2020年湖南省邵阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）2020的倒数是（　　）

A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣

2．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（　　）

A． B．

C． D．

3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（　　）

A．3.45×1010元 B．3.45×109元

C．3.45×108元 D．3.45×1011元

4．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　）

A．3 B．﹣ C． D．﹣2

5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

6．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3

C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2

7．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（　　）

A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF

8．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）

A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）

9．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　）

A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2

10．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：

（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，

（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．

若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（　　）

A．135° B．120° C．112.5° D．115°

二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）因式分解：2x2﹣18＝　 　．

12．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是　 　．

13．（3分）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：

甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；

乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．

从接受“送教上门”的时间波动大小来看，　 　学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”）

14．（3分）如图，线段AB＝10cm，用尺规作图法按如下步骤作图．

（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；

（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；

（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．即点D为线段AB的黄金分割点．则线段AD的长度约为　 　cm．（结果保留两位小数，参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.236）

15．（3分）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为　 　．

16．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为　 　．

17．（3分）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长AB为　 　．

18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为　 　．

三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）

19．（8分）计算：（﹣1）2020+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．

20．（8分）已知：|m﹣1|+＝0，

（1）求m，n的值；

（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．

21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若AC＝4，求⊙O的半径．

22．（8分）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．

23．（8分）“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

（1）本次接受问卷调查的学生共有　 　人；

（2）请补全图①中的条形统计图；

（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为　 　度；

（4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有多少人？

24．（8分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．

（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？

（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？

25．（8分）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．

（1）请你猜想AF与DM的数量关系是　 　．

（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．

①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）

②求证：AF⊥DM；

③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；

（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

2020年湖南省邵阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）2020的倒数是（　　）

A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣

【分析】根据倒数的定义求解即可

【解答】解：∵2020×＝1

∴2020的倒数是，

故选：C．

2．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．

【解答】解：A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；

B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；

C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；

D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；

故选：A．

3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（　　）

A．3.45×1010元 B．3.45×109元

C．3.45×108元 D．3.45×1011元

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，则3450亿＝345000000000＝3.45×1011．

故选：D．

4．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　）

A．3 B．﹣ C． D．﹣2

【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．

【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，

由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．

故选：A．

5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点（1，﹣1）求出一次函数解析式，即可求解．

【解答】解：把点（2，3）代入y＝kx（k≠0）得2k＝3，

解得，

∴正比例函数解析式为，

设正比例函数平移后函数解析式为，

把点（1，﹣1）代入得，

∴，

∴平移后函数解析式为，

故函数图象大致为：

．

故选：D．

6．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3

C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2

【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．

【解答】解：A.，故A选项错误；

B．（﹣2a2b）3＝（﹣2）3（a2）3b3＝﹣8a6b3，故B选项错误；

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C选项错误；

D.，故D选项正确．

故选：D．

7．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（　　）

A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF

【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABD＝∠BDC，

∵∠ABE+∠ABD＝∠BDC+∠CDF，

∴∠ABE＝∠CDF，

A．若添加AE＝CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；

B．若添加∠AEB＝∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；

C．若添加∠EAB＝∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；

D．若添加BE＝DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D不符合题意．

故选：A．

8．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）

A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）

【分析】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．

【解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0．

A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；

C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

故选：B．

9．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　）

A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2

【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．

【解答】解：假设不规则图案面积为x，

由已知得：长方形面积为20，

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，

当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，

综上有：，解得x＝7．

故选：B．

10．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：

（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，

（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．

若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（　　）

A．135° B．120° C．112.5° D．115°

【分析】由折叠前后对应角相等且∠P1MA＝90°可先求出∠DMP1＝∠DMA＝45°，进一步求出∠ADM＝45°，再由折叠可求出∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝22.5°，最后在△DP1M中由三角形内角和定理即可求解．

【解答】解：∵折叠，且∠P1MA＝90°，

∴∠DMP1＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°，

∵折叠，

∴∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝∠ADM＝22.5°，

∴在△DP1M中，∠DP1M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，

故选：C．

二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）因式分解：2x2﹣18＝　2（x+3）（x﹣3）　．

