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    2017年天津市中考数学试卷(含答案解析版)

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    2017年市中考数学试卷

    一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）计算（﹣3）+5的结果等于（ ） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
    2．（3分）cos60°的值等于（ ）
    A． B．1 C． D．
    3．（3分）在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
    A． B． C． D．
    4．（3分）据《日报》报道，市社会保障制度更加成熟完善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000．将12630000用科学记数法表示为（ ） A．0.1263×108 B．1.263×107 C．12.63×106 D．126.3×105
    5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

    A． B． C．的值在（ ）
    D．
    6．（3分）估计A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
    7．（3分）计算的结果为（ ）
    A．1 B．a C．a+1 D．
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    8．（3分）方程组的解是（ ）
    A． B． C． D．
    9．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）

    A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC
    10．（3分）若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
    A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
    的图11．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）

    A．BC B．CE C．AD D．AC
    12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1

    二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）计算x7÷x4的结果等于．
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    14．（3分）计算的结果等于．
    15．（3分）不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
    16．（3分）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（写出一个即可）．
    17．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．

    18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
    （1）AB的长等于；
    （2）在△ABC的部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不．．．要求证明）．


    三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
    19．（8分）解不等式组
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    请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得； （2）解不等式②，得；
    （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

    （4）原不等式组的解集为．
    20．（8分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

    （1）本次接受调查的跳水运动员人数为，图①中m的值为； （2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
    21．（10分）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D． （1）如图①，求∠T和∠CDB的大小； （2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．

    22．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．
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    参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．

    23．（10分）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元． 设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）． （1）根据题意，填写下表： 一次复印页数（页） 甲复印店收费（元） 乙复印店收费（元）
    5 0.5 0.6
    10


    20 2 2.4
    30


    … … …
    （2）设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
    （3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由． 24．（10分）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
    （1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标； （2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
    （3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
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    25．（10分）已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
    （2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'． ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
    ②当点P'落在第二象限，P'A2取得最小值时，求m的值．


    2017年市中考数学试卷
    参考答案与试题解析

    一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
    1．（3分）（2017•）计算（﹣3）+5的结果等于（ ） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
    【考点】19：有理数的加法．
    【分析】依据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：（﹣3）+5=5﹣3=2． 故选：A．
    【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键．

    2．（3分）（2017•）cos60°的值等于（ ）
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    A． B．1 C． D．
    【考点】T5：特殊角的三角函数值．
    【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
    【解答】解：cos60°=， 故选：D．
    【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

    3．（3分）（2017•）在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
    A． B． C． D．
    【考点】P3：轴对称图形．
    【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误； B、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误； C、可以看作是轴对称图形，故本选项正确； D、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误． 故选C．
    【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

    4．（3分）（2017•）据《日报》报道，市社会保障制度更加成熟完善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000．将12630000用科学记数法表示为（ ）
    A．0.1263×108 B．1.263×107 C．12.63×106 D．126.3×105 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
    【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确页脚



    定n的值是易错点，由于12630000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7． 【解答】解：12630000=1.263×107． 故选：B．
    【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

    5．（3分）（2017•）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

    A． B． C． D．
    【考点】U2：简单组合体的三视图．
    【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
    【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形． 故选D．
    【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

    6．（3分）（2017•）估计的值在（ ）
    A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【考点】2B：估算无理数的大小． 【分析】利用二次根式的性质，得出【解答】解：∵∴6＜∴＜7，
    的值在整数6和7之间．
    ＜    ＜，
    ＜    ＜，进而得出答案．
    故选C．
    【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，得出页脚

    ＜＜是解题关键．




    7．（3分）（2017•）计算的结果为（ ）
    A．1 B．a C．a+1 D．
    【考点】6B：分式的加减法．
    【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
    【解答】解：原式=故选（A）
    =1，
    【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

    8．（3分）（2017•）方程组的解是（ ）
    A． B． C． D．
    【考点】98：解二元一次方程组． 【分析】利用代入法求解即可．
    【解答】解：①代入②得，3x+2x=15， 解得x=3，
    ，
    将x=3代入①得，y=2×3=6，
    所以，方程组的解是故选D．
    ．
    【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．

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    9．（3分）（2017•）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）

    A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC 【考点】R2：旋转的性质．
    【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，推出△ABD是等边三角形，得到∠DAB=∠CBE，于是得到结论．
    【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE， ∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∴∠DAB=∠CBE， ∴AD∥BC， 故选C．

    【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

    10．（3分）（2017•）若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
    A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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    【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【解答】解：∵k=﹣3＜0，
    ∴在第四象限，y随x的增大而增大， ∴y2＜y3＜0， ∵y1＞0， ∴y2＜y3＜y1， 故选：B．
    【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．

    11．（3分）（2017•）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）

    A．BC B．CE C．AD D．AC
    【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；KH：等腰三角形的性质．
    【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度． 【解答】解：如图连接PC，

    ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴PB=PC，
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    ∴PB+PE=PC+PE， ∵PE+PC≥CE，
    ∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度， 故选B．
    【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

