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国内外大学数学的对比及思考

时间：2013-03-18 20:43:50 下载该word文档

国内外大学数学的对比及思考

刘学彦

( 华东理工大学，信息科学与工程学院，自动化，10101362)

摘要: 中国的的留学生到了国外都是一等的数学高手，这很值得我们骄傲，但反观我国的顶尖数学人才却屈指可数，少得可怜。这不禁带给我们对国内数学教育一个大大的问号。如今高等数学的教育意义重大，我们必须想办法提高数学这门技术武器。中外大学的数学教育有着不同的体系和历史背景, 比较并了解它们, 会对中国大学数学教育具有借鉴和改进的积极意义。综述中外大学数学教育的各自发展历程和自身特点以及不同的体系,分析、介绍它们的异同,得出结论我们有好多地方只得向国外学习，最后再从数学史、数学脉络和数学思想三个方面, 对中国大学数学教育提出建议。

关键词:顶尖人才；创造力；数学史；数学脉络；数学思想

（一）高等数学教育的重要意义

在新的世纪，无论在发达国家还是在发展中国家，各国都将出现普及高等教育的一种强有力的趋势，而大学数学教育是高等教育的一个重要组成部分，这是因为它是各门学科的基础和工具，数学在自然科学、工程技术、国防、国民经济，甚至社会科学中起着越来越重要的作用。天文学、力学、物理学等与数学紧密联系的历史源远流长。航天、航空、航海、原子能利用，资源与能源的探测与开发，各种过程的自动控制与调节等技术领域都离不开数学这一基本工具。化学、生物、医学近年来也都利用到了高深的数学工具。甚至像语言学、心理学、经济学、管理科学、人口问题等人文科学领域和社会科学领域也都要建立数学模型，用数学的知识分析与计算，去预测发展并研究其控制与调节。数学的应用范围急剧扩展，大量实用的新兴的数学方法正在被有效地用于科学研究、工农业生产、行政管理甚至人们的日常生活。在这种状况下我们不仅要培养数学家和科学家，并且还要提高我们所有的人的数学素质。

数学教育本质是一种素质教育，学习数学，不仅要学到许多重要的数学概念、方法和结论，更要学到数学的精神实质和思想方法，如果将数学教学仅仅看成是数学知识的传授（特别是那种照本宣科式的传授），那么即使包罗了再多的定理和公式可能仍免不了论为一堆僵死的教条，难以发挥作用，而掌握了数学的思想方法和精神，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。

新世纪的社会主义市场经济要求所培养的人才要具有宽阔的知识面和较强的适应能力，以促进学生从不同层次、不同方向分流。因此，必须对非数学类各专业的学生进行良好的大学数学教育，使他们具有创造性发展高级数学的基础。

总之，数学的教学直接影响到各国的科技发展和学术进步，进而影响到国家的经济，军事等各方面的发展。

（二）国外的数学教育

以下我就以美国和俄罗斯的数学发展史为例展开说明。

俄国十月革命开创了人类历史的新纪元, 前苏联在数学教育上也努力开辟新的天地, 学校成为教育和生产相结合、理论与实际相结合的新型学校。20 世纪20~30 年代, 前苏联几次修订教育计划和课程, 使该国教育得以高速发展。后来, 前苏联的科技迅速发展即奠基于此。1957 年前苏联成功发射了第一颗人造地球卫星, 它震动了西方, 特别是美国人认为自己的大国地位受到了挑战, 立即研究前苏联科技领先的原因。结果认为, 美国技术落后的原因是教育落后, 尤其是数学教育。于是, 美国以立法的形式开始了教育现代化运动。

美国的现代化教育经历了20 世纪60 年代的“新数学”: 强调结构化, 抽象化、公理化和脱离学生的认识水平和生活实际, 教学内容过多过难, 虽然培养了一些数学尖子和人才, 但多数学生没有学懂, 反而成绩下降, 计算能力低下; 另外, 教学内容也严重脱离教师的实际, 降低了教学效果。于是, 美国的现代化教育运动又进入70年代的“回归基础知识”, 重新编写更符合教师、学生实际的教材。到了20 世纪80 年代以后, 美国的现代化教育运动进入完善期注重解决问题, 增加联系生产和生活的内容, 不能片面强调结构化、抽象化和公理化。这样,美国大学数学教育———让学生明白怎么回事, 至于学生今后是否从事数学研究, 则由学生自己选择, 学校教育没有必要强迫学生把那些技术练得炉火纯青, 但一定要了解整体的思想。

前苏联在20 世纪60 年代, 即美国现代化教育的“新数学”时期, 也公布了新的“数学教学大纲”, 进入数学教育现代化的行列, 同样, 经历了强调结构化、抽象化和公理化, 脱离学生的认识水平和生活实际的问题, 并进行了数学教育的改革, 出现了一些通俗教材, 如《数学, 它的内容、方法和意义》等。但是整体还是注重结构化、抽象化和公理化, 一直到现在的俄罗斯的大学数学体系。美国、俄罗斯的数学体系在内容上有些差异, 以《线性代数》为例, 俄罗斯的《线性代数》内容顺序是行列式,矩阵、初等变换、解线性方程组、相似变换、二次型。而美国的《线性代数》内容顺序是以带有实际问题的解线性方程组开始, 由高斯消元法( 初等变换) , 导出矩阵, 以及矩阵的运算和变换, 以及等价、线性空间、线性变换, 最后, 作为矩阵的值, 介绍行列式。美国、俄罗斯的《线性代数》体系非常不同, 相比之下, 美国的教材适合入门, 俄罗斯的教材系统, 适合高年级本科生或研究生。中国大学数学教育主要从建国后开始。20 世纪50 年代, 在当时全面学习前苏联的大背景下, 国内的高等学校大量采用了翻译过来的前苏联教材。这些教材体系严谨, 有效地帮助了青年学生打下扎实的数学基础, 培养了一大批人才。到了20 世纪60 年代, 国内大学数学教材开始自编, 逐步替代了前苏联的教材, 但是很大程度上, 还是保留了前苏联教材的影响。以《高等数学》为例: 中国从20 世纪60 年代后, 使用了几十年樊映川版的教材后, 开始使用同济大学的《高等数学》。樊映川版《高等数学》成书于20 世纪50 年代, 是在引进前苏联工科最高学府的教材基础上改写的,强调数学的工具性, 体系是“论文式结构”: 定义, 引理在前, 定理和推论在后。同济大学的内容在此基础上不断扩充和调整, 而结构体系并没有在本质上突破。