【分析】提公因式2，再运用平方差公式分解．

【解答】解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），

故答案为：2（x+3）（x﹣3）．

12．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是　4　．

【分析】根据△OAB的面积等于2，即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．

【解答】解：设点A的坐标为（xA，yA），AB⊥y，

由题意可知：，

∴yA•xA＝4，

又点A在反比例函数图象上，

故有k＝xA•yA＝4．

故答案为：4．

13．（3分）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：

甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；

乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．

从接受“送教上门”的时间波动大小来看，　甲　学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”）

【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定．

【解答】解：甲的“送教上门”时间的平均数为：，

乙的“送教上门”时间的平均数为：，

甲的方差：，

乙的方差：，

因为，

所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．

故答案为：甲．

14．（3分）如图，线段AB＝10cm，用尺规作图法按如下步骤作图．

（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；

（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；

（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．即点D为线段AB的黄金分割点．则线段AD的长度约为　6.18　cm．（结果保留两位小数，参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.236）

【分析】根据作图得△ABC为直角三角形，CE＝BC＝AB＝5cm，AE＝AD，根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．

【解答】解：由作图得△ABC为直角三角形，CE＝BC＝AB＝5cm，AE＝AD，

∴AC＝cm，

∴AE＝AC﹣CE＝5cm，

∴cm．

故答案为：6.18．

15．（3分）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为　　．

【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．

【解答】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，

设第二行中间数为x，则，解得，

设第三行第一个数为y，则，解得，

∴2个空格的实数之积为．

故答案为：．

16．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为　x（x+12）＝864　．

【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12），再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：∵矩形的宽为x，且宽比长少12，

∴矩形的长为（x+12）．

依题意，得：x（x+12）＝864．

故答案为：x（x+12）＝864．

17．（3分）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长AB为　13　．

【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长．

【解答】解：∵圆锥底面周长＝侧面展开后扇形的弧长＝10π，

∴OB＝，

在Rt△AOB中，AB＝，

所以该圆锥的母线长AB为13．

故答案为：13．

18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为　　．

【分析】先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．

【解答】解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，

∵根据题意四边形ABEF为菱形，

∴AB＝BE＝，

又∵∠ABE＝30°

∴在RT△BHE中，EH＝，

根据题意，AB∥CF，

根据平行线间的距离处处相等，

∴HE＝CG＝，

∴Rt△ABC的面积为．

故答案为：．

三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）

19．（8分）计算：（﹣1）2020+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．

【解答】解：原式＝1+2+（﹣1）﹣2×

＝1+2+﹣1﹣

＝2．

20．（8分）已知：|m﹣1|+＝0，

（1）求m，n的值；

（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．

【分析】（1）根据非负数的和为0的性质进行解答便可；

（2）根据整式乘法法则，完全平方公式计算，再合并同类项后，最后再代值计算．

【解答】解：（1）根据非负数得：m﹣1＝0且n+2＝0，

解得：m＝1，n＝﹣2，

（2）原式＝m2﹣3mn+m2+4mn+4n2﹣4n2＝2m2+mn，

当m＝1，n＝﹣2，原式＝2×1+1×（﹣2）＝0．

21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若AC＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OA，由圆的性质可得OA＝OB，即∠OBA＝∠OAB；再由AB＝AC，即∠OBA＝∠C，再结合∠CAD＝∠C，可得∠OAB＝∠CAD，然后由∠BAD＝90°说明∠OAC＝90°即可完成证明；

（2）根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论．

【解答】（1）证明：如图：连接OA，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB，

∵AB＝AC，

∴∠OBA＝∠C，

∴∠OAB＝∠C，

∵∠CAD＝∠C，

∴∠OAB＝∠CAD，

∵BD是直径，

∴∠BAD＝90°，

∵∠OAC＝∠BAD﹣∠OAB+∠CAD＝90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知AC是⊙O的切线，

∴∠OAC＝90°，∠AOD＝2∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠AOC+∠C＝2∠B+∠C＝3∠C＝90°，

∴∠B＝∠C＝30°，

在Rt△ABD中，BD＝＝＝，

∴OB＝，

∴⊙O的半径为．

22．（8分）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．

【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．

【解答】解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2均为矩形，

∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝100m，

∴BO＝BB1﹣OB1＝100﹣62＝38m，CB2＝CC1﹣B2C1＝200﹣100＝100m，

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝38m，

∴AB＝2BO＝2×38＝76m；

在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝100m，

∴，

∴，

即管道AB和BC的总长度为：．

23．（8分）“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

（1）本次接受问卷调查的学生共有　100　人；

（2）请补全图①中的条形统计图；

（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为　18　度；

（4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有多少人？

【分析】（1）根据选A的有50人，占15%，从而求得本次接受问卷调查的学生总数；

（2）根据各组人数之和等于数据总数求得选B的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）用360°乘以D选项所占百分比可得所对应扇形圆心角的度数；

