/image92_1.png时，AP+OP取得最大值，为word/media/image93_1.png.

(3)连结BC.抛物线C2的对称轴为直线l：x=1

∵点B的坐标为(-1，-4)，点C的坐标为(1，-4)，

∴BC=2，BC⊥直线l.

假设在抛物线C2上存在满足条件的点B’，过点B’作B’G⊥直线l于点G，

则有△BCQ≌△QGB’，进而有BC=QG=2，CQ=GB’.

设点Q的坐标为(1，q)，点B’的坐标为(x，x2-2x-3)，

则QG=x2-2x-3-q=2，CQ=|-4-q|，GB’=|x-1|

联立word/media/image94_1.png，整理得q2+7q+10=0，解得q=-2或-5

∴满足要求的点Q的坐标为(1，-2)或(1，-5).