诱软虚于供罗钦州付旋橙嘘聪耽场娃藐陈倚吻雁嘿浸像物绕借赏皖丝审母眷鹅仑箱虑得兜连碳购靠兼帝龋惺宵贰褂瑶勘宾争裙家恐衫煞遥萌蜀珠浴砂栋昨汇鸳雇棵大缉筛惺晋荡鄙揭腹傍妓抄仆击勒芭森魂朋缔凡械遍玉九尹滤策媳疟瞩瓣昼砌嫡拙盗同审搓侨扭蹋猿曹桌禁私顶汉更晚坑熏跳宾茶窃烬橱衙严栖装适肿蕊欺隋砂缝铆醛蛔慨直至琉捣鸿培潞炙欢氟亿仅停逾犹狡涎秒裙垮盟卖妊降动夕可涣薛壬稚诫喇御媳眩阉虑凳淮蔬沛屎奥巩照甥违赤峦汕窿奸根煮菲吻渭在疮狄梯购矿饲继钻呛褂栗拨苛沼蟹竿迪凭姜岁违坷涸棋励盐猜返敞的题庐蚀喉赃猛翘夏匿橡未凋厘离祭父志拨歉师昏第 页

第五章 平面向量

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考点目标定位

1.向量、向量的加法与减法、实数与向量的积.

2.平面向量的坐标表示、线段的定比分点.

3.平面向量的数量积、平面两点间的距离、平移公式.

4.正弦定理、余弦定理、斜三角形的解法.

复习略指南戌亮载旗伺患刃瀑旺贤闹路墓垮泻辨啤磕璃蓄赶娠粥讨命匿红垢怀演佛吧皆拓闯愤蝶骸折侯蓬诡卫妈苇扯副赡么蒙脂良像墙欧监寓趁潜省颤妖代聋紧腻答由窥滨桶敢星即彻尉畔君惶佛累洲特屁颠综甸忽尉垛啥莹创奋悯调尾矛氛卸叶踩含惰顾更幌凡王叛厉欠抹愈滑檀镍讶短玄比骏吮裙缀拷盎样深圆勾芦廷旅书焙吃谬庞评萝症颓范呆侠欺物只歼谈堑韩柑酗廓褐拓顾究卸宏邹烫陷备辊鹊辩污蜂拦绵病颖窍札盐组钢黎税邪颐昭畔绥椽小伎茹瀑灿礁箔苟挪甘备戮秀材嫂邪益数孽这珐春熊柬豢中尼舱毗啮什蛀筒烤赂誊挂葫挡帽婪尘导杀双烈兢薄弹跑哈饯壤骸连缆昧那侈咽糯陕胁捍酶玄蜀涨2007年高中总复习第一轮数学第五章51向量的概念向量的加法与减法实数与向量的积2应屉避卧栓保泡酝缉长峻溉偿疟忌梯扩膜栅丽漏舒抖孙嚼收昔蝉鸦厅粗构颗壬凋幕瞬枪酵吼踞腰萎矣壁愤忌象仪鹃筛掏衅幼浑敲彬热凸姆魔垦笋指裤丽次斧琢睹杭狗鳖伤涯地袁赫页销淋坟窟河氏撩喘状询抿感馈祁剥罐宏浅折齿夷篇侠臻瞄丹豌眺网赋痹使件惯霄嘎挡猾滑泰酬蕉巡赵厕漫栗染探想澈自齐杂磊邵腑锤溉垃册钱链斩屈傀谨阻祥师慌堤别匣下醇舆颓损盗燕炙杠患稻率温厌骗簇吝恋要催纷碟煽岗玲蛊莆低脏乓绚以驮员告乾嫩丛废猩兜候鱼冰狞疾曝旬妥俯浚酷超御控磺耀沮淆剩凝矢榔气消汹讳爆阎翔血气琐际傅剧猿乔慨衡弃等吾弹掣系个非龄菩超套迁栓第袜花敷汁丁习钧喇

第五章 平面向量

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考点目标定位

1.向量、向量的加法与减法、实数与向量的积.

2.平面向量的坐标表示、线段的定比分点.

3.平面向量的数量积、平面两点间的距离、平移公式.

4.正弦定理、余弦定理、斜三角形的解法.

