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Taylor公式余项形式的分析
摘 要：本文首先给出Taylor公式的三种微分型余项形式，并利用三种余项间的关系得到微分余项的统一形式，再根据中值定理以及牛顿――莱布尼兹公式得到Taylor公式的积分型余项，最后，阐述了微分型余项和积分型余项的转换关系。
关键词：Taylor公式 Peano Lagrange Cauchy型余项 微分型余项 积分型余项
Taylor公式余项分析目的：
1）估计用n阶Taylor多项式表示函数时的误差； 2）考察函数的Taylor级数是否收敛于该函数，即 是否成立。
一、Taylor 公式及三种微分型余项形式
若函数f（x）在U（x0）内具有直到（n+1）阶导数，则
1.Peano形式余项
Rn（x）=0（（x-xo）n）称为Peano余项。 2.Lagrange形式余项： 称为Lagrange余项。 3.Cauchy型余项 称为Cauchy余项
4.结论：根据Lagrange余项和Cauchy余项的关系，Taylor公式的微分型余项可归纳为 。
此余项当m=n即为Lagrange余项；而当m=0即为Cauchy余项。
二、Taylor公式积分型余项
Taylor公式的Lagrange余项形式，实际上是Lagrange中值定理的一种推广。 就是零阶微分中值定理具有的积分形式。n阶微分中值定理也具有积分形式 于是
Taylor公式的积分型余项：设f（x）在U（x0）有直到n+1阶连续导数。则对任何 有
三、微分型余项与积分型余项的关系 对积分型余项用第一积分中值定理 即为Lagrange余项。
由f （n+1）（x）在U（x0）有界，就有 。即Rn（x）=0（（x-xo）n）即为Peano余项。
当f （n+1）（t）（x-t）n是连续函数，据积分平均值定理，有
即为Cauchy余项。 参考文献