人教版数学八年级下册第十九章　一次函数

教学目标

1.能根据具体问题中的数量关系和变化规律体会一次函数的意义，并根据已知条件确定一次函数的表达式。

2.会画一次函数图象，根据一次函数图象和解析表达式理解其性质。

3.能运用类比思想比较一次函数和正比例函数的异同点，初步体会数形结合思想，并能运用数形结合的方法解决有关实际问题，并尝试用函数的方法描述有关实际问题，对变量的变化规律进行初步预测。

一、本章知识梳理

1.一般的若（，是常数，且），那么叫做的一次函数，

当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数。

2.正比例函数（）是一次函数的特殊形式,当x=0时，y=0,故正比例函数图像过原点（0,0).

3.一次函数的图像和性质：

说明：（1）与坐标轴交点（0，b）和（-，0）, b的几何意义：_____________________

（2）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（3）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴。

（4）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位可得y=kx+b的图像；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位可得y=kx+b的图像.

4.直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．

①k1≠k2y1与y2相交；

②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；

③y1与y2平行；

④y1与y2重合.

5.一次函数解析式的确定，主要有三种方法：

　　(1)由已知函数推导或推证

　　(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式。

(3)用待定系数法求函数解析式。

二、典例精析

题型一：一次函数的概念

例1.已知函数y=(m-2)+3,当m为何值时，y是x的一次函数？

解析：根据一次函数的定义，x的次数必须为1，系数不为0，即可求出m的值。

练习：1.已知函数y=(m-1)x+m是一次函数，求m的范围。

2.已知函数y=(k-1)x+k-1,当k____________时，它是一次函数，当k__________时，它是正比例函数。

答案：1.m≠1 2. ≠1, -1

题型二：一次函数的图像与性质

例2.对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　）

　 A． 函数值随自变量的增大而减小

　 B． 函数的图象不经过第三象限

　 C． 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象

　 D． 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）

解析：这是探究型题目，考查一次函数的性质；一次函数图象与几何变换。

分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．

答：选D

A．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，∴函数值随x的增大而减小，故本选项正确；

B．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0，∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确；

C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故本选项正确；

D．∵令y=0，则x=2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误．

练习：1.如图，两直线和在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

2.一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（ ）B

（A）y随x的增大而增大 （B）y随x的增大而减小

（C）图像经过原点 （D）图像不经过第二象限

3.如果，，则直线不通过（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

题型三：一次函数解析式和图象的确定

例3.直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

分析：确定一次函数解析式问题，用待定系数法，同时要寻求隐含条件，从而确定k和b的值。

解 ∵点B到x轴的距离为2， 　∴点B的坐标为（0，±2），

　 　设直线的解析式为y=kx±2,

　　 ∵直线过点A（-4，0）， ∴0=-4k±2,

　　 解得：k=±, 　∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.

例4.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（　　）

练习：

1.如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．

（1）求直线AB的解析式

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．

2.周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（　D　）

分析：本题是一次函数的应用题，考查了函数图象，根据题意判断出旗子的高度与时间是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大是解题的关键.

题型四：一次函数的实际应用

例5.随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：

（1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？

（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．

（注：其他费用不计，利润=售价﹣进价）

考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。

分析：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，根据：用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车，列不等式组，求x的取值范围，再求正整数x的值，确定方案；

（2）根据：利润=（售价﹣进价）×辆数，总利润=甲轿车的利润+乙轿车的利润，列出函数关系式，根据x的取值范围求最大利润．

解：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，依题意，得

228≤10.5x+6（30﹣x）≤240，

解得10≤x≤13，∴整数x=11，12，13，

有三种进货方案：购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆；

购进甲款轿车12辆，购进乙款轿车18辆；

购进甲款轿车13辆，购进乙款轿车17辆．

（2）设总利润为W（万元），则W=（11.2﹣10.5）x+（6.8﹣6）（30﹣x）=﹣0.1x+24，

∵﹣0.1＜0，W随x的减小而增大，

∴当x=11时，即购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆，利润最大，

最大利润为W=﹣0.1×11+24=22.9万元．

点评：本题考查了一次函数的应用．关键是明确进价，售价，购进费用，销售利润之间的关系，利用一次函数的增减性求解．

三．师生小结

1.熟悉一次函数的一般形式，会判断一次函数。

2.一次函数的图像和性质是中考重点。

3.用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：一设、二列、三解、四还原。

4.会简单的一次函数应用题：（1）建立函数数学模型的方法;(2)分段函数思想的应用。