压力与压强

1、怎样计算固体的压力？

思路：压力是垂直作用在物体表面上的力。固体对支持面的压力的计算方法通常有：（1）平衡法——物体在支持面上静止或匀速直线运动，则物体受到的支持力大小等于物体对支持面压力的大小，对物体进行受力分析，由平衡方程求出支持力大小。（2）压力公式法，若已知压强P，则F=PS。

问题：

问题1：如图1-4-1所示。物体A的重量为150牛顿，外力F为80牛顿。图中（1）、（2）、（3）、（4）物体A均在水平面上静，（5）、（6）物体匀速运动，怎样计算各情况下，A对支持面的压力？

解答：（1）A在水平面上静止，受重力、支持力作用而平衡。所以有：A对地面的压力为F1=G=150牛，方向竖直向下。

（2）A在重力G、支持力N2、外力F作用下平衡。有：F+N2=G

N2=G－F=150－80=70（牛）

A对地面的压力 F2=N2=70牛顿，方向竖直向下。

（3）A在重力G、支持力N3、外力F作用下平衡。有：F+G=N3 N3=F+G=150+80=230（牛）

A对地面的压力 F3=230牛顿，方向竖直向下。

（4）A受四力作用而平衡，但竖直方向上只有重力和支持力平衡。所以：A对地面的压力F4=G=150牛顿，方向竖直向下。

（5）A受四力作用而平衡，但垂直于墙壁方向上只有外力、支持力作用而平衡。所以：A对竖直墙壁的压力F5=F=80牛顿，方向与F方向相同。

（6）A、B共同匀速上升。A受重力、支持力作用平衡。所以A对B的压力 F6=G=150牛顿，方向竖直向下。

问题2：水平桌面的面积为25分米2，上面放一个重600牛顿的物体。（1）若物体的下表面积为6分米2；（2）若物体的下表面积为30分米2。怎样计算了桌面受到的压力？

解答：（1）物体在桌面上静止，由平衡关系可知：物体对桌面的压力F1=G=600牛顿，方向竖直向下。

（2）同理，物体对桌面的压力F2=G=600牛顿，方向竖直向下。

问题3：打桩机对木桩的压强为3.5×106帕， 若桩的横截面积为9分米2。怎样计算桩受到的压力？

解答：由P=得 F=PS=3.5×106×9×10-3=3.15×104（牛顿）

点评：压力的大小有时与重力大小相等，但压力和重力没有必然联系，计算时应严格由平衡关系求解，而与接触面积大小，物体的运动方向无关。

2、怎样计算固体的压强？

思路：由公式P=计算固体的压强，式中S为受力面积，是施力物与受力物相互接触并相互挤压（发生了作用）的那一部分面积，而不一定是物体的面积。F是物体间的压力，由平衡关系求出。计算时要注意单位的换算。

对于实心均匀的柱体，如果压力大小等于物重则有：P==ρgh（ρ为材料密度），可方便的讨论柱体被剪切时压强的变化。

问题：

问题1：一个方桌重75牛，桌上放200牛的重的电视机，桌子每条腿与水平地面的接触面积为35厘米2，怎样计算地面所受压力和压强？

解答：将桌和电视机看成一个物体，则物体对地面地压力F=G=G1+G2=75+200=275（牛顿）

桌与地面的接触面积S=4S0=4×35厘米2=140厘米2=140×10-4米2

由P= 得P=≈1.96×103帕

问题2：拖拉机重5.4×104牛、拖拉机对水平地面的压强为3.6×104帕，怎样计算拖拉机每条履带与地面的接触面积？

解答：拖拉机机对地面的压力大小等于其重力大小，由P==得：S=（米2）

所以拖拉机每条履带的接地面积S0==0.75米2

问题3：重120牛顿，面积为1米2的方桌中央，放一块重1牛顿、边长为0.5分米的方木块，在方木块的中央放一重1牛顿、底面积为10厘米2的墨水瓶。怎样计算木块对桌面的压强？

解答：木块对桌面的压力 F=G1+G2=1+1=2（牛）

受力面积为木块的面积 S=0.5×0.5=0.25（分米2）=2.5×10-3米2

所以 P===800（帕）

问题4：图钉尖的面积是0.3毫米2,图钉帽的面积是0.75厘米2,在向墙上按图钉时,手对钉帽的压力是15牛。怎样计算：(1)手对钉帽的压强多大?(2)钉尖对墙的压强是多大?

解答：（1）P1==2.0×105（帕）

（2）由力的关系可知，钉尖对墙的压力大小仍为手对钉冒的作用力。所以P2==5.0×107（帕）

（由此题的计算可知，固体可以将它受到在压力等大的传递，当受力面积减小或增大时，此力产生的压强就能增大或减小。在生产和生活中为改变压力产生的效果就通过改变面积来改变压强。如刀刃很锋利就是为了增大压强，拖拉机、坦克等用履带就是为了增大面积减小压强。）

问题5：一个每边长0.1米的正方体金属块，质量为10千克，放于面积为1米2的水平桌面中央，金属块对桌面的压强是多大？如果再用12牛顿的力沿水平方向推金属块，这时金属块对桌面的压强是多大？

