华中师大一附中 2018 年高中招生考试

数学试题

考试时间： 70分钟 卷面满分： 120 分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

一、选择题 （本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35分．在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项是正确的． ）

1．二次函数 y= x2 ＋2x＋ c 的图象与 x 轴的两个交点为 A（x1，0），B（x2，0），且 x1< x2，点 P（m， n）是图象上一点，那么下列判断正确的是 （ ）

A ．当 n> 0 时， m< x1 B ．当 n> 0 时， m> x2

C．当 n<0 时，m<0 D．当 n<0 时，x1<m<x2

2．已知实数 a、b、c 满足 a< b< c，并目 k= ＋ ＋ ，则直线 y=－ kx＋ k 一定经过 （ ）

3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术” ．执行该

程序框图，若输入的 a、b 分别为 16、22，则输出的 a=（a← a－ b 的含义：将 a－b 的结果赋给 a）（ ） A ．0 B．2

C． 4 D．14 4．直线 l：kx－y－2k－1=0被以 A（1 ， 0）为圆心， 2 为半径的⊙ A 所截得的最短弦长为 （ ）

A ． B．2

C． 2 D．4

5．如图，△ ABC 中， AB=AC=8 ，BC=4，BF⊥AC于F，D是 AB 的中点， E 为 AC 上一点，且 2EF=AC ，则 tan∠DEF=（ ）

A ． B．

C ． D ．

二、填空题 （本大题共 5 小题，每小题 7分，共 35分）．

6．若 a＋b－2 － =3 c 5，则 （b c）a 的值为 7．已知△ ABC 的一边长为 4，另外两边长恰是方程

的取值范围是

8．如图， D 是△ABC 的边 AB 上的一点，且 AB=3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得 ∠ADP= ∠ACB ，则 = ．

9．有十张正面分别标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的不透 明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后 从中任取一张，以卡片上的数字作为关于 x 的不等式 5x a≤5 中的系 数 a，使得该不等式的正整数解只有 1 和 2 的概率为 ．

10．若四个互不相等的正实数 a，b，c，d满足 (a2018 c2018)(a2018 d2018)=2018，(b 2018 c2018)(b2018 d2018)=2018，则(ab)2018 (cd)2018的值为 ．

三、解答题 (本大题共 3 小题，共 50 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 ) 11．(本小题满分 16分)如图 1，在正方形 ABCD 中，E是 AB 上一点， F是 AD 延长线上一 点，且 DF=BE ．

(1)求证： CE=CF ；

(2)在图 1中，若 G在 AD 上， 且∠ GCE=45 °，则 GE、BE、GD 有什么数量关系？说明 理由；

(3)运用(1)(2) 解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图 2，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥BC(BC >AD) ，∠ B=90 °， AB=BC=6 ，E是 AB 上一

点，且∠ DCE=45 °， BE=2 ，求 DE 的长．

12． （本小题满分 16分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 内，已知点 A（ 1，0），B（ 1，1）， C（1 ，0），D（1 ，1），记线段 AB 为L1，线段 CD 为 L2，点 P是坐标系内一点． 给出如下定义： 若存在过点 P的直线 l 与 L 1，L 2都有公共点，则称点 P是L1 L2相关点，例如，点 P（0，1） 是 L1－L2 相关点．

（1） 以下各点中， 是 L1－L 2相关点 （填出所有正确的序号 ）；

①（ 1，2）；② （ 5，2）；③（4，2）．

（2）直接在图 1 中画出所有 L1－L2 相关点所组成的区域，用阴影部分表示；

（3）已知点 M 在 y轴上，以 M 为圆心， r为半径画圆，若⊙ M 上有且只有一个点为 L1 L2相 关点．

①当 r=1 时，求点 M 的纵坐标；

②求 r 的取值范围．

13． （本小题满分 18分）定义：点 P（x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足 x=y 时，则称该

点为“平衡点” ，例如点 （－1，－1），（0，0），（ ， ）都是“平衡点” ．

①当－ 1≤x≤ 3 时，直线 y=2x＋m 上存在“平衡点” ，则实数 m 的取值范围是

（2）直线 y=3mx＋ n－ 1上存在“平衡点” 吗？若存在， 请求出“平衡点” 的坐标； 若不存在， 请说明理由；

（3）若抛物线 y=ax2＋bx＋1（a>0）上存在两个不同的“平衡点” A（ x1，x1），B（x2，x2），且满足 01<2， =2，令 t=b2－2b＋ ，试求实数 t 的取值范围．

华中师大一附中 2018 年高中招生考试

数学试题参考答案

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

、选择题 (本大题共 5小题，每小题 7 分，共 35分．在每小题给出的四个选项中，有且只

有一项是正确的． )

