2016年浙江省杭州市中考数学试卷

一、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．计算： =（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（　　）

（第2题图）

A． B． C． D．1

3．下列选项，如图的圆柱的三视图画法正确的是（　　）

（第3题图）

A B C D

4．如图是某市2016年四月每日的最低气温（℃）的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是（　　）

（第4题图）

A．14℃，14℃ B．15℃，15℃ C．14℃，15℃ D．15℃，14℃

5．下列各式变形，正确的是（　　）

A．x2 • x3=x6 B． =|x|

C．（x2-）÷x=x-1 D．x2-x+1=（x-）2+

6．已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（　　）

A．518=2（106+x） B．518-x=2×106

C．518-x=2（106+x） D．518+x=2（106-x）

7．设函数y=（k≠0，x>0）的图像如图，若z=，则z关于x的函数图像可能为（　　）

（第7题图）

A B C D

8．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与点A，C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　）

（第8题图）

A．DE=EB B. DE=EB C. DE=DO D．DE=OB

9．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m<n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　）

A．m2+2mn+n2=0 B．m2-2mn+n2=0

C．m2+2mn-n2=0 D．m2-2mn-n2=0

10．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2-（a-b）2，则有下列结论：

①若a@b=0，则a=0或b=0；

②a@（b+c）=a@b+a@c；

③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2；

④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．

其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11．tan 60°=　 　．

12．已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是　 　．

（第12题图）

13．若整式x2+ky2（k为不等于0的常数）能在有理数范围内分解因式，则k的值可以

是　 　（写出一个即可）．

14．在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为　 　．

15．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为　 　．

16．已知关于x的方程=m的解满足（0<n<3），若y>1，则m的取值范围是　 　．

三、解答题（本题共7小题，共66分）

17．（6分）计算6÷（-+），方方同学的计算过程如下，原式=6÷（-）+6÷=-12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．

18.（8分）某汽车厂去年每个季度汽车销售数量（辆）占当季汽车产量（辆）百分比的统计图如图．根据统计图回答下列问题：

（1）若第一季度的汽车销售量为2100辆，求该季的汽车产量．

（2）圆圆同学说：“因为第二，第三这两个季度汽车销售数量占当季汽车产量是从75%降到50%，所以第二季度的汽车产量一定高于第三季度的汽车产量”，你觉得圆圆说的对吗？为什么？

（第18题图）

19．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．

（1）求证：△ADF∽△ACG．

（2）若，求的值．

（第19题图）

20．（10分）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t-5t2（0≤t≤4）．

（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；

（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t；

（3）若存在实数t1，t2（t1≠t2），当t=t1或t=t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．

21．（10分）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H．求：

（1）sin∠EAC的值；

（2）线段AH的长．

（第21题图）

22．（12分）已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数y1的图像过点（-1，0），函数y2的图像过点（1，2），求a，b的值．

（2）若函数y2的图像经过y1的顶点．

①求证：2a+b=0．

②当1<x<时，比较y1，y2的大小．

23．（12分）在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C，且∠ACB=60°时，有以下两个结论：

①∠APB=120°；②AF+BE=AB．

那么，当AM∥BN时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明．

（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32，求AQ的长．

（第23题图）

参考答案　

一、1．B

2．B 【分析】∵a∥b∥c， =，∴．故选B．

3．A 【分析】该圆柱体的主视图、俯视图均为矩形，左视图为圆．故选A．

4．A 【分析】由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，为14℃，所以众数是14℃； 因为图中温度是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是14℃，14℃，所以中位数是14℃．故选A．

5．B 【分析】A．x2 • x3 = x5，故错误；B． =|x|，故正确；C．（x2-）÷x=x-，故错误；D．x2-x+1=（x-）2+，故错误．故选B．

6．C 【分析】设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则518-x=2（106+x）．故选C．

7．D 【分析】∵y=（k≠0，x>0），∴z===（k≠0，x>0）．∵反比例函数y=（k≠0，x>0）的图像在第一象限，∴k>0，∴>0．∴z关于x的函数图像在第一象限，且不包括原点的正比例的函数图像．故选D．

8．D 【分析】如答图，连接EO．∵OB=OE，∴∠B=∠OEB．∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，∴∠B+∠D=3∠D，∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，∴∠DOE=∠D，∴ED=EO= OB．故选D．

（第8题答图）

9．C 【分析】由答图可知，m2+m2=（n-m）2，2m2=n2-2mn+m2，m2+2mn-n2=0．故选C．

（第9题答图）　

10．C 【分析】①根据题意，得a@b=（a+b）2-（a-b）2，∴（a+b）2-（a-b）2=0，整理得（a+b+a-b）（a+b-a+b）=0，即4ab=0，解得a=0或b=0，故正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2-（a-b-c）2=4ab+4ac，a@b+a@c=（a+b）2-（a-b）2+（a+c）2-（a-c）2 = 4ab +4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c，故正确；③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2-（a-b）2，令a2+