解答：金属块静止时对桌面的压力F=G=mg=98（牛），金属块静止在桌面中央时对桌面的压强P===9800（帕）

水平力推金属块时，金属块对桌面的压力不变，压强也不变。故金属块对桌面的压强为9800帕。

问题6：砖的质量是2.5千克，它的长是24厘米，宽是12厘米，厚是4厘米，把它放在水平地面上。怎样计算砖对地面的最小压强和最大压强？

解答：砖对地面的压力F=G=mg=2.5×9.8=24.5（牛），砖与地面的最大接触面积SM=24×12=288（厘米2）=2.88×10-2米2，所以砖对地面的最小压强Pm==≈851（帕）

砖与地面的最小接触面积Sm=12×4=48（厘米2）=4.8×10-3（米2），所以砖对地面的最大压强PM==≈5104（帕）

问题7： A、B两长方体块叠放在一起,放在水平地面上,A物在上,重10牛,B物在下,重30牛,若A对B的压强与B对地的压强恰好相等,则A的下底面积SA与B的下底面积SB之比为多少?

解答：A对B的压力F1=GA=10牛，B对桌面的压力F2=GA+GB=40牛。∵F2>F1 而A对B的压强与B对地面的压强相等，所以必有SAB 有：A对B的压强 P1=

B对地面的压强 P2= 由P1=P2 得

∴

问题8：边长为10厘米的实心金属正方体，放在水平书桌上，对桌面的压强为8722帕。怎样确定正方体的材料？

解答：设金属的密度为ρ，则金属对桌面的压力F=G=ρa3g，金属对桌面的压强P===ρag 。所以ρ==8.9×103（千克/米3）

查密度表可知，该正方体是用铜制的。

问题9：有一长方体木块平放在水平地面上静止，木块对地面的压力为F0，压强为P0 。怎样分析：

（1）沿图1-4-2中水平线ab切去上半部分；

（2）沿图1-4-2中竖直线cd切去右半部分。木块对地面的压力、压强变为多少？

解法1：（1）沿水平线切去上半部分。

则压力F1=F0 压强P1=P0

（2）沿竖直线切去右半部分，则压力F2=F0 压强P2=P0

解法2：沿木块的密度为ρ、长为L、宽为a、高为h。则；

木块对地面的压力F0=G=mg=ρLahg

木块对地面的压强P0=

（1） 沿水平线切去上半部分时，h1=、L、a不变

∴P1=ρg=P0 F1=P1S=P0La=ρLahg=F0

（2） 沿竖直边切去右半部分时，a1=a、L、h不变

∴P2=ρhg=P0 F2=P2S=P0La=ρLahg=F0

问题10：分别用铜、铁和铝三种金属(ρ铜＞ρ铁＞ρ铝)制成质量相等的A、B、C三个实心正立方体。若把它们平放在水平地面上，则它们对地面的压强P铜、P铁和P铝的大小关系怎样？

解答：设正方体边长为a，金属密度为ρ。

则金属对水平地面的压强P= ∵m=ρ铜a铜3=ρ铁a铁3=ρ铝a铝3

而ρ铜>ρ铁>ρ铝 ∴a铜铁铝 故 P铜>P铁>P铝

点评：用公式P=计算固体的压力、压强时要正确选取研究物，准确分析接触作用面积，不要受问题的其他条件影响（如问题5）。

3、怎样解答承重问题？

思路：压强是描述压力作用效果的物理量，承重问题实质上是压强大小的比较问题。由公式P= S=计算后分析比较，而不能直接比较压力的大小。计算最小面积、最大物重，取P为已知的最大允许压强。

问题：

问题1：封冻的江河冰面能够承受的最大压强是7×104帕斯卡，一辆质量是20吨的坦克，它的每条履带跟地面的接触面积是2米2，怎样判定它能否在冰面上行驶？

解答：坦克对冰面的压强P=4.9×104（帕）<7×104帕

所以坦克能在冰面上行驶。

问题2：如果薄冰的冰面只能承受104帕的压强,一个质量是60千克的人,每只鞋底与冰面的接触面为150厘米2。怎样判定他能否站在这个冰面上不下沉?如果他站在一个质量不计的薄木板上不下沉,这块薄木板的面积至少多大?

解答：人站在冰面上时，对冰面的压强P=1.96×104（帕）∵P>104帕 所以他不能直接站在冰面上。

若他站在面积为S0的薄木板上刚好不下沉，则：P0=

这块薄木板的面积至少为：S0=（米2）=588（厘米2）

问题3：封冻的冰面能承受的最大压强为4×104帕斯卡，如果某人每只脚的鞋底面积为175厘米2，体重为500牛顿，怎样确定该人走过冰面的最大负重量？

解答：由P=得

该人最大负重量为：G物=PS－G人=4×104×2×175×10-4－500=900（牛）

问题4：某种砖的密度是2×103千克/米3，能承受的压强是5×106帕，长、宽、高分别是24厘米、12厘米、6厘米。g取10牛/千克。怎样计算：

(1)假设用这种砖建圆柱形烟囱，能建烟囱的最大高度是多少米?

(2)考虑到烟囱的安全因素，实际建烟囱的高度只能是上问中算出高度的40%，实际建烟囱高度是多少米?

