九年级二轮专题复习材料

专题十一：直角三角形（勾股定理、三角函数）

【近3年临沂市中考试题】

1．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为

（A）20海里．（B）海里．（C）海里． （D）30海里．

A、 B、12 C、14 D、21

2．（2015临沂22题）

小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？

3．(2016临沂19题)一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是　　　　　　．

4．(2016年临沂22题)

一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）？

【知识点】

勾股定理、勾股定理的逆定理、三角函数的定义、特殊角的三角函数、解直角三角形

【规律方法】

1、直接利用勾股定理进行计算，当已知直角三角形的三边中任意两边的长，可以直接求第三边的长。

2、利用勾股定理建立方程：勾股定理是表示三边之间的关系，只有在两边确定的情形下，才可以直接利用公式求第三边，但有时题目的条件，却不能满足这点，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后通过立方程求解。

3、利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，当三角形三边关系满足勾股定理时，三角形一定是直角三角形。

4、将一般的几何问题构造出直角三角形，再用勾股定理求解。

5、将现实问题转化为数学问题，建立直角三角形模型；

6、根据条件特点，选用适当的锐角三角函数解决问题；

【中考集锦】

一、选择题

4.(2016湖北襄阳第9题)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为( )

二、填空题

1．(2014•济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，

AC=2，则AB的长为 ．

2.（2016浙江宁波第16题）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）

3.（2016湖南岳阳第14题）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米．

4．（2013•巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，

且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．

5.（2016山东枣庄第14题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为　 　米

（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41，=1.73）．

三、解答题

1.（2016河南第19题）（9分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°.升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处. 若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？

（参考数据：sian37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）

2．（2016上海市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：

（1）线段BE的长；

（2）∠ECB的余切值．

答案：

【近3年临沂市中考试题】

1.C

2．解：如图，α = 30°，β = 60°，AD = 42.

∵，，

∴BD = AD·tanα = 42×tan30°

= 42×= 14. 3分

CD＝AD tanβ＝42×tan60°

＝42. 6分

∴BC＝BD＋CD＝14＋42

＝56(m).

3. 【解答】解：sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°=•﹣•=．

故答案为．

4.【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，

在Rt△APC中，∵cos∠APC=，

∴PC=20•cos60°=10，

∴AC==10，

在△PBC中，∵∠BPC=45°，

∴△PBC为等腰直角三角形，

∴BC=PC=10，

∴AB=AC﹣BC=10﹣10≈7.3（海里）．

答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．

【中考集锦】

一、 选择题：

1、C 2、C 3、B 4、B. 5、B 6、A 7、D 8、D

二、填空题：

1、4 2、10+1.3、100． 4、5 5. 2.9.

二、 解答题：1.

2.试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE，即可得出BE的长；

考点：1．解直角三角形；2．勾股定理．