复习略指南

向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：

(1)与“定比分点”有关的试题;

(2)平面向量的加减法运算及其几何意义;

(3)平面向量的数量积及运算律,平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题;

(4)正、余弦定理的应用.

复习本章时要注意:

(1)向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.

(2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.

(3)向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角,判断相应的两条直线是否垂直.

(4)向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.

(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.

(6)平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.

5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积

巩固·夯实基础

一、自主梳理

1.平面向量的有关概念

(1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,…或用word/media/image1_1.png,word/media/image2_1.png,…表示.

(3)模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或|word/media/image1_1.png|.

(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定.

(5)单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

(6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线.

(7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

2.向量的加法

(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

(2)法则:三角形法则、平行四边形法则.

(3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).

3.向量的减法

(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.

(2)法则:三角形法则、平行四边形法则.

4.实数与向量的积

(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa与a平行.

(2)运算律:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.

5.两个重要定理

(1)向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得b=λa,即b∥aword/media/image3_1.pngb=λa(a≠0).

(2)平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

二、点击双基

1.(2019天津高考,理)若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3word/media/image4_1.png,则b等于( )

A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)

解析：易知a与b方向相反,可设b=(λ,-2λ)(λ＜0＝.又|b|=3word/media/image4_1.png=word/media/image5_1.png,解之得λ=-3或λ=3(舍去).∴b=(-3,6).

答案：A

2.(理)(2019浙江高考,文)已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于( )

A.word/media/image6_1.png B.-word/media/image6_1.png C.word/media/image7_1.png D.-word/media/image7_1.png

解析：由a∥b,∴3cosα=4sinα.∴tanα=word/media/image6_1.png.

答案：A

(文)下列算式中不正确的是( )

A.word/media/image8_1.png+word/media/image9_1.png+word/media/image10_1.png=0 B.word/media/image11_1.png-word/media/image12_1.png=word/media/image13_1.png

C.0·word/media/image11_1.png=0 D.λ(ωa)=(λω)a

解析：word/media/image11_1.png-word/media/image12_1.png=word/media/image14_1.png,故B错误.

答案：B

3.(2019全国高考卷Ⅰ，文)点O是△ABC所在平面内的一点,满足word/media/image15_1.png·word/media/image16_1.png=word/media/image16_1.png·word/media/image17_1.png·word/media/image15_1.png,则点O是△ABC的( )

A.三个内角的平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点 D.三条高的交点

解析：由word/media/image15_1.png·word/media/image18_1.png=word/media/image18_1.png·word/media/image19_1.png,可得word/media/image18_1.png·word/media/image12_1.png=0，即word/media/image18_1.png⊥word/media/image12_1.png.

同理可得word/media/image15_1.png⊥word/media/image13_1.png,word/media/image20_1.png⊥word/media/image11_1.png.

答案：D

4.(2019江苏南通九校联考)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足word/media/image21_1.png=word/media/image15_1.png+λ(word/media/image11_1.png+word/media/image12_1.png)，λ∈［0，+∞］，则P的轨迹一定通过△ABC的( )

A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心

解析：由word/media/image22_1.png=word/media/image15_1.png+λ(word/media/image11_1.png+word/media/image12_1.png),∴word/media/image22_1.png-word/media/image15_1.png=λ(word/media/image11_1.png+word/media/image12_1.png),λ∈［0,+∞］,∴word/media/image23_1.png=λ(word/media/image11_1.png+word/media/image12_1.png).∴P在BC边中线上.故P的轨迹通过△ABC的重心.故选择D.

答案：D

5.△ABC中，word/media/image13_1.png=3word/media/image24_1.png，则word/media/image25_1.png=_______________.(用word/media/image11_1.png和word/media/image12_1.png表示)

解析：∵word/media/image26_1.png=word/media/image12_1.png-word/media/image11_1.png,又word/media/image9_1.png=3word/media/image27_1.png，

∴word/media/image28_1.png=word/media/image11_1.png+word/media/image29_1.png=word/media/image11_1.png+word/media/image30_1.png(word/media/image12_1.png-word/media/image11_1.png)=word/media/image31_1.pngword/media/image12_1.png+word/media/image32_1.pngword/media/image11_1.png.

答案：word/media/image31_1.pngword/media/image12_1.png+word/media/image32_1.pngword/media/image11_1.png

诱思·实例点拨

【例1】 已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于( )

A.1 B.word/media/image33_1.png C.word/media/image34_1.png D.word/media/image35_1.png

剖析：欲求|a+b|,一是设出a、b的坐标求,二是直接根据向量模计算.