解答：（1）当烟囱的高为最大值h时，烟囱的最下面一块砖承受的压强刚好为最大值P0=5×106帕。 由P=ρhg 得：

h==250米

（2）由题意，烟囱的实际高度为：H=40h%=250×0.4=100米

问题5：某纪念碑重106牛，立在一块基石上面，基石高1米，它的密度为2×103千克／米3，如果地面所受的压强不能超过7×104帕。怎样确定基石的最小底面？

解答：设基石最小底面积为S，则基石重：

G1=ρShg=2×103×S×1×9.8=1.96×104S

基石对地面压强P==7×104 解得S=5.04×10-2（米2）

点评：凡是描述压力产生效果的强弱问题，都应由固体压力、压强的计算方法计算出压强，然后比较。如果计算值不大于所允许的承受压强，就能承担该物体，如果大于所允许的承受压强，则应增大受力面积以减小压强，由允许的承受压强还可计算出允许的高度、面积、重力及载重量。

4、怎样计算液体对容器底的压力和容器对桌面的压力？

思路：计算液体对容器底的压力和压强，应先用公式P=ρgh计算出压强，然后再用F=PS计算液体对容器的压力，式中h为研究点距液面的深度，计算时不管容器什么形状，装多少液体，容器内有无其他固体或插入、抽出固体，始终只分析液体的竖直高度值，严格用公式P=ρgh、F=PS计算。

容器对桌面的压力和压强，应先用平衡法计算出压力F，后用P=计算压强。自由静止在水平桌面上的容器对桌面的压力等于容器及容器内所有物体的重力之和，而与液体对容器底的压力大小没有关系。

问题：

问题1：一个长方形水池，长5米、宽4米、高3米，池内装有2米深的水。怎样计算池底受到的压力？

解答：由P=ρgh得：P=ρgh=103×9.8×2=1.96×104（帕）

水对池底的压力 F=PS=1.96×104×5×4=3.92×105（牛）

问题2：自来水龙头距地面的高度是2米，跟水龙头相连的压强计的读数是3.234×105帕斯卡，怎样计算水塔里的水面距地面的高度？

解答：水对压强计的压强P=ρgh=3.23×105帕。

水龙头处距水塔里的水面高度 h==33米

水面距地面高度 H=h+2=35米

问题3：如图1-4-3所示。一个底面积为50厘米2的圆柱形容器底层装入5厘米深的水银，水银面上装入5牛顿的铁球，上层是10厘米深的水。求：(1)液体对杯底的压强和压力。(2)若杯重2牛顿，则杯对桌面的压力和压强分别是多少？

解答：（1）杯内液体由水银和水两层组成，液体对杯底的压强。

P1=ρ水gh水+ρ水银gh水银=1.0×103×9.8×0.1+13.6×103×9.8×0.05=7644（帕）

液体对杯底的压力 F1=P1S=7644×50×10-4=38.22（牛）。（注意：压力与铁球重力无关）

（2）由平衡法分析得：杯对桌面的压力

F2=G水+G球+G水银+G杯=ρ水gSh水+5+ρ水银gSh水银+2=45.22（牛）

所以杯对桌面的压强 P2===9044（帕）

问题4：如图1-4-4所示。一只质量是0.35千克,底面积约为150厘米2的锥形瓶中,装有体积是2分米3的煤油,瓶底到油面的竖直高度是30厘米。怎样计算：(取g为10牛/千克,ρ煤油=0.8×103千克/米3)

(1)煤油对瓶底的压力是多大?

(2)锥形瓶放在水平桌面上,与桌画的接触面积也是150厘米2,瓶子对桌面的压强是多大?

解答：（1）煤油对瓶底的压强 P1=ρgh=0.8×103×10×0.3=2.4×103（帕）

煤油对瓶底的压力 F2=P1S=2.4×103×150×10-4=36（牛）

（2）煤油重量G1=ρgV1=0.8×103×10×2×10-3=16（牛）

瓶对桌面的压力 F2=G1+G瓶=16+0.35×10=19.5（牛）

瓶对桌面的压强 P2=（帕）

问题5：如图1-4-5所示，容器本身重1.12牛顿，容器下底面积SB是25厘米2、上底面积SA是42厘米2，高为18厘米，容积为600厘米3，把它装满水后，置于水平桌面上，怎样计算：

(1)图示放置时水对容器底面的压力？桌面受到的压强？（2）容器从图始放置倒置时水对容器底面的压力？桌面受到的压强？

解答：（1）因盛满水，所以h=18厘米=0.18米。

水对容器底面的压强 P1=ρgh=103×9.8×0.18=1.764×103（帕）

水对容器底的压力 F1=P1SB=1.764×103×25×10-4=4.41（牛）

水的重力 G1=ρVg=103×600×10-6×9.8=5.88（牛）

容器对桌面的压力 F1/=G1+G=5.88+1.12=7（牛）

桌面受到的压强 P1/==2.8×103（帕）

（2）容器倒置后，同理水对容器底的压力：

F2=P1SA=1.764×103×42×10-4≈7.4（牛）

容器对桌面的压力 F2/=G1+G=7（牛）

桌面受到的压强 P2/=≈1.7×103（帕）

问题6：如图1-4-6所示，一薄壁容器的上部A为横截面积S1=0.01米2的圆筒，下部B为截面积S2=0.05米2的圆筒，高h1=h2=1米，两部分共重29.6牛顿，平放在水平桌面上，现在容器中装满ρ酒=0.8×103千克／米3的酒精，怎样计算：(1)装满酒精后酒精对容器底部的压强；(2)装满酒精后酒精对容器底的压力？（3）装满酒精后容器对桌面的压力？（4）装满酒精后容器对桌面的压强？

