黄山市普通高中2019届高三“八校联考”

数学（ 理科 ）试题

注意事项：

1． 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．

2． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在相应的位置．

3． 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．请在答题卡上答题.）

1．设集合,，则（ ）

（A） （B） （C） （D）

2．已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是（ ）

（A） 　 （B） 　　（C）　　（D）

3．“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

4．已知，则(　　)

（A） 1 　 （B） 　 （C） （D）

5．若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

(A)若，则

(B)若，则

(C)若，则

(D)若，则

6．下列命题正确的个数是（ ）

已知点在圆外， 则直线与圆没有公共点．

命题“”的否定是“” ．

已知随机变量服从正态分布，，则．

实数满足约束条件，则目标函数的最小值为1．

（A）个 （B）个 （C）个 （D）个

7．函数的图象大致为（ ）

8．等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前项和为（　　）

（A） （B） （C） （D）

9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）

（A） （B） （C） （D）

10．某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为（ ）

（A） （B）

（C） （D）

11．已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点和另一个点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（ ）

(A) (B) (C) ( D)

12．已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )

（A） （B） （C） （D）

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题.）

13．一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：,，,，，从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是 ．

14．二项式的展开式中的系数为，则________．

15．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边　交于，若，，则的最小值是________．

16．不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．

三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（一）必考题：60分。

17．在中，角，，的对边分别为，，，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前项和．

18．如图，在空间四面体中，⊥平面, ,且．

（Ⅰ）证明:平面⊥平面；

（Ⅱ）求四面体体积的最大值，并求此时二面角　　　　

的余弦值．

19．2018年7月24日，长春长生生物科技有限责任公司先被查出狂犬病疫苗生产记录造假，后又被测出百白破疫苗“效价测定”项不符合规定, 由此引发的疫苗事件牵动了无数中国人的心．疫苗直接用于健康人群，尤其是新生儿和青少年,与人民的健康联系紧密．因此，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：

现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．

（Ⅰ）求2×2列联表中的数据的值；

（Ⅱ）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？

（）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取三只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为，求的分布列和数学期望．

附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若是椭圆上不重合的四点，与相交于点，，且，求此时直线的方程．

21．已知函数

（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程是，求实数的值；

（Ⅱ）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线关于极点对称．

（Ⅰ）以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）设为曲线上一动点,记到直线与直线的距离分别为,，求+的最小值．

23．已知函数，

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若存在满足，求实数的取值范围．

黄山市普通高中2019届高三“八校联考”

数学（ 理科 ）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

13. 14. 15. 16.

三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解：（Ⅰ）由 得 …………………2分

，所以

又 …………………6分

（Ⅱ）设的公差为，由得，且，

∴．又，∴，∴．…………………8分

∴ …………………10分

∴ ……………12分

18.解：（Ⅰ），

故 即 ……………3分

又

由、得

故有平面⊥平面 ……………5分

（Ⅱ）设，则

四面体的体积

，故在单增，在单减

易知时四面体的体积最大，且最大值是 ………8分

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系

则

设平面的法向量为 则由

取，得平面的一个法向量为 ………10分

同理可得平面的一个法向量

由于是锐二面角，故所求二面角的余弦值为 …………12分

19.解：（Ⅰ）设“从所有试验小白鼠中任取一只，取到‘注射疫苗’小白鼠”为事件A，

由已知得，所以……4分

（Ⅱ）

所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效. …………8分

（III）由已知的取值为

…………10分

的分布列为

数学期望 …………12分

20. 解：（Ⅰ）由题意知，当点是椭圆上、下顶点时，面积取得最大值

此时，是，又 ………2分

解得，所求椭圆的方程为 --------- 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由得，

①当直线与有一条直线的斜率不存在时，，不合题意

②当直线的斜率为（存在且不为0）时，其方程为

由消去得 ………6分

设 则

所以 ………8分

直线的方程为，同理可得 ……9分

由解得

故所求直线的方程为 ……12分

21.解: （Ⅰ）因为，所以

因曲线在点处的切线方程是

，又切点为，得

所以 …………4分

（Ⅱ），，所以时，恒成立

故函数在上单调递增 …………6分

不妨设，则可化为

设

则，即在是减函数 …………8分

即在上恒成立，等价于在上恒成立

即对任意恒成立 …………10分

由于在是增函数，故最大值是

故即实数的取值范围是 …………12分

22. 解:（1）设是曲线上任意一点,则关于原点的对称点在曲线上，且，将代入得，

则，即曲线的极坐标方程为。…………………5分

（2）由曲线的极坐标方程为得直角坐标方程为，设，

直线与直线的直角坐标方程分别为，

从而

，

故的最小值为………………10分

23. 解(1)当时，，

由 ，得。

当时，不等式等价于，解得，所以；

当时，等价于，解得，所以无解；

当 时，不等式等价于，解得，所以。故原不等式的解集为 。………………………………5分

（2）

由题意，所以，

解得。………………………………10分