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    最新4一元积分学的几何应用与重积分计算-(1)

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    一元微积分的几何综合应用与重积分计算
    一、考试内容
    （一）一元积分学的几何应用
    1、平面图形的面积
    X型区域D{(x,yaxb,g(xyf(x}的面积为Sdxdy[f(xg(x]dx;
    D
    a
    b
    由曲线yf(x,yg(x与直线xa,xba所围图型的面积为Sf(xg(xdx;
    a
    b
    Y型区域D{(x,yg(yxf(y,cyd}的面积为Sdxdy[f(yg(y]dy;
    D
    c
    d
    由曲线xf(y,xg(y与直线yc,ydc所围图型的面积为Sf(yg(ydy;
    c
    d
    型区域D{(,,g(f(}的面积为Sdd
    D
    122
    [f(g(]d;2
    b
    2、旋转体体积
    X型区域D{(x,yaxb,0g(xyf(x}绕x轴旋转一周的Vx=[f2(xg2(x]dx;
    a
    yf(x0,yg(x0,xa,xba所围图形绕x轴旋转一周的Vx=f2(xg2(xdx;
    a
    b
    Y型区域D{(x,y0g(yxf(y,cyd}绕y轴旋转一周的Vy=[f2(yg2(y]dy;
    c
    d
    xf(y0,xg(y0,yc,ydc所围图形绕y轴旋转一周的Vy=f2(yg2(ydy;
    c
    d
    X型区域D{(x,y0axb,g(xyf(x}绕y轴旋转一周的Vy=2x[f(xg(x]dx;
    a
    b
    yf(x,yg(x,xa,xba0所围图形绕y轴旋转一周生成的Vy=2xf(xg(xdx;
    a
    b
    Y型区域D{(x,yg(yxf(y,0cyd}绕x轴旋转一周的Vx=2y[f(yg(y]dy;
    c
    d
    xf(y,xg(y,yc,ydc0所围图形绕x轴旋转一周的Vx=2yf(yg(ydy;
    c
    d
    D{(x,yaxb,kg(xyf(x}绕yk旋转一周的V={[f(xk]2[g(xk]2}dx;
    a
    b
    yf(xk,yg(xk,xa,xba所围图形绕yk旋转一周的V=[f(xk]2[g(xk]2dx;
    a
    b
    D{(x,ykaxb,g(xyf(x}绕xk旋转一周的V=2(xk[f(xg(x]dx;
    a
    b
    注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示x,y
    3、曲线的弧长
    L:xf(t,yg(t,t[a,b]的弧长Lt=ds
    L
    ba
    f'2(tg'2(tdt;
    L:f(,[,]的弧长L=ds
    L


    f2(f'2(d;
    b
    4、旋转体的侧面积
    L:yf(x0,x[a,b]绕x轴旋转一周的侧面积Sx=2f(xds2f(x1f'2(xdx;
    L
    a
    D{(x,yaxb,0g(xyf(x}绕x轴旋转一周的Sx=2
    yf(x
    f(xds
    yg(x
    g(xds
    2[f(x1f'2(xg(x1g'2(x]dx
    a
    b


    （二）重积分计算法则
    1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：
    （1）当积分域D对称于x轴时，令D是D关于x轴某一侧的部分，则有
    2f(x,yd,若f(x,yf(x,y关于y为偶f(x,ydD'
    连续D若f(x,yf(x,y关于y为奇0,
    上述性质可类似地应用于关于y轴的对称性与函数关于x的奇偶性
    f(x,y
    （3）当积分域关于原点对称时，若f(x,yf(x,y，则有（4）若将x,y互换，积分域D不变，（D关于yx对称）则
    f(x,yd0.
    D
    