解答：（1）酒精对容器底部的压强：

P1=ρg（h1+h2）=0.8×103×9.8×2=1.568×104（帕）

（2）装满酒精后酒精对容器底的压力：

F1=P1S2=1.568×104×0.05=784（牛）

（3）装满酒精后容器对桌面的压力为酒精重量与容器重量之和。

F2=G1+G2+G容=ρgh1S1+ρgh2S2+G容=ρg（S1h1+S2h2）+29.6=0.8×103×9.8×（0.01×1+0.05×1）+29.6=500（牛）

（4）容器对桌面的压强 P2=10000（帕）

问题7：如图1-4-7所示，在一横截面积为100厘米2的圆柱形容器里装有水。一物体浮在水面，此时水在N点产生的压强为2940帕斯卡。怎样计算：

（1）N点距水面的深度？

（2）若将物体拿出水面，则N点的压强是1960帕斯卡，物体的重量是多少？

解答：（1）由PN=ρghN 得hN==0.3（米）N点距水面0.3米。

（2）将物体拿出水面后，N点距水面的高度为hN/==0.2（米）所以水面下降h=hN－hN/=0.3－0.2=0.1（米），

物体漂浮时的排水量 V排=hs=0.1×100×10-4=10-3（米）

∴物体重 G=F浮=ρgV排=103×9.8×10-3=9.8（牛）

问题8：如图1-4-8所示,一个圆柱形金属块,底面积为S1,吊在空中,下底面与容器的水面相平,容器也是圆柱形的,底面积S2为已知S2=2S1,现在把金属块往下浸入h=15厘米,怎样确定容器底部受到的水的压强将增加多少?

解答：金属块压入水下时，水面上升h/。则S1h=S2h/ h/=

所以水的高度增加h/，水对容器底部的压强增量。

ΔP=ρgh/=103×9.8×=735（帕）

点评：液体对容器底的压力大小，与液体的重量没有关系，只有在上下一

般粗细的柱形容器内，液体对容器底的压力在数值上才恰好等于液体的重量。计算液体对容器底的压力要准确分析液体深度、容器高度以免混淆。

容器对桌面的压力大小与液体对容器底的压力大小没有关系，而由液体重量、容器重量决定。

5、怎样分析液体在台形容器中的问题？

思路：液体盛在台形容器中，如果分析容器对支持面的压力、压强，则先由重力分析压力，然后计算压强。如果分析液体对容器底部的压力、压强，则先用公式P=ρgh分析压强，后用公式F=PS分析压力。如果已知液体质量，通常由m液=ρgh分析液体高度h。如果不能分析出h（或F），可用公式F=ρghS底=m等效g计算出等效液重，对照等效重量与实际液体重量比较压力大小，最后分析压强。S底为强形容器底面积，因此m等效为S底对应的竖值液柱质量。

当台形容器上小、下大（S下>S上）时，m等效>m实际。即液体对容器底的压力大于液体的实际重量。

当台形容器上大、下小（S下上）时，m等效实际。即液体对容器底的压力小于液体的实际重量。

当柱形容器倾斜放置时，m等效实际。即液体对容器底的压力小于液体的实际重量。

问题：

问题1：如图1-4-9所示，置于桌面上的甲、乙两容器，甲的底面积大于乙的底面积，所盛水等重、同深，两容器的重量相等。若容器对桌面的压力分别为F甲、F乙；容器对桌面的压强分别为P甲、P乙；水对容器底的压力分别为F甲/、F乙/；水对容器底的压强分别为P甲/、P乙/。怎样比较：（1）F甲、F乙的大小关系？；P甲、P乙的大小关系？（2）F甲/、F乙/；P甲/、P乙/的大小关系？

解答：（1）容器对桌面的压力F=G容+G水，所以F甲=F乙；容器对桌面的压强P=

∵S甲>S乙 ∴P甲乙

（2）水对容器底部的压强P/=ρgh，而h相等。

所以：P甲/=P乙/ 由F/=P/S S甲>S乙 故水对容器底的压力F甲/>F乙/

问题2：如图1-4-10所示，密闭容器内装有某种液体（未装满）。试分析容器倒置后液体对容器底的压力、压强怎样变化？

解答：图示容器为上小下大形，当容器倒置后，底面积减小，所以液体高度h/变大。由P=ρgh可知，倒置后液体对容器底的压强变大。

由P=FS=ρghS分析可知，h变大S变小，不能直接得出F的关系，故应借助于等效质量分析F。倒置前S下>S上，液体对容器底的压力F>G。倒置后S下上，液体对容器底的压力F/。故F>F/ 倒置后液体对容器底的压力减小。

