7.2 二元一次方程组的解法

第1课时 用代入消元法解二元一次方程组

教学目标

【知识与技能】

1.用代入法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.

3.会用二元一次方程组解决实际问题.

4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.

5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步培养解方程组的能力.

【过程与方法】

通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程,深刻体会到转化的作用,发展学生的抽象思维能力,培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力.

【情感、态度与价值观】

1.了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未知为已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.

2.培养学生合作交流、自主探索的良好习惯.

3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.

4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.

教学重难点

【重点】用代入消元法解二元一次方程组.

【难点】探索用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程.

教学过程

一、创设情境,引入新课

教师出示下列问题:

问题1:篮球联赛中,每场比赛都要分胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?

问题2:在上述问题中,我们也可以设出两个未知数,列出二元一次方程组,那么怎样求解二元一次方程组呢?

二、尝试活动,探索新知

教师引导:

什么是二元一次方程组的解?(方程组中各个方程的公共解)

学生列式计算后回答:

满足方程①的解有:

……

满足方程②的解有:

……

这两个方程的公共解是

教师追问:

这个问题能用一元一次方程来解决吗?

学生思考并列出式子:

设胜x场,负(22-x)场,

解方程:2x+(22-x)=40　③

学生观察并思考:

上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?

教师提问:1.在一元一次方程的解法中,列方程时所用的等量关系是什么?

2.方程组中方程②所表示的等量关系是什么?

3.方程②与③的等量关系相同,那么它们的区别在哪里?

4.怎样使方程②变为只含有一个未知数呢?

结合学生的回答,教师做出讲解:

由方程①进行移项得y=22-x,由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数,故可以把方程②中的y用(22-x)来代换,即得2x+(22-x)=40.这样,二元就化为一元了.

解得x=18.

问题解完了吗?怎样求y?

将x=18代入方程y=22-x,得y=4.

能代入原方程组中的方程①、②来求y吗?代入哪个方程更简便?

这样,二元一次方程组的解就是

教师归纳并板书:

这种通过代入消去一个未知数,使二元方程转化为一元方程,从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法,简称代入法.

三、例题讲解

【例1】　用代入法解方程组x-y=3,3x-8y=14.

本题较简单,直接由学生板演,师生共同评价.

【答案】　把①代入②,得3(y+3)-8y=14.所以y=-1.把y=-1代入①,得x=2.所以

解后反思,教师引导学生思考下列问题:

(1)选择哪个方程代入另一方程?其目的是什么?

(2)为什么能代入?

(3)只求出一个未知数的值,方程组就解完了吗?

(4)把已求出的未知数的值代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便?

(5)怎样检验你运算的结果是否正确呢?

(与解一元一次方程一样,需检验.其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算,也可以在草稿纸上验算.)

四、课堂小结

你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些呢?让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结,并能通过总结与归纳,更加清楚地理解代入消元法,体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想.

第2课时　用加减消元法解二元一次方程组

教学目标

【知识与技能】

1.掌握用加减消元法解二元一次方程组.

2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.

3.体验数学学习的乐趣,在探索过程中体验成功的喜悦,增强学好数学的信心.

【过程与方法】

1.通过探索二元一次方程组的解法,了解二元一次方程组的“消元”思想,使学生养成良好的探索习惯.

2.通过对具体实际问题的分析,组织学生自主交流、探索,经历列方程的建模过程,培养学生应用数学的意识.

【情感、态度与价值观】

1.让学生在了解二元一次方程组的“消元”思想以及初步理解“化未知为已知”和“化复杂问题为简单问题”的化归思想的过程中,享受学好数学的乐趣,增强学好数学的信心.

2.使学生养成合作交流、自主探索的良好习惯.

3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.

4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.

教学重难点

【重点】如何用加减法解二元一次方程组.

【难点】如何运用加减法进行消元.

教学过程

一、创设情境,引入新课

教师提出问题:

王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨,共花了14元,李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨,共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁算得快.

教师总结最简便的方法:

抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了1千克的梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.

二、例题讲解

【例1】　解方程组:

分析　在这个方程组中,直接将两个方程相加或相减,都不能消去未知数x或y,怎么办?我们可以对其中一个(或两个)方程进行变形,使得这个方程组中x或y的系数相等或互为相反数,再来求解.

解法一(消去x),将①×2,得8x+2y=28.③

②-③,得y=2.把y=2代入①,得4x+2=14.

x=3.所以

解法二(消去y)　请同学们自己完成.

【例2】　解方程组:4x+2y=-5,5x-3y=-9.

分析　比较方程组中的两个方程,y的系数的绝对值比较小,将①×3,②×2,就可使y的系数绝对值相等,再用加减法即可消去y.

【答案】　①×3,得12x+6y=-15.③

②×2,得10x-6y=-18.④

③+④,得22x=-33,x=-.把x=-代入①,得-6+2y=-5,y=.所以

师生共析:

1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.

第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、合并同类项等,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边、常数项在方程的右边的形式),再作如上加减消元的考虑.

三、课堂小结

本节课我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.请同学们回忆:加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?