第二章　函数与导数第13课时　函数模型及其应用

1. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为________台．

答案：150

解析：由题意可得25x－y y＝0.1x2＋5x－3 000≥0，解得x≤－200或x≥150.

2. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯88 ℃ 热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20 min，那么这杯咖啡要从40 ℃降到32 ℃，还需________时间．

答案：10

解析：由题设知Ta＝24℃，令T0＝88，T＝40，t＝20，代入T－Ta＝(T0－Ta)·，得h＝10，令T0＝40，T＝32，代入可得t＝10.

3. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(min)为f(x)＝(A、c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．

答案：60，16

解析：当A>4时，解得c＝60, A＝16；

当A≤4时，无解．

4. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为________．(参考数据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 0)

答案：14

解析：由(1－20%)n<5%，n>log0.80.05，化简得n>，解得n>13.4，则n的最小值为14.

5. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．

答案：80

解析：设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80件时，取最小值．

6. 用总长为14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5 m，则它的最大容积为________．

答案：1.8 m3

解析：设长方体的宽为x，则长为(x＋0.5)，则高为＝3.2－2x，于是容积V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，求导计算可得最大容积为1.8 m3.

7. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)，这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．

答案：

解析：由条件得，(c－a)2＝(b－c)(b－a)，∴ (c－a)2＝[(b－a)＋(a－c)](b－a)，由c＝a＋x(b－a)，∴ b－a＝，

∴ (c－a)2＝，由题意，c－a≠0，∴ 1＝·，即x2＋x－1＝0，∴ x＝.

8. 如图，线段EF的长度为1，端点E、F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则lS的最大值为________．

答案：

解析：设正方形的边长为a(a≥1)，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点G的轨迹是由半径均为的四段圆弧、长度均为a－1的四条线段围成的封闭图形，周长l＝π＋4(a－1)，面积S＝a2－π，所以l－S＝－a2＋4a＋π－4，a≥1，由二次函数知识得当a＝2时，l－S取得最大值.

9. 渔场中鲜鱼的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)(空闲率：空闲量与最大养殖量的比值)．

(1) 写出y关于x的函数关系式，并求其定义域；

(2) 求鱼群年增长量的最大值；

(3) 当鱼群的年增长量达到最大时，求k的取值范围．

解：(1) y＝kx·＝kx(0≤x．

(2) y＝－＋，当x＝时，y取到最大值ymax＝，即鱼群年增长量的最大值为.

(3) 由题意，0≤x＋y，则有0≤＋，解得－2≤k<2，但k>0，所以0

10. 在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克，1≤5)满足：当1≤3时，y＝a(x－3)2＋(a、b为常数)；当3≤5时，y＝－70x＋490.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．

(1) 求a、b的值，并确定y关于x的函数解析式；

(2) 若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克)．

解：(1) 因为x＝2时，y＝700；x＝3时，y＝150，

所以解得a＝400，b＝300.

每日的销售量y＝

(2) 由(1)知， ① 当1≤3时，每日销售利润f(x)＝(x－1)＝400·(x－3)2(x－1)＋300＝400(x3－7x2＋15x－9)＋300(1≤3)．

由f′(x)＝400(3x2－14x＋15)，

令f′(x)＝0，得x＝或x＝3.

且当x∈时f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈时f′(x)<0，f(x)单调递减．

所以，x＝是函数f(x)在(1，3]上的唯一极大值点，f＝400×＋300>700；

② 当3≤5时，每日销售利润f(x)＝(－70x＋490)(x－1)＝－70(x2－8x＋7)，f(x)在x＝4有最大值，

且f(4)＝630.

综上，销售价格x＝≈1.67元/千克时，每日利润最大．

11. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10～1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.现有两个奖励方案的函数模型：

(1) y＝＋2；(2) y＝4lgx－3.

试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由．

解：设奖励函数模型为y＝f(x)，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：当x∈[10，1 000]时，

① f(x)是增函数；

② f(x)≤9恒成立；

③ f(x)≤x恒成立.

① 对于函数模型f(x)＝＋2：

当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，

则f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2<9.

所以f(x)≤9恒成立．

因为函数＝＋在[10，1 000]上是减函数，

所以＝＋>.从而f(x)≤x不恒成立．

故该函数模型不符合公司要求．

② 对于函数模型f(x)＝4lgx－3：

当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，

则f(x)max＝f(1 000)＝4lg1 000－3＝9.

所以f(x)≤9恒成立．

设g(x)＝4lgx－3－，则g′(x)＝－.

当x≥10时，g′(x)＝－≤＝<0，

所以g(x)在[10，1 000]上是减函数，

从而g(x)≤g(10)＝－1＜0，所以4lgx－3－＜0，

即4lgx－3＜，所以f(x)≤x恒成立．

故该函数模型符合公司要求．