问题3：如图1-4-11所示，容器1、2、3的底面积相等。怎样分析：

（1）三个容器注入等高的水，各容器底受到水的压力大小关系如何？

（2）三个容器分别注入一定量的水，使各容器底受到水的压力相等，各容器注入的水量关系如何？

（3）三个容器分别注入等质量的水，水对容器底的压力大小关系如何？

解答：（1）注入等高的水，由P=ρgh得：P相等，而S又相等。

所以 F1=F2=F3

（2）由压力F=ρghS相等，得h一定相等。

因此 G1>G2>G3（最大最小）

（3）由m=ρh得：h3最大、h2最小。又由F=ρghS得：F3>F1>F2

问题4：如图1-4-12所示，甲、乙两容器等重，底面积相同内装不同液体，但深度相同，质量相等。如果图中第一种液体对甲容器底部的压强为P1，压力为F1；甲容器对支承面的压强为P1/，压力为F2/。第二种液体对乙容器底部压强为P2，压力为F2；乙容器对支承面的压强为P2/，压力为F2/，则怎样比较P1与P2；F1与F2；P1/与P2/；F1/与F2/的大小关系？

解答：由图可知， <.液体深度相同，质量相同。即：ρ1h1=ρ2h2 所以ρ1>ρ2 。由P=ρgh F=PS得： P1>P2 F1>F2（S1=S2）

容器对支承面压力F/=G总 故 F1/=F2/ P1/=P2/

点评：这类问题一般是选择、填空、判断题型，分析时应本着，能用公式得结论的用公式分析；不能用公式分析的用等效质量分析。结合平均面积，质量关系一般都能迅速得出正确结论。

6、怎样计算液体内某面积上液体压力？

思路：液体对液体内水平面积的压力，由F=PS=ρghS计算。式中h为该面积到液体自由表面的竖直高度。压力的方向视情况竖直向上或竖直向下。

液体对液体内竖直面积的侧压力，由F=S=ρgS计算。式中为该面积中心到液体自由表面的竖直高度，压力的方向为水平方向。

液体内面积上托物体（活塞内问题），通常由液体对该面积的压力F、重力相互平衡列方程求解。

问题：

问题1：轮船在15米深的河里航行，船底离河底12米，若船底有一个面积为4厘米2的小洞，用塞子堵住小洞，怎样计算水对塞子的压力？

解答：船底距水面的高度h=15－12=3米。

所以水对塞子的压力 F=ρghS=103×9.8×3×4×10-4=11.76（牛）

问题2：如图1-4-12所示，油池的侧壁上有一个塞着的圆孔，当油池中装满煤油时，从孔的上沿和下沿到油的自由面的距离分别为1.6米和1.8米。怎样计算塞子所受煤油的平均压强？塞子所受煤油的压力？

解答：塞子中心到油面的高度=1.6+=1.7米

∴=ρg=0.8×103×9.8×1.7≈1.33×104（帕）

F=S=πr2=1.33×104×3.14×（0.1）2≈418（牛）

问题3：如图1-4-13所示,容器与细管内装有密度为0.8×103千克/米3的液体,高度数据已在图上标明,容器上表面处塞子的横截面积为15厘米2,怎样计算液体对塞子的压力？

解答：由P=ρgh得，容器上面表的液体压强为：

P=0.8×103×9.8×2=1.568×104（帕）

液体对塞子的压力 F=PS=1.568×104×15×10-4=23.52（牛）方向竖直向上。

问题4：如图1-4-14所示，水箱A与竖直水管B相连通,水箱A上方用一横载面积S=2厘米2的塞子C将A上方的小孔塞住.塞子C的重力与摩擦均不计,开始时,B内水面与水箱A上方齐平,然后往B管中注水,同时用力F向下压住塞子C。怎样计算：

(1)当B管注入的水的高度h=2米时,塞子C受到的水的压强P1为多少?塞子C受到的水的压力为多少?

(2)若塞子C上所加压力F最大为4.9牛,则B管内注入的水的高度h可达多高?

解答：（1）水箱与管连通组成连通器，因此液体内等高处压强相等。所以P1=ρgh=103×9.8×2=1.96×104（帕）F1=P1S=1.96×104×2×10-4=3.92（牛）

（2）由塞子平衡得：F=ρghS=4.9 h==2.5（米）

问题5：将一个两端开口的玻璃管的下端挡上一个薄塑料片，竖直插入水中h深处。往管内倒入某种液体，当管内液面高于外面水面0.25h时，塑料片恰好脱落。怎样计算倒入液体的密度？

解答：管内液体对塑料片的压力 F1=ρ1gh1S

管外液体对塑料片的压力 F2=ρ2gh2S

由塑料片平衡得：ρ1gh1S=ρ2gh2S 而h1=h2+0.25h2=1.25h2 ρ2=ρ水=103所以 ρ1==0.8×103（千克/米3）

问题6：如图1-4-15所示，平底试管和砂子总重19.6×10-2牛顿，试管底面积为5×10-4米2。当平底试管浸入水下某处时恰好静止。怎样计算：试管浸入水中的深度？

解答：水对试管底部向上的压力F=PS=ρghS，由试管平衡得：F=G

∴h==4×10-2（米）=4厘米

点评：计算液体内面积S上的压力，关键是要正确分析h（如问题1、问题4），只要找出h、S，代入公式即可求解。

7、怎样计算U型管内各液面的高度？

思路：（1）U型管内装同种液体时，液体内等高的两管内对应点压强一定相等。因此，只要找出计算点对应于另一管内的等高点，则计算点液体的压强由对应点之上的液柱高度决定。图1-4-16中的左侧A点压强，由右侧A/B液柱决定。

