数列
一、数列的概念
(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;
(2)通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,…
②:…
(3)数列的函数特征与图象表示: 4 5 6 7 8 9
序号:1 2 3 4 5 6
项 :4 5 6 7 8 9
(4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。
例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?
(1)1,2,3,4,5,6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…
(5)数列{}的前项和与通项的关系:
例:已知数列的前n项和,求数列的通项公式
二、等差数列
题型一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。
例:等差数列,
题型二、等差数列的通项公式:;
等差数列(通常可称为数列)的单调性: 为递增数列,为常数列, 为递减数列。
例:1.已知等差数列中,等于( )
A.15 B.30 C.31 D.64
2.是首项,公差的等差数列,如果,则序号等于
(A)667 (B)668 (C)669 (D)670
题型三、等差中项的概念:
定义:如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。其中
,,成等差数列 即: ()
例:1.设是公差为正数的等差数列,若,,则( )
A. B. C. D.
2.设数列是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
题型四、等差数列的性质:
(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;
(3)在等差数列中,对任意,,, ;
(4)在等差数列中,若,,,且,则;
题型五、等差数列的前和的求和公式: 。(是等差数列 )
递推公式:
例:1.如果等差数列中,,那么
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
2.设是等差数列的前n项和,已知,,则等于( )
A.13 B.35 C.49 D. 63
3.设等差数列的前项和为,若,则=
4.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
5.设等差数列的前项和为,若则
6.已知数列是等差数列,,其前10项的和,则其公差等于( )
C. D.
7.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn。
题型六.对与一个等差数列,仍成等差数列。
例:1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
A.130 B.170 C.210 D.260
2.一个等差数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为 。
3.设为等差数列的前项和, =
4.(06全国II)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=
A. B. C. D.
题型七.判断或证明一个数列是等差数列的方法:
定义法: 是等差数列
中项法: 是等差数列
通项公式法: 是等差数列
前项和公式法: 是等差数列
例:1.已知一个数列的前n项和,则数列为( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2.已知一个数列的前n项和,则数列为( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.数列满足=8, ()
求数列的通项公式;
题型八.数列最值
(1),时,有最大值;,时,有最小值;
(2)最值的求法:①若已知,的最值可求二次函数的最值;
可用二次函数最值的求法();②或者求出中的正、负分界项,即:
若已知,则最值时的值()可如下确定或。
例:1.等差数列中,,则前 项的和最大。
2.设等差数列的前项和为,已知
求出公差的范围,
指出中哪一个值最大,并说明理由。
3.已知是等差数列,其中,公差。
(1)数列从哪一项开始小于0?
(2)求数列前项和的最大值,并求出对应的值.
题型九.利用求通项.
1.已知数列的前项和则
2.设数列的前n项和为Sn=2n2,求数列的通项公式;
3.已知数列中,前和
求证:数列是等差数列
求数列的通项公式
4.设数列的前n项和,则的值为( )
(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64
等比数列
等比数列定义:……
一、递推关系与通项公式
1. 在等比数列中,,则
2.在等比数列中,,,则=
3.在各项都为正数的等比数列中,首项,前三项和为21,则( )
A 33 B 72 C 84 D 189
二、等比中项:若三个数成等比数列,则称为的等比中项,且为是成等比数列的必要而不充分条件.
例:1.和的等比中项为( )
三、等比数列的基本性质,
1.(1)
(2)
(3)为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.
(4)既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.
例:1.在等比数列中,和是方程的两个根,则( )
2.在等比数列中,
求
若
3.等比数列的各项为正数,且( )
A.12 B.10 C.8 D.2+
四、等比数列的前n项和,
例:1.已知等比数列的首相,公比,则其前n项和
2.设等比数列的前n项和为,已,求和
3.设,则等于( )
A. B. C. D.
五. 等比数列的前n项和的性质
若数列是等比数列,是其前n项的和,,那么,,成等比数列.
例:1.一个等比数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为( )
A.83 B.108 C.75 D.63
2.已知数列是等比数列,且
六.等比数列的判定法
(1)定义法: 为等比数列;
(2)中项法: 为等比数列;
(3)通项公式法: 为等比数列;
(4)前项和法: 为等比数列。
为等比数列。
七.利用求通项.
例:1.数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.
2.已知数列的首项前项和为,且,证明数列是等比数列.
求数列通项公式方法
(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项
例:1已知等差数列满足:, 求;
2.已知数列满足,求数列的通项公式;
3.数列满足=8, (),求数列的通项公式;
4. 已知数列满足,求数列的通项公式;
5. 设数列满足且,求的通项公式
6. 已知数列满足,求数列的通项公式;
7. 已知数列满足(),求数列的通项公式;
8. 已知数列满足且(),求数列的通项公式;
9. 已知数列满足且(),求数列的通项公式;
(2)累加法
1、累加法 适用于:
若,则
两边分别相加得
例:1.已知数列满足,求数列的通项公式。
2. 已知数列满足,求数列的通项公式。
3. 已知数列满足,求数列的通项公式。
4. 设数列满足,,求数列的通项公式
(3)累乘法
适用于:
若,则
例:1. 已知数列满足,求数列的通项公式。
2.已知数列满足,,求。
3.已知, ,求。
(4)待定系数法
适用于
解题基本步骤:
1、确定
2、设等比数列,公比为
3、列出关系式
4、比较系数求,
5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例:1. 已知数列中,,求数列的通项公式。
2.在数列中,若,则该数列的通项_______________
3.已知数列满足,求数列的通项公式。
解:设
4.已知数列中,,,求
5. 已知数列满足,求数列的通项公式。
(5)递推公式中既有又有
把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。
1.数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.
2.已知数列中,前和
求证:数列是等差数列 求数列的通项公式
3.已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。
(6)倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
例:1. 已知数列满足,求数列的通项公式。
数列求和
1.直接用等差、等比数列的求和公式求和。
公比含字母时一定要讨论
例:1。已知等差数列满足,求前项和
2.已知等比数列满足,求前项和
3.设,则等于( )
A. B. C. D.
2.错位相减法求和:如:
例:1.求和
2.求和:
3.设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,, (Ⅰ)求,的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和.
3.裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项:
数列是等差数列,数列的前项和
例:1.数列的前项和为,若,则等于____________
2.已知数列的通项公式为,求前项的和;
3.已知数列的通项公式为,求前项的和.
4.求。
4.倒序相加法求和
综合练习:
1.等比数列的各项均为正数,且,
(1)求数列的通项公式
(2)设,求数列的前n项和
2.已知等差数列满足,.
(1)求数列的通项公式及
(2)求数列的前n项和
3.设数列满足,
(1)求数列的通项公式
(2)令,求数列的前n项和
¥29.8
¥9.9
¥59.8