    12．（3分）（2017•）已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1 【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．
    【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式． 【解答】解：当y=0，则0=x2﹣4x+3， （x﹣1）（x﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=3， ∴A（1，0），B（3，0）， y=x2﹣4x+3 =（x﹣2）2﹣1，
    ∴M点坐标为：（2，﹣1），
    ∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，
    ∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可， ∴平移后的解析式为：y=（x+1）2=x2+2x+1． 故选：A．
    【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．

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    二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）（2017•）计算x7÷x4的结果等于 x3． 【考点】48：同底数幂的除法．
    【分析】根据同底数幂的除法即可求出答案． 【解答】解：原式=x3， 故答案为：x3
    【点评】本题考查同底数幂的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

    14．（3分）（2017•）计算【考点】79：二次根式的混合运算． 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：=16﹣7 =9．
    故答案为：9．

    的结果等于 9 ．
    【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．

    15．（3分）（2017•）不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是． 【考点】X4：概率公式．
    【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：∵共6个球，有5个红球，
    ∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为．
    故答案为：．
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    【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

    16．（3分）（2017•）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是 ﹣2 （写出一个即可）． 【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
    【分析】据正比例函数的性质；当k＜0时，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，可确定k的取值围，再根据k的围选出答案即可． 【解答】解：∵若正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限， ∴k＜0，
    ∴符合要求的k的值是﹣2， 故答案为：﹣2．
    【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线y=kx中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、四象限．

    17．（3分）（2017•）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．

    【考点】KX：三角形中位线定理；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质． 【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解． 【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H． 则PH∥AB．
    页脚




    ∵P是AE的中点， ∴PH是△AOE的中位线，
    ∴PH=OA=（3﹣1）=1． ∵直角△AOE中，∠OAE=45°，
    ∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2， 同理△PHE中，HE=PH=1． ∴HG=HE+EG=1+1=2． ∴在Rt△PHG中，PG=故答案是：．
    =    =．

    【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．

    18．（3分）（2017•）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （1）AB的长等于；
    （2）在△ABC的部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不．．．要求证明） 如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N．连接DN，EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求． ．
    页脚





    【考点】N4：作图—应用与设计作图；KQ：勾股定理． 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
    （2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求． 【解答】解：（1）AB=故答案为
    =．
    ．
    （2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．

    理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB的面积：平行四边形DEMG的面积=1：2：3，
    △PAB的面积=平行四边形ABME的面积，△PBC的面积=平行四边形CDNB的面积，△PAC的面积=△PNG的面积=△DGN的面积=平行四边形DEMG的面积， ∴S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3．
    页脚



    【点评】本题考查作图﹣应用与设计、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，求出△PAB，△PBC，△PAC的面积，属于中考常考题型．

    三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
    19．（8分）（2017•）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 x≥1 ； （2）解不等式②，得 x≤3 ；
    （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：


    （4）原不等式组的解集为 1≤x≤3 ．
    【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥1； （2）解不等式②，得：x≤3；
    （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

    （4）原不等式组的解集为1≤x≤3， 故答案为：x≥1，x≤3，1≤x≤3．
    【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

    20．（8分）（2017•）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，页脚




    根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

    （1）本次接受调查的跳水运动员人数为 40 ，图①中m的值为 30 ； （2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
    【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
    【分析】（1）频数÷所占百分比=样本容量，m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30； （2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：（1）4÷10%=40（人）， m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30； 故答案为40，30．
    （2）平均数=（13×4+14×10+15×11+16×12+17×3）÷40=15， 16出现12次，次数最多，众数为16；
    按大小顺序排列，中间两个数都为15，中位数为15．
    【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．

    21．（10分）（2017•）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D． （1）如图①，求∠T和∠CDB的大小； （2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．
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    【考点】MC：切线的性质．
    【分析】（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB=90°，根据三角形角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
    （2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE=∠BEC=65°，利用同圆的半径相等知：OA=OD，同理∠ODA=∠OAD=65°，由此可得结论． 【解答】解：（1）如图①，∵连接AC， ∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB=90°， ∵∠ABT=50°，
    ∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，
    由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°﹣∠ABC=40°， ∴∠CDB=∠CAB=40°；

    （2）如图②，连接AD，
    在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°， ∴∠BCE=∠BEC=65°， ∴∠BAD=∠BCD=65°， ∵OA=OD，
    ∴∠ODA=∠OAD=65°， ∵∠ADC=∠ABC=50°，
    ∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65°﹣50°=15°．
    页脚






    【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．

    22．（10分）（2017•）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．
    参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．

    【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
    【分析】如图作PC⊥AB于C．分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题． 【解答】解：如图作PC⊥AB于C． 由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，
    在Rt△APC中，sinA=，cosA=，
    ∴PC=PA•sinA=120•sin64°，
    页脚



    AC=PA•cosA=120•cos64°， 在Rt△PCB中，∵∠B=45°， ∴PC=BC，
    ∴PB==≈153．
    ∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64° ≈120×0.90+120×0.44 ≈161．
    答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．