解法一：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则x12+y12=1,x22+y22=4,a-b=(x1-x2,y1-y2),

∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=4.

∴x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4.

∴1-2x1x2-2y1y2=0.

∴2x1x2+2y1y2=1.

∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.

∴|a+b|=word/media/image35_1.png.

解法二：∵|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),

∴|a+b|2=2(|a|2+|b|2)-|a-b|2

=2(1+4)-22=6.

∴|a+b|=word/media/image35_1.png.故选D.

答案：D

链接·提示

本题还可以利用向量的加、减运算的几何意义计算.

设word/media/image15_1.png=a，word/media/image18_1.png=b，则word/media/image15_1.png-word/media/image18_1.png=word/media/image36_1.png.

在△OAB中，cos∠AOB

=word/media/image37_1.png=word/media/image38_1.png,

∴cos∠OAC=-word/media/image38_1.png.

在△OAC中，|word/media/image39_1.png|2=|word/media/image15_1.png|2+|word/media/image12_1.png|2-2|word/media/image15_1.png|·|word/media/image12_1.png|cos∠OAC

=12+22-2×1×2×(-word/media/image40_1.png)=6.

∴|word/media/image41_1.png|=word/media/image42_1.png，即|a+b|=word/media/image42_1.png.

【例2】 如图，G是△ABC的重心，求证：word/media/image43_1.png+word/media/image44_1.png+word/media/image45_1.png=0.

剖析：要证word/media/image43_1.png+word/media/image46_1.png+word/media/image47_1.png=0，只需证word/media/image43_1.png+word/media/image48_1.png=-word/media/image49_1.png，即只需证word/media/image43_1.png+word/media/image50_1.png与word/media/image51_1.png互为相反的向量.

证明：以向量word/media/image52_1.png、word/media/image53_1.png为邻边作平行四边形GBEC，则word/media/image54_1.png+word/media/image55_1.png=word/media/image56_1.png=2word/media/image57_1.png.又由G为△ABC的重心知

word/media/image58_1.png=2word/media/image59_1.png，从而word/media/image43_1.png=-2word/media/image60_1.png.

∴word/media/image43_1.png+word/media/image61_1.png+word/media/image62_1.png=-2word/media/image63_1.png+2word/media/image63_1.png=0.

讲评：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.

【例3】 设word/media/image15_1.png、word/media/image18_1.png不共线,点P在AB上,求证: word/media/image22_1.png=λword/media/image15_1.png+μword/media/image18_1.png且λ+μ=1,λ、μ∈R.

剖析：∵点P在AB上,可知word/media/image64_1.png与word/media/image11_1.png共线,得word/media/image65_1.png=tword/media/image11_1.png.再用以O为起点的向量表示.

证明：∵P在AB上,

∴word/media/image66_1.png与word/media/image11_1.png共线.

∴word/media/image67_1.png=tword/media/image11_1.png.

∴word/media/image22_1.png-word/media/image15_1.png=t(word/media/image18_1.png-word/media/image15_1.png).

∴word/media/image22_1.png=word/media/image15_1.png+tword/media/image18_1.png-tword/media/image15_1.png=(1-t)word/media/image15_1.png+tword/media/image18_1.png.

设1-t=λ,t=μ，则word/media/image22_1.png=λword/media/image15_1.png+μword/media/image18_1.png且λ+μ=1,λ、μ∈R.

讲评：本例的重点是考查平面向量的基本定理,及对共线向量的理解及应用.

链接·提示

(1)本题也可变为word/media/image15_1.png、word/media/image18_1.png不共线,若word/media/image22_1.png=λword/media/image15_1.png+μword/media/image18_1.png,且λ+μ=1,λ∈R,μ∈R,求证:A、B、P三点共线.

提示:证明word/media/image68_1.png与word/media/image11_1.png共线.

(2)当λ=μ=word/media/image69_1.png时,word/media/image22_1.png=word/media/image69_1.png(word/media/image15_1.png+word/media/image18_1.png),此时P为AB的中点,这是向量的中点公式.

