益阳市箴言中学第十次月考试题

数学（文科）

时间：120分钟，满分150分

选择题：(每小题5分共60分，每个小题只有一个答案正确的，请将正确答案填图到答题卡上）

1. 已知为实数集，集合，则（ ） D

A. B. C. D.

2.已知i为虚数单位，复数,则复数对应的点位于（ ）D

A.第一象限 B.第 二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 一栋商品大楼有7层高，甲乙两人同时从一楼进入了电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人在不同层离开的概率为（ ）C

A. B. C. D.

4. 已知数列{an}满足,，则（ ）C

A. B. 16 C.32 D.

解析　由，得所以an＋1＝2an，, ,选C

5.已知双曲线的渐进线与圆相交于A,B两点，，则双曲线的离心率为（ ）A

A. B. C. D.

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）答案B

A. B. C. D.

7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是80，则判断框中应该填(　　)

A．　　B． C．　 D．

答案：选D

8.如图所示，在正方形中，AB=2，为的中点，为的中点，则（ ）C

A． B． C． D．

9. 已知实数满足 ，则的大小关系是（ ）

A. B. C. D.

由图像可知：成立，选C

10. 将函数(x∈R)的图象向左平移个单位长度后得到图象，若在上单调递减，则的取值范围为(　　)答案：C

A. B． C. D．

11.已知定义在R上的函数满足，则关于的不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.

答案：A

12. 已知函数，若，且，则的取值范围为（ ）答案：【B】

A. B. C. D.

二.填空题：（每小题5分，共20分）

13. 在等差数列中，是表示数列的前项和，已知，则 【15】

14. 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，，则曲线y＝f(x)在点(1，-1)处的切线方程是________.

设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1-2x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1-2x，

所以当x>0时，f(x)＝ex－1-2x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1-2，f′(1)＝e0-2＝-1.

则曲线y＝f(x)在点(1，-1)处的切线的斜率为f′(1)＝-1，所以切线方程为y+1＝-(x－1)，即x+y＝0.

15. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，且，直线与平面所成角为，则此三棱柱的外接球的表面积为 【】

16. 已知点，是椭圆内的两个点，点是椭圆上的动点，则的取值范围为

三．解答题：

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

(1)若求的值；

(2) )若，M为AC上一点，且，且, 求的长。

解：　(1)由已知得sin 2A＋sin 2B-sin2C=-sin Bsin A，由正弦定理得，

∴C＝π. ，

（2），所以，，由，所以，又

所以，在三角形BCM中由余弦定理得

，所以

18. 如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，，AB=BC=2AD=4，是等边三角形，且，E是PB中点，点M在棱PC上。

（1）求证：

（2）若三棱锥C-MDB的体积为，且，求实数的值。

证明：（1）因为梯形ABCD中，AD//BC，，

所以，又，所以

所以，因为是等边三角形，所以

，所以，所以……5分

（2）过P做，连接CF，易知，因为是等边三角形，AB=4，

过M做，则MN//CF，，

，所以

又，所以所以所以……12分

19. 中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期。其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸。宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等。某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀（1刀=100张），该公司按照某种质量指标给宣纸确定等级如下表所示：

在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为-20元。

（Ⅰ）试估计该公司的年利润；

（Ⅱ）市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标如下表所示：

其中为质量指标的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由。（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）

解:（1）由频率分布直方图可知：一刀宣纸有正牌100X0.1X4=40(张)，有副牌100x0.05X4X2=40（张），有废品100x0.025X4x2=20(张)，所以该公司一刀宣纸的利润估计值为40X15+40X8-20X20=520元。所以该公司一年的利润估计值为520万元。……………6分

（2）由频率分布直方图可知：；这种机器生产的宣纸的质量指标如下表所示：

……………8分

所以一刀宣纸中正牌的张数估计为100X0.6827=68.27.

废品的张数估计为：100X（1-0.9545）=4.55;

副牌的张数为：100X（0.9545—0.6827）=27.18；……………9分

所以一刀宣纸的利润为：68.27X12+27.18X5-4.55X20=819.24+135.9-91=864.14（元）

所以，公司改进后该公司利润为：864.14-100=764.14（万元）；……………11分

由于764.14万元>520万元，所以建议该公司购买这种机器。………………12分

20. 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.

(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．

解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，

则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.　①

(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，

∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.

(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，

联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．

|AB|＝|x2－x1|＝＝，

点N到直线AB的距离d＝＝，

则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，

∵△ABN的面积的最小值为4，∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.

21.已知函数

(1)若在处取得极值，求实数a的值，并求函数的单调区间；

（2）若时，，求实数的取值范围。

解：（1），依题意得：，所以，；此时

设，，所以在是增函数，

当，即，是减函数；

当，即，是增函数；

所以的递增区间为，递减区间为……5分

（2），

（ⅰ）当时，，在为增函数，所以，不等式成立，所以符合题意；……7分

（ⅱ）当时，，，所以，在为增函数，

所以，不等式成立，所以符合题意；……9分

（ⅲ）当时，，，所以存在使，当，

，所以，所以不等式不成立，所以不合题意；……11分

综上：，即……12分

22. 选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，P是曲线C上异于A,B的任意点求三角形面积的最大值.

解　(1)将方程消去参数α得x2＋y2－4x－12＝0，

∴曲线C的普通方程为x2＋y2－4x－12＝0，

将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，

∴曲线C的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12.

(2)设A，B两点的极坐标分别为，，

由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0，

根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的两根，

∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12，

∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.点P到直线l的最大距离为4+2sin300=5,

所以三角形ABP的最大值为：

23. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，不等式成立，求实数的取值范围．

解：(1)当时,，由解得 ……………………………5分

（2）,

时，使得

不等式恒成立 ……………7分

不等式恒成立，

， ……………………………9分

又 …………………………… 10分