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    排列组合解题策略-

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    排列组合题型总结
    排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
    一． 直接法
    1． 特殊元素法
    例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位
    （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择2．特殊位置法
    （2）当1在千位时余下三位有222A52，其余2位有四个可供选择A4，由乘法原理：A5A4=240 A53=60，1不在千位时，千位有112A4种选法，个位有A4种，余下的有A4，共有11A4A4A42=192所以总共有192+60=252 32A642A5A4=252 二． 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？
    分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C5的。故共可组成不同的三位数C533322223A3个，其中0在百位的有C42A2个，这是不合题意322223A3-C42A2=432（个）
    三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
    例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有A9四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
    例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有条件的排法有：11A10=100中插入方法。
    A44种排法，而男生之间又有A44种排法，又乘法原理满足A44×A44=576 23A3）
    练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（C42． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C291119A28）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C29其余的就是19所学校选28天进行排列） 五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
    例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。 分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一第 - 1 - 页 共 5 页

    种插法对应一种名额的分配方式，故有C11种
    练习1.(a+b+c+d有多少项？
    当项中只有一个字母时，有C4种（即a.b.c.d而指数只有15故C42110C14。
    1    15    7当项中有2个字母时，有C4而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，C14即C4当项中有3个字母时C4指数15分给3个字母分三组即可C4C14 当项种4个字母都在时C443C14 四者都相加即可．
    3    3    2    2    1C14
    练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（C16）
    3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有（C99）
    六． 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？ 分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4，（a5,a6）由顺序不同可以有222C6C4C2同的书平均分成三堆方式有3A3492A33=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不=15种
    练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
    2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
    七． 合并单元格解决染色问题
    例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5． 下面分情况讨论: (ⅰ当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数A
    4    4    2,4 （ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ类似同理可得A 种着色法．
    4    4（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 ①

    2,4
    3,5从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有 由加法原理知：不同着色方法共有24C4A3种方法．3333
    A4C4A3=48+24=72（种）
    练习1（天津卷（文））将3种作物种植 1 2 3 4 5
    在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 第 - 2 - 页 共 5 页

    不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
    2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）

    图3 图4 3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
    4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）

    124    3    625134BACDEAB    C    E    D图5 图6 5．将一四棱锥(图6的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420） 八． 递推法
    例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？
    分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。
    九.几何问题
    1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种（3C5+3=33） 2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？ (C10-4C6+4-3C4+3-6C4+6+2×6=29 (2以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C10-4C6-6C4-3C4=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114 444433333十． 先选后排法
    例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ） A.1260种



    B.2025种

    C.2520种

    D.5054种
    分析：先从10人中选出2人
    十一．用转换法解排列组合问题
    例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种． 解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．例11． 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
    解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．C9=126种 例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
    5A52=20种
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    解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。C991
    例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．
    解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．C7=35（种） 例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．
    解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．C12=924（种）． 例15 求（a+b+c）的展开式的项数．
    解 展开使的项为abc,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．C12=66αβγ1010362（种）
    例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
    解 设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为C10=252（种）
    6十二．转化命题法
    例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？
    分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有C15=1365（个）
    4十三．概率法
    例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
    分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为就是所有排法的    1，故本例所求的排法种数211，即A=360种 22十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
    （1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
    （2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 解（1）A77A33（2）7A734A3A4
    十五．错位排列
    例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9） 公式 1）an(n1(an1an2 n=4时a=3(a+a=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排．
    4    3    2第 - 4 - 页 共 5 页

    2）an=n!(1-111n1+-+…+11!2!3!n!
    练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）
    第 - 5 - 页 共 5 页

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