    【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

    23．（10分）（2017•）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元． 设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）． （1）根据题意，填写下表： 一次复印页数（页） 甲复印店收费（元） 乙复印店收费（元）
    5 0.5 0.6
    10 1
    20 2
    30 3
    … …
    1.2 2.4 3.3 …
    （2）设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
    （3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．
    页脚




    【考点】FH：一次函数的应用．
    【分析】（1）根据收费标准，列代数式求得即可；
    （2）根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y1=0.1x（x≥0）；当一次复印页数不超过20时，根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y2=0.12x，当一次复印页数超过20时，根据题意求得y2=0.09x+0.6；
    （3）设y=y1﹣y2，得到y与x的函数关系，根据y与x的函数关系式即可作出判断．
    【解答】解：（1）当x=10时，甲复印店收费为：0，1×10=1；乙复印店收费为：0.12×10=1.2；
    当x=30时，甲复印店收费为：0，1×30=3；乙复印店收费为：0.12×20+0.09×10=3.3；
    故答案为1，3；1.2，3.3；

    （2）y1=0.1x（x≥0）；
    y2=
    ；
    （3）顾客在乙复印店复印花费少； 当x＞70时，y1=0.1x，y2=0.09x+0.6， ∴y1﹣y2=0.1x﹣（0.09x+0.6）=0.01x﹣0.6， 设y=0.01x﹣0.6，
    由0.01＞0，则y随x的增大而增大， 当x=70时，y=0.1 ∴x＞70时，y＞0.1， ∴y1＞y2，
    ∴当x＞70时，顾客在乙复印店复印花费少．
    【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，列出函数关系式是解题的关键．

    页脚




    24．（10分）（2017•）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
    （1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标； （2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
    （3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

    【考点】RB：几何变换综合题． 【分析】（1）由点A和B的坐标得出OA=由勾股定理求出A'B=（2）由勾股定理求出AB==，OB=1，由折叠的性质得：OA'=OA=，1）；
    ，，即可得出点A'的坐标为（=2，证出OB=OP=BP，得出△BOP是等边三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，证出OB∥PA'，得出四边形OPA'B是平行四边形，即可得出A'B=OP=1；
    （3）分两种情况：①点A'在y轴上，由SSS证明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+1，即可得出点P的坐标；
    ②由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四边形OAPA'是菱形，得出PA=OA=，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM=PA=，把y=代入页脚



    y=﹣x+1求出点P的纵坐标即可．
    ，点B（0，1），
    【解答】解：（1）∵点∴OA=，OB=1，
    ，
    由折叠的性质得：OA'=OA=∵A'B⊥OB， ∴∠A'BO=90°， 在Rt△A'OB中，A'B=∴点A'的坐标为（
    =，1）；
    ，
    （2）在Rt△ABO中，OA=∴AB==2，
    ，OB=1，
    ∵P是AB的中点，
    ∴AP=BP=1，OP=AB=1， ∴OB=OP=BP
    ∴△BOP是等边三角形， ∴∠BOP=∠BPO=60°，
    ∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°，
    由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1， ∴∠BOP+∠OPA'=180°， ∴OB∥PA'， 又∵OB=PA'=1，
    ∴四边形OPA'B是平行四边形， ∴A'B=OP=1；

    （3）设P（x，y），分两种情况：
    页脚




    ①如图③所示：点A'在y轴上，
    在△OPA'和△OPA中，∴△OPA'≌△OPA（SSS），
    ，
    ∴∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°， ∴点P在∠AOB的平分线上， 设直线AB的解析式为y=kx+b，
    把点，点B（0，1）代入得：，
    解得：，
    ∴直线AB的解析式为y=﹣∵P（x，y），
    x+1，
    ∴x=﹣x+1，
    解得：x=，
    ∴P（，）；
    ②如图④所示：
    由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA， ∵∠BPA'=30°， ∴∠A'=∠A=∠BPA'， ∴OA'∥AP，PA'∥OA， ∴四边形OAPA'是菱形， ∴PA=OA=，作PM⊥OA于M，如图④所示：
    页脚




    ∵∠A=30°，
    ∴PM=PA=，
    把y=代入y=﹣x+1得：=﹣x+1，
    解得：x=，
    ∴P（，）；
    综上所述：当∠BPA'=30°时，点P的坐标为（，）或（，）．


    【点评】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、待定系数法求直线的解析式、菱形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．

    页脚




    25．（10分）（2017•）已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
    （2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'． ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
    ②当点P'落在第二象限，P'A2取得最小值时，求m的值． 【考点】HF：二次函数综合题．
    【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；
    （2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值． 【解答】解：
    （1）∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）， ∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；

    （2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3， ∵点P′与P关于原点对称， ∴P′（﹣m，﹣t）， ∵点P′落在抛物线上，
    ∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3， ∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m=或m=﹣；
    ②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限， ∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0， ∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
    页脚




    ∴﹣4≤t＜0， ∵P在抛物线上， ∴t=m2﹣2m﹣3， ∴m2﹣2m=t+3，
    ∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），
    ∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；
    ∴当t=﹣时，P′A有最小值，
    2∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得m=∵m＞0，
    或m=，
    ∴m=不合题意，舍去，
    ∴m的值为．
    【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中用t表示出P′A2是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

    页脚


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