    D
    f(x,ydf(y,xd
    D
    1
    [f(x,yf(y,x]d（轮换性）2D
    2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：
    （1）当积分域对称于xoy面时，令'是关于xoy面某一侧的部分，则有
    f(x,y,zdv

    f(x,y,z连续
    2f(x,y,zdv,若f(x,y,zf(x,y,z关于z为偶'0,若f(x,y,zf(x,y,z关于y为奇
    上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性
    （2）若将x,y,z互换，积分域不变，则
    f(x,y,zdvf(x,z,ydvf(y,z,xdv



    （轮换性）
    3、记忆重积分的算法
    对X型区域D{(x,yaxb,g(xyh(x}，对Y型区域D{(x,yg(yxh(y,cyd}，
    
    D
    f(x,yddx
    a
    bh(xg(x
    f(x,ydy
    
    D
    f(x,yddy
    c
    h(g(
    dh(yg(y
    f(x,ydx
    对型区域D{(,,g(h(}，
    
    D
    f(x,ydf(cos,sinddd

    特别地，


    df(cos,sinddf(cos,sind
    r1
    r1
    Dr2

    f(cos,sind
    r2


    对（疑似）柱体区域{(x,y,z(x,yD,g(x,yzh(x,y}，D为在xoy面的投影则
    f(x,y,zdvdxdy

    D
    h(x,yg(x,y
    f(x,y,zdz，此为先二后一法
    对则
    F(y,z0
    绕z轴（azb）的旋转体区域，Dz为在z处的横截面区域，
    x0
    

    f(x,y,zdvdzf(x,y,zdxdy，此为先一后二法
    a
    Dz
    b
    特别地，截面面积为已知的立体体积V=

    ba
    A(xdxdxdydzdv
    a
    D(x

    b
    对由球面与锥面所围成的区域，可利用球坐标法计算：

    f(x,y,zdvf(rsincos,rsinsin,rcosr


    2
    sindrdd
    二、一元微积分的几何综合应用典型例题
    例1、f(x是奇函数，除x0外处处连续，x0是其第一类间断点，则
    ftdt是（B）
    0x
    （A）连续奇函数（B）连续偶函数（C）在x=0间断的奇函数（D）在x=0间断的偶函数例2、如图，fx在[0,a]上有连续的导数，则定积分

    a
    0
    xfxdx(
    （A）曲边梯形ABOD面积（B）梯形ABOD面积
    （C）曲边三角形ACD面积（D）三角形ACD面积例3、设D是由曲线y
    3

    x，直线xa(a0及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是
    a0
    D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10VxVy，则a77．提示：Vx

    a0
    ydx3a
    253
    5，Vy2

    xf(xdx6a737．
    例4、求曲线y

    1x2
    x
    8
    sintdt的全长S.
    32
    解：2x3，而y(xsinxS例5、设f(x
    10
    1y'2dy4.

    edt，求其所示曲线与直线x1及x轴，y轴围成的区域绕y轴旋转
    1
    1
    t2
    一周生成的旋转体体积V．解：V2
    2
    xf(xdxf(xdx2[x2f(x]10xdf(x
    0
    0

    2
    (1e1．
    例6、求曲线r4(1cos和0,解：Sd
    D

    2
    20
    所围图形的面积S及其绕极轴旋转一周的Vx.
    2
    0
    d
    2
    4(1cos
    0
    rdr8
    (1cos2d616
    10
    Vxydxrsindrcos
    0
    8
    2
    0
    2
    tcos
    2


    (1t2(1t2(12tdt160.
    例7、某曲线以极坐标可表示为1(3，
    则其在(,(1,0处的切线的直角坐标方程为x3y30.则其斜渐近线的直角坐标方程为y例8、已知抛物线y
    3x23.（注意仅3时，x）
    x上任一点M(x,y处的曲率半径为(x，s(x是该抛物线上介
    d2(xd(x2
    []．于点A(1,1与M之间的弧长，求3(x2
    ds(xds(x
    3
    xx1[1y'(x]1
    解：(x(4x12，s(x1y'2(xdx1dx
    114xy''(x2
    2
    3
    2

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