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银川市2019年普通高中教学质量检测

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数在复平面内对应的点为，则 B

A. B. C. D.

2.已知集合，集合，则集合中元素的个数为B

A. B. C. D.

3.已知是定义在上奇函数，当时，，则A

A. B. C. D.

4.双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的

离心率为C

A． B． C． D．

5.已知平面平面，，，则是的A

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.执行如右图所示的程序框图，若输出的，则输入的值

可以为D

A. B. C. D.

7.已知等比数列的公比为，，，且， 则其前项的和为C

A. B. C. D.

8.已知是边长为的等边三角形，为的的中点，

且 ，则D

A. B. C. D.

9.根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为 A

A. B. C. D.

10.已知实数满足，则的最大值为B

A. B. C. D.

11.将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则在下列那个区间上单调递减C

A. B. C. D.

12.已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为B

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.函数在处切线方程是_____y=x_____．

14.已知是抛物线上一动点，定点，过点作于点，则的最小值是 2 　

15.设是数列的前项和，点（）在直线上，则数列的前项和为

16.已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为，则球的表面积为

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在平面四边形中，已知, , .

（1）若,求的面积；

（2）若，,求的长．

【解析】：（1）在中，

, 解得

（2）

在中，,

18．（本小题满分12分）

在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为人，非示范性高中参加考试学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机抽取人，调查语文和数学两科成绩的关系.

（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；

（2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布

直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；

(3)如果规定成绩不低于分为特别优秀，现已知语文

特别优秀占样本人数的，语文、数学两科都特别优秀

的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析

是否有的把握认为语文特别优秀的同学，数学也

特别优秀.

参考数据：①

②

【解析】：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，

由题意，从示范性高中抽取人

从非师范性高中抽取人

（2）由频率分布直方图估算样本平均分为

推测估计本次检测全市学生数学平均分为

（3）由题意，语文特别优秀学生有人 ，数学特别优秀的学生有人

因为语文、数学都特别优秀的共有人，故列联表如下：

所以有的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀

19.（本小题满分12分）

已知点，点分别为椭圆的左右顶点，直线交于点，是等腰直角三角形，且．

（1）求的方程；

（2）设过点的动直线与相交于两点，为坐标原点.当为直角时，求直线的斜率.

【解析】：（1）由题意题意△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），

设Q（x0，y0），由，则，

代入椭圆方程，解得b2=1，∴椭圆方程为.

（2）由题意可知，直线l的斜率存在，令l的方程为y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），

则整理得：(1+4k2)x2+16kx+12=0，

由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，

即(16k)2﹣4×12×(1+4k2)＞0，解得.

由韦达定理可知：.

当∠MON能为直角时，，即，

则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)

=（1+k2）x1x2+2k(x1+x2)+4,

解得k2=4，即.

综上可知，存在直线l的斜率，使∠MON为直角．

20.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，,点是侧棱的上一点．

（1）证明：当点是的中点时，；

（2）若二面角的余弦值为，求的长．

【解析】：（1）由题意: ,

又，,且

同理

(2)以为坐标原点，分别以为建立空间直角坐标系

设，则，，

由条件易知，故取为平面的法向量

设平面的法向量为，则

，

，令

，解得，即

21.（本小题满分12分）

已知函数在处取得极小值.

（1）求实数的值；

（2）设，讨论函数的零点个数.

【解析】：(1)函数的定义域为，

函数在处取得极小值

解得

当时，，则时，，

当时，0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_4'>

在上单调递减，在上单调递增

时，函数取得极小值，

(2)由（1）知，函数

定义域为，

令，令0,得x>\sqrt{e}' altImg='ceb80d28c14efad24c919d364f059f63.png' w='153' h='29' class='_4'>

在上单调递减，在上单调递增，

当时，函数取得最小值

当时，函数没有零点；

当时，函数有一个零点；

当时，

存在，使在上有一个零点

设，则，

当时，在上单调递减

，即当时，

当时，

取，则

存在，使得

在上有一个零点

在上有两个零点

综上可得，当时，函数没有零点；

当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点；

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为.

(1)求的极坐标方程；

(2)设点的极坐标为，求面积的最小值.

【解析】：（1）∵曲线的参数方程为（α为参数），

∴曲线的普通方程为

∴曲线的极坐标方程为，

设点的极坐标为,点的极坐标为

则,,，

∵,,

，

∴的极坐标方程为．

（2）由题设知,

当时，取得最小值为．

23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数的最小值为．

(1)求实数的值；

(2)若，设且满足，

求证．

【解析】：（1）

显然，在

（2）

由于

当且仅当，即当时取

故