《二次函数》教案

第课时

教学目标

．知识与技能

能够用描点法作出函数的图象，并根据图象认识和理解其性质

．过程与方法

经历探索二次函数的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.

．情感、态度与价值观

在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．

教学重点难点

．重点

函数的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数的图象与性质

．难点

用描点的方法准确地画出函数的图象，掌握其性质特征．

教与学互动设计

（一）创设情境 导入新课

导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？、

导语二 展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？

导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？

（二）合作交流 解读探究

．函数 的图象画法及相关名称

【探究 】画的图象

学生动手实践、尝试画的图象

教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线

教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出的图象，如图26-1-1.

【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：

①形状是开口向上的抛物线

②图象关于轴对称

③由最低点，没有最高点.

结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.

．函数的图象特征及其性质

【探究】在同一坐标系中，画出，的图象.

学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图26-1-2.

比较图中三个抛物线的异同.

相同点：①顶点相同，其坐标都为（，）.

②对称轴相同，都为轴

③开口方向相同，它们的开口方向都向上.

不同点：开口大小不同.

【练一练】画函数，，的图象.（分析：仿照探究的实施过程）

比较函数，，的图象.找出它们的异同点.

相同点：①形状都是抛物线;②顶点相同，其坐标都为（，）;③对称轴相同，都为轴;④开口方向相同，它们的开口方向都向下.

不同点：开口大小不同.

【归纳】的图象特征：

()二次函数的图象是一条抛物线

()抛物线的对称轴是轴.顶点时原点>时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点<时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.

()越大，抛物线的开口越小

（三）应用迁移 巩固提高

类型之一 如何画好二次函数的图象

【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免.

【易错点】表格中，取值过多或过少.画函数图象,取对应值时，一般组或组有代表性的对应值即可.

【易错点】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.

例 图26-1-3是甲、乙、丙三人画得二次函数的图象.请你帮助修改.

解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.

图乙中有一个错误，其中有一个点（，）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.

图丙种错误是的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性. 修改见图丙中虚线.

【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.

类型之二 函数的图象特征的应用

例（）填空：函数的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是.

（）函数，，图象如图26-1-4所示，

请指出三条抛物线的名称.

解：（）可化为.它的图象

是抛物线，顶点坐标为（，），对称轴为轴，

开口方向向上.

【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，

避免发生错误.

()根据抛物线中，的值的作用来判断，最上面的抛物线为，中间的为，轴下方的为

【点评】抛物线中>时，开口向上<时，开口向下越大，开口越小.

（四）总结反思 拓展升华

【总结】.本节所学知识：①二次函数的图象的画法.②二次函数的图象特征及其性质.

.本节所用的方法：实践比较法

【反思】函数与的图象之间有何关系？（它们关于轴对称）

【拓展】(见《全品新学案》例)已知函数经过().求的值.

（）当<时，的值随的增大而变化的情况

解：()将，代入中，得×

∴.

()根据函数知<时随的增大而减小.

【点评】①通常用待定系数法函数中只有一个待定系数,故知道其图象上一点坐标或，的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：<时，的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故的值越来越小，即随的增大而减小..

（五）当堂检测反馈

. 抛物线中的开口方向是 向上 ，顶点坐标是 （，），对称轴是 轴 .抛物线的开口方向是 向下 ，顶点坐标是 （，），对称轴是 轴 .

. 二次函数与，开口大小，形状一样，开口方向相反，则.

【分析】与互为相反数

. 在同一坐标系中：①，②，③这三个函数图象开口最大的是:

①，最小的是③，开口向下的是②.

解： ∵<<,∴抛物线①的开口最大，抛物线③开口最小.

∵函数中，二次项系数为<.∴此函数图象的开口向下.

. 二次函数， ，的图象共同点是①顶点相同，都是原点（，）；②对称轴相同，都是轴.

．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过().求此抛物线的解析式，并指出>时，随的变化情况.

解：设此抛物线的解析式为,∵此抛物线过点（，），

∴·(),即word/media/image10_1.png,.∴word/media/image10_1.png,∴当>时，随的增大而增大.

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