（2）U型管内装不同液体时，各管内的液面可能不等高。但各管内同种液体的等高液

面点上的压强值必相等。分析时取两管内的同种低液面（如图1-4-17A面），分别计算左、右管内压强P1=ρ1gh1 P2=ρ2gh2 利用P1=P2建立方程求解。

（3）U型管内原来装有液体，在另一管中注入另一种液体时，稳定后仍取同种液体的低液面为分析面（如图1-4-8A面），此时的A点是由原A/点下降而出现的，另一端液面上升到B点，由此引起的液面高度变化不是h，而是2h（两管内径相同），然后由（2）方法列方程求解。

问题：

问题1：如图1-4-19所示，怎样计算：(1)箱顶的A点所受水的压强？(2)若箱盖面积为15厘米2，水对箱盖的压力？

解答：（1）A点水的压强由右管10cm高的水柱决定。所以 PA=ρgh=103×9.8×0.1=980（帕）

（2）F=PAS=980×15×10-4=1.47（牛）

问题2：如图1-4-20所示，活塞A的质量是0.5千克，面积是40厘米2，它可在容器内无摩擦地移动。当活塞保持静止时，两边水面的高度h=60厘米。怎样确定活塞上所放物体的质量M？

解答：活塞下表面水的压强与B点水的压强相等。

PB=ρgh 而 PA=

由PA=PB得 ρgh=

∴M=ρhS－=ρhS－mA=0.6×103×4×10-4－0.5=1.9（千克）

问题3：在一个U形管中，两边分别注入水和一种待测密度的液体，使它们的分界面刚好在底部，量得待测液体的液面比水高2厘米，已知水柱高8厘米。怎样计算这种液体的密度？

解答：液体界面在最低点，所以分别得出水柱高度h1=8厘米=0.08米，待测液柱高度 h2=8+2=10厘米=0.1米。

由P1=ρ水gh1 P2=ρgh 且P1=P2 得：ρ水gh1=ρgh

∴ ρ=ρ水=×103=0.8×103（千克/米3）

问题4：如图1-4-21所示连通器。A管和水平底管内为水银，B管内为煤油，C管内为水。怎样计算A、B、C管内液柱竖直高度？（ρ煤油=0.8×103千克/米3，ρ水银=13.6×103千克/米3）

解答：水银面为连通器内的最低液面，所以

PA=ρ水银ghA PB=ρ煤油ghB PC=ρ水ghC 由同种等高液面压强相等得：PA=PB=PC

PA∶PB∶PC=∶∶=∶∶=5∶85∶68

问题5：如图1-4-22所示。粗细均匀的U型管内原有水银。当向左管注入水后使右管水银面比左管水银面高出1厘米。怎样确定注入的水柱长度？

解答：右管水银面高出左管1厘米，取左管水银面为研究面。则水银柱的压强

P右=ρ水银gh右，左管注入的水柱的压强P左=ρ水gh水。

∵P左=P右 ∴ρ水gh水=ρ水银gh右 h水=h右=13.6（厘米）

问题6：同上题，若在左管注入水后使右管水银面上升1厘米，怎样确定注入的水柱长度？

解答：左管注入水后，右管水银面上升1厘米，左管水银面应该下降1厘米，所以稳定后右管水银面比左管水银面高h=2厘米。

同理 ρ水银gh=ρ水gH

左管注入的水柱长度H=h=13.6×2厘米=27.2厘米

问题7：如图1-4-23所示，连通器粗管直径是细管直径的2倍，先在连通器中装入水银，然后在细管中注入68厘米高的水。怎样计算粗管内水银面上升多少？细管内水银面下降多少厘米？

解答：右管注入h0=68厘米高的水柱后，右管水银面下降h1，左管水银面上升h2，对此部分水银有V右=V左 即πh1=πh2 r左=2r右所以 h1=4h2

右管注入水银后，两管水银面的高度差h=h1+h2=5h2

由P水=ρ水gh水 P水银=ρ水银gh P水=P水银得

h2===1厘米 细管内水银面下降h1=4厘米

点评：U型管的液面计算问题，关键是找准同种液体的最低液面，独立写出各液柱压强表达式分析求解。对于液面上升、下降问题，应特别注意液面高度差与上升高度的关系。如果U型管两端半径不等，则利用上升、下降的液体体积相等建立高度关系，最终写出压强关系。

计算时为了减小计算量，可先用字母运算，最后代入数据。单位不一定用标准单位，只要相同即可。

8、怎样分析一端封闭的玻璃管内的压强问题？

思路：由于气体压强的存在，液体内部的压强应是两种压程的合力效果。计算U型管内一端的压强，可以看作是连通器的延伸，取液体和气体的界面，则该面上一方为气体压强，另一方为液体压强。然后利用同种液体内竖直高度相等处压强相等，分析求解。分析时首先找出要计算压强的点对应的低液面画出水平参考面取竖直液柱，该液柱的下表面压强P下与上表面压强P上的差为液体柱产生的压强。即P下－P上=ρgh 式中h为液柱的竖直高度。注意：U型管应取等高点分析。如：在图1-4-24中气体A的压强等于B点的压强，而B点与C点等高，因此研究的液柱为DC柱，有PC－PD=ρgh PA=PC=PD+ρgh 因为D点为液面与空气界面，所以PD=P0 故PA=P0+ρgh