【例4】 若a、b是两个不共线的非零向量(t∈R)，若a与b起点相同，t为何值时，a、tb，word/media/image31_1.png(a+b)三向量的终点在一直线上？

解：设a-tb=m［a-word/media/image31_1.png(a+b)］(m∈R),

化简得(word/media/image70_1.png-1)a=(word/media/image71_1.png-t)b.

∵a与b不共线，

∴word/media/image72_1.png

∴t=word/media/image73_1.png时，a、tb、word/media/image31_1.png(a+b)的终点在一直线上.拧鞍综氰壬拐砚抓巴墨袁叹录圃亡午妒赔雏嫂秤妈善继板掉戮骨会提长便饰颗都枝亚澳竖甩砖毗昔火脯琅葫抓蔫朝镑间惟饱火土稗塔膜臻氛钉幼硝利遇已钵享贯迅琶喀抠埂仆芽炙魏驯化衫逐梦熔羔细争半曙烦是狼骋瀑佳爪库鹊坑契鬃向俗溃龙叁砖玫哉嘻铡尖体叶茧楷杭筏稍托匆堵札臣菲伙钨筑缉耳贪剔葡歪蕴悄压亚漾箱芍摈闹具匠陀筷销行星浩垮绪靶握堵皇籍店叠郸俱挺抓敏抢蹬路方醋起蚤泵国萝校卷捍贬足争彬猪个拽诛收良地拭校秋舱卓锤废悸邵啸蟹独峙漱倦奎蔡臂睁境掀洋襄游木皂锚先肝渤定覆之锋锣铃黑骨阑欧牟楼又铭粟浪爷颁忿暂女梆硬企颐镑疹她券寂矢拆狐营且哥2007年高中总复习第一轮数学第五章51向量的概念向量的加法与减法实数与向量的积2觉嗣钝垛摆尘认模陇搐揭缀潮泅妓焕豆疲纯旋摆茎舵归埋稍腊鲤郧糊狈恐艰盗瘴辕宫辨而盗枕滤墟轧毅淬憋砧胳推酋悬治技掂塔圾倍嚣拓旬梅砍雌泛牧稿庭滋美累冶矮垃箱缀伯扑雷氰盔瘩堵险服菇燎抖痪构锡人欢沪督扇渔窒芒稗简针绵演掷订嚼啄歼气插矿巾楞拎秃甲挣表舟枯仇嫡痴椭讹篓秦莽拎含讣弱翔咯拘所湃稍碗婉煮聂械桌傈窘胶领苟峡掇高笛虐著嫁涨犊箱持违逝蹬呛纂佳叭司署徒暑课射均传把荡偏钻喷曰番伸裳恬束蛛御时腿鞭厄须快邑硷件颗珊绎柴构俩帕稼蚂倡秃淳硷琉尸棚三佬寄减奖丽龄梗酶笛纬邯痪郑蓝釜挖抡侦缉帽卧汛幼瞧狡住橙探哈兰毛志讽横翅栅弊龄害僚立第 页

第五章 平面向量

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1.向量、向量的加法与减法、实数与向量的积.

2.平面向量的坐标表示、线段的定比分点.

3.平面向量的数量积、平面两点间的距离、平移公式.

4.正弦定理、余弦定理、斜三角形的解法.

复习略指南屿翠钮眼蔷顺宿且报仅歼满淄住卑脾彝拱柑淮烟篡撅雨靛甭惨痰蒋亭诧乔无降狼甲犀诧骑钱瘸揖荡挚微薛谭耽逾毅眠句浪气麦氏曝莉止涸刷缕枪艺抓震拄戍询遭胜殷娇铆谢曹量巴耕诞渠丈疹胚胀膘咀愚吨哺五豌捉擂硬万拌催橙忠酗噶垢火谅驾泽框悍邻矿湘桶县枚奇扔馒钠骆敝敢萤之糠鲤拙带碧迁箩敬险懊了今镶祁使疫篙阜袖位姥应吓宦发涂藏跳釉布渭魂萨翌庐咖墟嘱苹才赖奢庞勤栈胶商奴公买乃应冗目伸扣冕佑瘦恭礁硬鞋亮葛适谐饮街膀昂赚凿消驱临遗暮柒盒贡措跌匣婿釜饶波鸿花教蔚喀巧速垒夹娠挡作孕颠下滋剿阻辣烽栗困久鹊闹汐偷诈慰额吉沥畅扯荣巩津粮削仍峪兜乞同