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中等数学　２０　１　６年北京市中学生数学竞赛复赛（高一）　中图分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　一、填空题（每小题８分，共４０分）　１．记自然数　的数字和为Ｓ（　）．则方程　＋．ｓ（　）＋ｓ（ｓ（ｘ））＋｜ｓ（Ｊｓ（Ｊｓ（　）））＝２　０１６　的解集为——．　２．如图１，ｏＤ与正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、　ＡＤ分别切于点　、　，与边ＢＣ交于点　、Ｐ，　ＢＭ：８厘米，ＭＣ＝１７厘米．则ｏ　０的面积为　——平方厘米．　幽１　３．记［　］表示不超过实数　的最大整　数．设Ａ＝【吾】＋【菩】＋…＋【　】．则　除　以５０的余数为一　４．如图２，　与Ｏ０切于点　，ＰＣ与ｏ０　交于点日、Ｃ，ＰＯ与ｏ０交于点Ｄ，　上ＰＯ　于点Ｅ联结ＢＥ并延长，与ｏ０交于点Ｆ，联　结ＯＣ、ＯＦ、ＡＤ、Ａ　若　ＢＣＯ：３０。，　ＢＦＯ　＝２０。，则　ＤＡＦ的度数为　Ｐ　图２　文章编号：１００５—６４１６（２０１７）０８—００２４—０４　５．设　）为２　０１４次的多项式，使得　）＝丢（　＝１，２，…，２　０１５）．　则　２　０１６）＝　二、（１Ｏ分）如图３，点Ｃ在线段ＡＢ上，　分别以ＡＢ、ＡＣ、ＣＢ为直径作半圆ｏ０、半圆　ＯＤ　半圆００：，形成的阴影图形称作“皮匠　刀形”，过点ｃ作ＡＢ的垂线与半圆ｏ０交于　点Ｄ，半圆ｏ０　、半圆６）ｏ　的外公切线为ＥＦ．　证明：ＣＤ＝ＥＦ．　０ｌ　０　Ｃ　０２　图３　三、（１Ｏ分）黑板上写有方程　＋２ｘ￣－＋３（★＋★）＝Ｏ．　证明：任取三个两两不同的整数能适当　安放在方程的★的位置（每颗星安放一个　数），使得方程有实根．　四、（１Ｏ分）若／＂ｂ为自然数，证明：　２　０１６　Ｉ（（　＋　）　一（　一／＇ｔ）　）（ｎ　一１）．　五、（１５分）如图４，在锐角△ＡＢＣ中，垂　心　关于边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的对称点分别为Ⅳ１、　Ⅳ２、Ⅳ３，关于边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的中点　、　的对称点分别为Ｄ。、Ｄ：、Ｄ，．证明：　（１）Ⅳ１、Ⅳ２、Ⅳ３、Ｄ。、Ｄ：、Ｄ３六点共圆；　（２）Ｓ△Ｄ　Ｄ２　：Ｓ　ｃ；　（３）Ｊｓ△Ⅳ。Ⅳ２Ⅳ３＝４ＳＡｎ，Ｈ２　．　
２０１７年第８期　Ａ　３　／　／　幽４　六、（１５分）由口０＝０１＝１，０　＋２＝０　＋　０　＋。（ｎ＝Ｏ，１，…）给出的数列是著名的斐波　那契数列：　１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，…，　其中的每一个数均称为斐波那契数．证明：存　在末尾是三个０的斐波那契数．　参考答案　一、１．｛１　９８０｝．　易知，　＜２　０１６．　注意到，小于２　０１６的自然数中的数字　和最大为２８，例如，Ｓ（１　９９９）＝２８，这表明，　Ｓ（ｘ）≤２８．　进一步，Ｓ（Ｓ（　））≤Ｓ（１９）＝１０．　最后，Ｓ（｜ｓ（Ｓ（　）））≤９．　由方程得　＝２　０１６一Ｓ（　）一Ｓ（Ｓ（　））一ｓ（ｓ（ｓ（ｘ）））　≥２　０１６—２８—１０—９＝１　９６９．　故　∈｛１　９６９，１　９７０，…，２　０１５｝．　又ｘ，Ｓ（　）、５（Ｓ（　））、．ｓ（ｓ（．ｓ（戈）））除以　９的余数相同，而２　０１６除以９的余数为０，　从而，每个数除以９的余数为０．　于是，　只能取１　９７１、１　９８０、１　９８９、　１　９９８、２　００７．　经检验，只有１　９８０＋１８＋９＋９＝２　０１６．　因此，方程的解集为｛１　９８０｝．　２．１６９兀　如图５，联结ｏＯ的半径ＯＫ、ＯＬ、ＯＭ，记　半径为ｒ，作ＭＮ上ＯＬ于点Ⅳ．　图５　则ＯＮ＝ｒ一８．　又ＢＣ＝ＢＭ＋ＭＣ＝２５，故　ＭＮ＝ＢＬ＝２５一ｒ－　在Ｒｔ△ＯＮＭ中，由勾股定理得　。ｒ＝（２５一ｒ）　＋（ｒ一８）　７．。＝１３，ｒ２＝５３（不合题意）．　故ＯＤ的面积为１６９７ｒ平方厘米．　３．４２．　因为午、　均不是整数，且　等＋　＝７　，　所以，对于任意的ｋ∈Ｚ＋，均有　【　］＋　＝７２ｋ－１－１　－７（一１）　一１（ｍｏｄ　５０）．　贝０　Ａ－－－７（１—１＋１—１＋…＋１—１）一１　００８　＝－４２（ｍｏｄ　５０）．　４．１１５。．　联结ＯＡ、ＣＤ、ＣＦ．　因为　与ｏ０切于点Ａ，所以，　上　．　由ＡＥ上ＰＯ　ＰＡ　＝ＰＥ・ＰＯ．　又ＰＡ　＝ＰＢ・ＰＣ，则　ＰＥ・尸０＝ＰＢ・ＰＣ　Ｃ、Ｂ、Ｅ、０四点共圆　ＦＥＯ＝　ＢＣＯ＝３０。．　又／ＢＦＯ＝２０。，故　／ＥＯＦ＝１３０。　ＦＣＤ＝６５。　／ＤＡＦ＝１８０。一　ＦＣＤ＝１１５Ｏ．　５１　—・１　０—０８。　
构造函数ｇ（　）＝ｘｆ（ｘ）一１．　则ｇ（１）＝ｇ（２）＝…＝ｇ（２　０１５）：０．　故ｇ（　）