问题：

问题1：如图1-4-25所示，在标准大气压的情况下做托里拆利实验，测得水银柱高70厘米，B点在A点下40厘米，C点在B点下30厘米，D点在C点下2厘米处，怎样计算管中A、B、C、D四点处的压强各为多大？

解答：由题意hAC=hAB+hBC=70厘米，说明C点恰好与管外水银面等高，所以PC=P0=76厘米汞柱（等高压强相等）

对C、A间液柱有：PC－PA=ρghCA PA=PC－ρghEA=76－70=6（厘米汞柱）

对A、B间液柱有：PB－PA=ρghBA PB=PA+ρghBA=6+40=46（厘米汞柱）

对C、D间液柱有：PD－PC=ρghDC PD=PC+ρghDC=76+2=78（厘米汞柱）

问题2：如图1-4-26所示的管内装有水银，h为5厘米，怎样计算封闭端空气柱的压强(大气压强为760毫米汞柱)？

解答：（1）竖直水银柱的上表面为空气界面，对应于大气压P0，下表面为封闭的空气柱界面，取压强为P1。对该段水银柱有：P1－P0=ρgh

P1=P0+ρgh=760+50=810（毫米汞柱）

（2）竖直液柱的上表面为封闭的空气柱界面，气压强为P2，下表面为空气界面，压强为大气压P0。所以有：P0－P2=ρgh

P2=P0－ρgh=760－50=710（毫米汞柱）

（3）液柱水平放直，竖直高度为零。所以P3=P0=760毫米汞柱

（4）U型管左端为低液面且开口，对应于空气界面，所以分析的液柱为U型管右端液柱AB（如图1-4-27）。对AB液柱有：PA－PB=ρgh而PA=P0 PB=P4 ∴P4=P0－ρgh=760－50=710（毫米汞柱）

（5）U型管右端为低液面且开口。同（4）理得：P低－P5=ρgh

P5=P低－ρgh=760－50=710（毫米汞柱）

（6）U型管左端为低液面且开口。同（4）理得：P低－P6=ρgh

P6=P低－ρgh=760－50=710（毫米汞柱）

（7）U型管右端为低液面，对应于封闭的空气柱界面，左端为高液面且开口，所以对左端高液柱有：P7－P0=ρgh P5=P低+ρgh=760+50=710（毫米汞柱）

问题3：如图1-4-28所示，密封箱内放有一个直管水银气压计a，并用软管连接一个U形水银气压计b,开关K关闭。设箱外是一个标准大气压，气压计b的右管水银面比左管水银面高出5厘米。怎样计算：（1）这时气压计a示数为多少？（2）若把开关K打开，则气压计a的示数又为多少？若从S开口打进空气，使气压计a的水银柱高79厘米，这时气压计b的右管水银柱比左管的水银面高为多少？

解答：（1）b气压计的低液面为左管且开口，所以分析的液柱为b气压计右管中高出左管5厘米的水银柱。对该段液柱有：P低－P右=ρgh P右为密封箱内气体压强值，即气压计a的示数。

故有：P低－Pa1=ρgh1 Pa1=P0－ρgh1=76－5=71（厘米汞柱）

（2）K打开，密封箱气体与大气相通，a的示数为大气压值。即Pa2=P0=76厘米汞柱

（3）Pa3=79厘米汞柱>P0，所以b气压计的右端为低液面，分析液柱为b气压计左管高出右管部分，设高为h3。对该液柱有：Pa3－P0=ρgh3

ρgh3=Pa3－P0=79－75=4厘米汞柱 h3=4厘米

故b气压计右管水银面比左管水银面低4厘米。

问题4：怎样比较图1-4-29中所示各容器中A、B两处压强的大小？

解答：（1）图：U型管两端均开口且A、B都为与外界空气的界面。故PA=PB

（2）图：水银最低面为左管，设该点压强为P，左管有：P－PA=ρ水ghAO 右管有：P－PB=ρ水银ghBO 由图可知hAO=hBO=h，所以PA=P－ρ水gh PB=P－ρ水银gh

∵ρ水银>ρ水 ∴PA>PB

（解法2：由图可知A、B的竖直高度相等，对A、B以上的液柱有PA－P0=ρ水gh，PA=P0+ρ水gh，PB－P0=ρ油gh，PB=P0+ρ油gh 。

∵ρ水>ρ油 ∴PA >PB）

（3）图：A点为水银最低液面，对右管中该点水平高度以上液柱有：PA－PB=ρgh PA=PB+ρgh 故 PA>PB

（4）图：管内同种液体的最低液面为B点对应的水银面，A点在B点上方且同为水银。故PB－PA=ρghBA PB=PA+ρghBA ∴PB>PA

（5）图：A、B不等高且不是同种液体，从图中可看出PA=P0，对右管B以上的油柱有：PB－P0=ρ油gh PB=P0+ρ油gh ∴PB>PA

（6）图：A、B为同种液体的等高液面点。所以 PA=PB

点评：比较低U型管内各气柱、液柱的压强时，应先找出同种液体在U型管中的最低液面，然后作出水平参考线，结合题意确定研究的液柱。不管开口端怎样放置，开口端形状如何，开口端液面的压强一定为大气压值P0。对液柱列P下－P上=ρgh分析求解。