3 小题，共 50 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

11． (1)证明：在正方形 ABCD 中，

∵BC=CD ，∠ B=∠CDF，BE=DF，∴△ACBE≌△ CDF．

∴ CE=CF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分

(2)GE=BE ＋ GD．理由如下：

∵△ CBE ≌△ CDF ，∴∠ BCE= ∠DCF．

∴∠ ECD ＋∠ ECB= ∠ ECD ＋∠ FCD ．即∠ ECF= ∠ BCD=90 °．

又∠ GCE=45 °，∴∠ GCF= ∠GCE=45 °． ∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ ECG≌△ FCG． ∴EG=EF．∴ GE=DF ＋GD=BE ＋GC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分

(3)过C作 CG⊥AD ，交 AD 延长线于 G， 在直角梯形 ABCD 中，∵ AD ∥ BC ，∴∠ A=∠ B=90 又∠ CGA=90 °， AB=BC ，

∴四边形 ABCG 为正方形．

∴ AG=BC=6 ．

已知∠ DCE=45 °，根据 (1)(2)可知， ED=BE ＋DG， 设 DE= x，则 DG=x－2， ∴ AD=AG － DG=8 － x，AE=AB －BE=6 －2=4． 在 Rt△ AED 中

∵ DE 2=AD 2＋AE 2，即 x2=(8－x)2＋42

解得 x=5 ．

∴ DE=5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分

12． （1）②，③是 L1－L2相关点。 （写出一个给 2 分）⋯⋯⋯⋯⋯

（2）所有 L 1－ L2相关点所组成的区域为图中阴影部分 （含边界 ）．

（3） ①∵点 M 在 y轴上，⊙ M 上只有一个点为 L1－ L 2相关点，阴影部分关于 y轴对称， ∴⊙ M 与直线 AC 相切于 （0，0），或与直线 BD 相切于 （0， 1），如图所示．

又∵⊙ M 的半径 r=1，

∴点 M 的坐标为 （0，－ 1）或（0，2）， 经检验：此时⊙ M 与直线 AD，BC 无交点， ⊙M 上只有一个点为 L1－L2 相关点，符合题意．

∴点 M 的坐标为 （0，－ 1）或（0，2）．

∴点 M 的纵坐标为－ 1 或 2．

②阴影部分关于直线 y= １２对称，

故不妨设点 M 位于阴影部分下方， ∵点 M 在 y轴上，⊙ M 上只有一个点为 L1－ L 2相关点，阴影部分关于 y 轴对称， ∴⊙ M 与直线 AC 相切于 O（0 ，0），且⊙ M 与直线 AD 相离．

作 ME⊥AD 于 E，设 AD 与 BC 的交点为 F， ∴MO= r，ME>r，F（0，１２）．

在 Rt△AOF 中，∠ AOF=90 °， AO=1 ，OF= １２ ， 在 Rt△ FEM 中，∠ FEM=90

１

FM=FO ＋ OM= r＋ ２

sin∠EFM=sin ∠AFO= ∴ ME=FM · sin∠ EFM=

＋

>r，

又∵ r>0，∴ 0＋2．

16 分

13． （1）－3≤m≤1

（2）由 y=3mx＋n－1，当 y=x 时， 3mx＋n－1=x 即（3m－1）x=1－n

当 3m－ 1=0 ， 1－ n=0，即 m= ， n=1 时，方程有无数个解，

此时直线 y=x 上所有点都是“平衡点” ，坐标为 （x，x），x 为任意实数 当 3m－ 1=0，1－n≠ 0，即 m= ，n≠1 时，方程无解，

此时直线 y=x上不存在“平衡点” ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分

当 3m－ 1≠ 0，即 m≠ 时，方程有唯一解 x= ，

此时直线 y=x 上只有一个“平衡点” ，其坐标为 （ ， ）， x 为任意实数

（3）联立 ＋ ＋ ，消去 y 并整理得： ax2＋（b－1）x＋1=0

∵抛物线上存在两个不同的“平衡点” A（ x1， x1），B（ x2， x2）

∴x1，x2是方程 ax2＋（b－1）x＋1=0 两个不相等的实数根

∴x1＋x2= ，x1·x2= ，△ =（ b－ 1）2－ 4a> 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 ∵ a> 0，∴ x1x2= > ，∴ x1、 x2同号

∵01<2， =2，∴ 22<4

∴ 0 < x1x2< 8 ， 0< < ，∴ a > ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分

2 2 2 2

t=b2－2b＋ =（ b－1） 2＋ =4a2＋ 4a＋ =4（a＋ ）2＋ ，

∵当 a>－ 时，t随 a的增大而增大， a> >－

∴ t>4（ ＋ ）2＋ =2

即 t> 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 18 分