（4）利用样本估计总体，用1500乘以样本中学习时间在C选项的人数所占的百分比即可．

【解答】解：（1）15÷15%＝100（人）．

故答案为：100；

（2）如图，选B的人数：100﹣40﹣15﹣5＝40（人）．

条形图补充如下：

（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为：360o×＝18o．

故答案为：18；

（4）1500×＝600（人）．

故估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有600人．

24．（8分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．

（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？

（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？

【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案．

【解答】解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，

依题意，得：，

解得：．

答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；

（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，

依题意，得：，

解得：71≤m≤75，

又∵m为正整数，

∴m可以取72、73、74、75，

∴小丹共有4种进货方案，方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台；方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台．

25．（8分）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．

（1）请你猜想AF与DM的数量关系是　AF＝2DM　．

（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．

①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）

②求证：AF⊥DM；

③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）

【分析】（1）根据题意合理猜想即可；

（2）①延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN，得到AF＝DN，故可得到AF＝2DM；

②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；

③依题意可得∠AFD＝∠EDM＝30°，可设AG＝k，得到DG，AD，FG，ED的长，故可求解．

【解答】解：（1）猜想AF与DM的数量关系是AF＝2DM，

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD＝AD，∠ADC＝90°，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴AF＝CE，

∵M是CE的中点，

∴CE＝2DM，

∴AF＝2DM，

故答案为：AF＝2DM；

（2）①AF＝2DM仍然成立，

理由如下：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，

∵M是CE中点，

∴CM＝EM，

又∠CMN＝∠EMD，

∴△MNC≌△MDE（SAS），

∴CN＝DE＝DF，∠MNC＝∠MDE，

∴CN∥DE，

又AD∥BC

∴∠NCB＝∠EDA，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠BCD＝90°＝∠EDF，

∴∠ADF＝∠DCN，

∴△ADF≌△DCN（SAS），

∴AF＝DN，

∴AF＝2DM；

②∵△ADF≌△DCN，

∴∠NDC＝∠FAD，

∵∠CDA＝90°，

∴∠NDC+∠NDA＝90°，

∴∠FAD+∠NDA＝90°，

∴AF⊥DM；

③∵α＝45°，

∴∠EDC＝90°﹣45°＝45°

∵∠EDM＝2∠MDC，

∴∠EDM＝∠EDC＝30°，

∴∠AFD＝30°，

过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG＝90°﹣45°＝45°，

∴△ADG是等腰直角三角形，

设AG＝k，则DG＝k，AD＝AG÷sin45°＝k，

FG＝AG÷tan30°＝k，

∴FD＝ED＝k﹣k，

故＝．

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；

（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

【分析】（1）将C（8，0），B（0，6）代入计算即可；

（2）作DE⊥x轴于点E，证明△BOC～△CED，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；

（3）分为点M在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为△BON～△CDM和△BON～△MDC两种情况讨论；当点M在BC上时，分为△BON～△MCD和△BON～△DCM两种情况讨论；

（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得QN+DN的最小值；连接BQ减去BA'可得A'Q的最小值，综上可得A'Q+QN+DN的最小值．

【解答】解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入，得，

解得，

∴抛物线的解析式为：；

（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，

∵C（8，0），B（0，6），

∴OC＝8，OB＝6．

∴BC＝10．

∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，

∴△BOC～△CED．

∴．

∴CE＝3，DE＝4．

∴OE＝OC+CE＝11．

∴D（11，4）．

（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，

当△BON～△CDM，则，即不成立，舍去；

当△BON～△MDC，则，即，解得：；

若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．

当△BON～△MCD，则，即，

∴．

当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．

∴，

解得t1＝（舍去），t2＝．

当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16

∴，无解；

当△BON～△DCM，则，即，

∴ON＝30﹣6t；

当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，

∴30﹣6t＝16﹣4t，

解得t＝7（舍去）；

当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，

∴30﹣6t＝4t﹣16，

解得．

综上所示：当时，△BON～△MDC；t＝时，△BON～△MCD；时，△BON～△DCM；

（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，

∵点D（11，4），

∴点F（11，﹣4）．

由得对称轴为x＝5，

∴点Q（5，4）．

∴，．

∴．

故A'Q+QN+DN的最小值为．