9、怎样理解托里拆利实验及大气压现象？

思路：托里拆利实验中，玻璃管内外竖直高度差的水银柱所代表的液体压强就相当于当时的大气压值。当大气压是确定值时，水银柱的竖直高度差也是定值，与管的大小、倾斜无关。当用不同的液体做托里拆利实验时，大气压托住的液柱高度（大气压值）h由P0=ρ液gh计算。

问题：

问题1：某高原地带，大气压为550毫米汞柱。如果在该处用水做托里拆利实验，应怎样选择长直玻管？

解答：设大气压托住高为h的水柱。则P0=55厘米汞柱=ρ水gh

∴h=·55厘米=13.6×55厘米=748厘米=7.48米

因此应选长度为大于7.5米的直玻管。

问题2：在做托里拆利实验时，测得水银柱的竖直高度为76厘米，真空部份长20厘米，下面说法正确的是：

A如果改用一长2米的管子做实验，则真空部份的长度为40厘米

B如果用稍微不匀的管子来做实验，则水银柱高度不再是76厘米

C如果管子的长度小于76厘米，那么液柱的高度将小于管子的长度

D如果用别的液体代替水银来做实验，那么液柱的高度将不再是76厘米

解答：托里拆利实验值为76厘米，说明大气压能托住76厘米高的水银柱。所以

A：用2米长的管子做实验时，水银柱高度不变，真空部份长度为124厘米（200厘米－76厘米=124厘米 设插入水银中的管长不计）

B：由于P0=ρgh与液柱形状、粗细无关，所以h仍是76厘米。

C：若管长小于76厘米，则水银应充满整个管且水银柱对管顶有向上的压力，因此C项是错误的。

D：由P0=ρgh，当ρ变化时，P0不变h必然变化。

综上所述，只有D正确。

问题3：用A、B两种液体做托里拆利实验，若两根直立的玻璃管内液柱上方都是真空。A、B两玻璃管各自内外液体的高差之比是2∶3。怎样计算两管内液体密度的比值？

解答：∵P0=ρAghA P0=ρBghB ∴

问题4：如图1-4-30所示，这是一个可用来测定某种液体的密度的装置，A管插入左边的水槽中，B管插入右边的待测液体水槽中，从管口C处抽出一些气体，平衡时，A管的水面高出槽内水面20厘米，B管的液面高出槽内25厘米。由这些已知条件怎样得出待测液体的密度？

解答：设抽出一些气体后，管内气体压强为P，则A管内水柱有：P0－P=ρ水gh水 B管内液柱有：P0－P=ρgh ∴ρ水gh水=ρgh

ρ=ρ水=×103=0.8×103（千克/米3）

问题5：怎样分析自来水笔的吸墨水的过程？

解答：自来水笔吸墨水时，把笔上的弹簧片按几下，墨水就吸到橡皮管里去了，这是因为按压弹簧片时排出了橡皮管内的大部分空气，使橡皮管里的气压小于大气压；管外的墨水在大气压作用下，进入管内。

问题6：当大气压为103帕时，离心式水泵最多能把水吸到多高？若用它抽密度为0.8×103千克/米3的煤油时又能抽多高？

解答：离心式水泵实际上是靠大气压把水由低处压到高处，所以水泵的抽水高度是大气压托住的液柱高度。由P0=ρgh得：

h水==≈10.2（米） h油==≈12.76（米）

点评：托里拆利实验的理解和分析，要充分认识到管内外液面高度差对应的液柱产生的压强，即为大气压值。也可理解为大气压托住该液柱。在此基础上利用液体压强公式分析和计算。

10、怎样计算大气压变化的高度问题？

思路：大气压随海拨高度升高而不断减小，在海拨2000米内，每升高12米，大气压强就减少1毫米汞柱。已知大气压变化ΔP则算了出海拨高度变化为Δh=ΔP×12米，式中ΔP的单位取毫米汞柱，Δh=h2－h1 。

问题：

问题1：飞机在某处上空飞行。飞行高度表显示1200米，气压表显示659毫米汞柱，怎样计算此处地面上的大气压值？(此处的海拔数可忽略不计)

解答：已知Δh=1200米，由ΔP=P地－P空==100（毫米汞柱）得：P地=P空+100毫米汞柱=759毫米汞柱。

问题2：楼房的最下面一层，气压计的示数为74.7厘米汞柱。怎样估算这栋楼的高度？

解答：∵ΔP=P地－P空=750－747=3（毫米汞柱）

∴楼房高度Δh=ΔP×12米=3×12米=36米

问题3：矿井底的大气压是82厘米汞柱高，地面大气压是76厘米汞柱高，深度每降低12米，水银柱升高1毫米，求矿井多深？

解答：由题意ΔP=820－760=60（毫米汞柱）

所以矿井深度为 Δh=ΔP×12米=60×12米=720米

点评：大气压随高度的变化不是均匀的，但在海拨2000米内，可近似认为是均匀的。因此计算了公式Δh=ΔP×12米仅在海拨2000米内有效，而且计算时ΔP的单位只能用毫米汞柱，Δh的单位为米。