5b2=（a+b）2-（a-b）2，解得a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2-（a-b）2=4ab，（a-

b）2≥0，∴a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得a=b，∴当a@b最大时，a=b，故④正确．故选C．

二、11．

12． 【分析】因为棕色所占的百分比为1-20%-15%-30%-15%=20%，所以

P（绿色或棕色）=30%+20%=50%=．

13．-1（答案不唯一） 【分析】令k=-1，得整式为x2-y2=（x+y）（x-y）．

14． 105°或45° 【分析】如答图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，∠ABC=∠ADC=150°，∴∠DBA=∠DBC=75°．∵ED=EB，∠DEB=120°，∴∠EBD=∠EDB= 30°，∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°．当点E′ 在BD右侧时，∵∠DBE′ =30°，∴∠E′BC=

∠DBC -∠DBE′=45°，∴∠EBC=105°或∠EBC=45°．

（第14题答图）　　

15．（-5，-3） 【分析】如答图．∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，∴点D的坐标为（5，3），∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为（-5，-3）．

（第15题答图）

16． <m< 【分析】解方程组得∵y>1，∴2n-1>1，得n>1．

又∵0<n<3，∴1<n<3．∵n=x-2，∴1<x-2<3，得3<x<5，∴<<，∴<<．

又∵=m，∴<m<．　

三、17．解：方方的计算过程不正确．

正确的计算过程如下：

原式=6÷（-+）

=6÷（-）

=6×（-6）

=-36．

18．解：（1）由题意可知，2 100÷70%=3 000（辆），

即该季的汽车产量是3 000辆．

（2）圆圆的说法不对.理由如下：

因为百分比仅能够表示所要考查的数据在总量中所占的比例，并不能反映总量的大小．

19．（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，

∴∠ADF=∠C．

又∵，∴△ADF∽△ACG．

（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴．

又∵=，∴=，

∴=1．

20．解：（1）当t=3时，h=20t-5t2=20×3-5×9=15（米），

∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米．

（2）∵h=10，∴20t-5t2=10，即t2-4t+2=0，

解得t=2+或t=2-．

（3）∵m≥0，t1，t2是方程20t-5t2=m 的两个不相等的实数根，

∴b2-4ac=202-20m>0，∴m<20．

故m的取值范围是0≤m<20．

21．解：（1）如答图，过点E作EM⊥AC于点M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，AD=DC=3，∠DCA=45°．

在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°，AD=3，DE=1，

∴AE==．

在Rt△EMC中，∵∠EMC=90°，∠ECM=45°，EC=2，

∴EM=CM=．

∴在Rt△AEM中，sin∠EAM=．

（2）在△GDC和△EDA中，

∴△GDC≌△EDA，

∴∠GCD=∠EAD，GC=AE=．

∵∠DAE+∠AED=90°，∠DEA=∠CEH，

∴∠DCG+∠HEC=90°，

∴∠EHC=90°，即AH⊥GC．

∵S△AGC =AG • DC=GC • AH，

∴×4×3=××AH，

∴AH=．

（第21题答图）　　

22．（1）解：由题意，得解得

故a，b的值分别是1,1．

（2）①证明：∵y1=ax2+bx=a（x+）2 -，

∴函数y1的顶点为（-，-）．

∵函数y2的图像经过y1的顶点，

∴-=a（-）+b，即b=-．

∵ab≠0，∴-b=2a，即2a+b=0．

②解：∵b=-2a，

∴y1=ax2-2ax=ax（x-2），y2=ax-2a，

∴y1-y2=a（x-2）（x-1）．

∵1<x<，

∴x-2<0，x-1>0，∴（x-2）（x-1）<0．

当a>0时，a（x-2）（x-1）<0，即y1<y2；

当a<0时，a（x-2）（x-1）>0，即y1>y2．　

23．解：（1）原结论不成立.新结论为∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB等）．理由如下：

∵AM∥BN，∴∠MAB+∠NBA=180°．

∵AE，BF分别平分∠MAB，∠NBA，

∴∠EAB=∠MAB，∠FBA=∠NBA，

∴∠EAB+∠FBA=（∠MAB+∠NBA）=90°，

∴∠APB=90°．

∵AE平分∠MAB，∴∠MAE=∠BAE．

∵AM∥BN，∴∠MAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE．

同理可得，AF=AB．

∴AF=BE=AB（或AF+BE=2AB）．

（2）如答图①，过点F作FG⊥AB于点G．

∵AF=BE，AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AF+BE=16，∴AB=AF=BE=8．

∵32=8×FG，∴FG=4．

在Rt△FAG中，AF=8，∴∠FAG=60°．

当点G在线段AB上时，∠FAB=60°；

当点G在线段BA的延长线上时，∠FAB=120°．

①当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，

∴PB=4，PA=4．

∵BQ=5，∠BPA=90°，∴PQ=3，

∴AQ=4-3或AQ=4+3．

②如答图②，当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°，

∴PB=4．

∵PB=4>5，

∴线段AE上不存在符合条件的点Q，

∴当∠FAB=60°时，AQ=4-3或4+3．

① ②

（第23题答图）