当今世界，美国已经成为这方面的研究中心。在美国如著名的芝加哥大学、哥伦比亚大学、乔治华盛顿大学、麻省理工学院都有教育系。在教育系中，设有数学教育的硕士点与博士点。而数学教育中，有小学数学教育、中学数学教育、大学数学教育。有的大学虽然没有教育系，但在数学系中设有大学数学教育的硕士点、博士点。如孟菲斯大学就是如此。美国的大学关于大学数学教育与教学法的研究具有系统性与科学性，并借助于现代化的科技手段来研究大学数学教育与教学法，强调大力发展计算机教育（CBE），利用计算机施行教学、组织和管理教学以及辅导教学。如芝加哥大学教育系中的数学教育专业设有硕士点与博士点，研究的领域有：数学教学的软件设计、教学内容和教学过程中概念的结构、数学教育与教学法等等。开设的课程除了相应的数学课程以外，还有：高等数学的教学、概率论和统计的数学、线性代数的教学、数学中的概念与理解的技巧、课程理论、数学的分析、教师的教育、数学的历史、数学中的领域实习等，从中我们可以对美国大学的大学数学教育与教学法的研究略见一斑。

（三）我国关于大学数学教育的研究

如今在我国许多高校有些理工类基础课使用的教材，一用就是许多年，改编来改编去，和原版教材区别并不大，无非是纠正一些错误，增减一些内容。如樊映川在60年代编的《高等数学》和目前我们大多数学校用的高等数学教材，无论是内容的份量和安排的顺序上都大致相同。又如北大50年代编的《数学分析》教材和现在各高校用的《数学分析》教材区别也不大。而且不论什么专业，学的都是同样的内容，没有根据各专业的需要适当增减一些内容，对不同的专业采取不同的教学方法，这就是大学数学教育的程度和方法问题。

而美国各大学用的《数学分析》教材与我国的教材就不大相同，而且不同的学校也相差很大，观点也不一样。有的教材一开始就研究n维空间上函数的极限、连续，培养学生的抽象思维能力。在我国，各个大学关于大学数学教育与教学法的研究，基本属于零星的研究。有不少省市都有高等数学教学研究会，每逢两年左右召开一次会，交流在教学方面的研究、经验和体会。大学数学教育与教学法系统的研究，即关于这方面的硕士点与博士点，几乎没有。在师范大学有中学数学教育与教学法的硕士点与博士点，但没有大学数学教育与教学法的硕士点与博士点。在综合大学和理工科大学也没有大学数学教育的硕士点与博士点。因此在这方面我们可以说是空白。

总之，我认为我国的数学教学的问题如下：

1. 学生学业负担过重，学生普遍厌倦学习

2. 高分低能现象严重，分高德下趋势蔓延

3. 数学教学中存在的错误倾向

重知识轻方法，重理论轻应用

重记忆轻思考，重显性轻隐性

重演绎轻归纳，重证明轻发现

重复习轻新授，重师承轻创造

最大不足：忽视“人”培养，忽视创造力的培养。这些错误倾向不同程度地侵蚀着中国的数学教育事业。

（四）我们需要的改革

首先，我们对大学数学教育与教学法的研究应当系统化，即建立这方面的硕士点与博士点，以数学系的高等数学教研室为基础，建立数学教育研究所，创办大学的数学教育与教学法的硕士点与博士点，成为研究大学数学教育与教学法的基地。培养大学数学教育与教学法硕士生与博士生，把大学数学教育与教学法真正作为一项科研工作来研究，应当把计算机科学列入大学数学教育与教学法研究之中，使数学教育科学化、现代化。这方面的研究应当列入基础学科研究之列，应得到国家在经费上的资助，在不远的将来培养一大批高层次的大学数学教学与教学法的人才，提高我国的大学基础数学教育质量，为国家培养大批的优秀人才奠定一个坚实的基础。

其次，在基础教学的具体教学思路上也应有所改进。

1.增加数学史内容

在数学课上, 增加数学史内容, 会使课程的来龙去脉十分清晰, 非常有助于学生对内容的理解。例如, 一般国内的《概率论》教材都是开篇就讲样本空间、事件等, 学生很容易困惑, 有些莫名其妙, 概率怎么会和样本空间联系到一起呢? 但是, 如果按照历史的顺序, 会把事情变得十分明了。1654 年, 概率产生于赌博。1713 年, 伯努利提出大数定律, 产生统计概率。1777 年, 蒲丰通过投针, 建立几何概率。1812 年, 拉普拉斯集当时的大成,给出当时概率最好的定义: 古典定义。1889 年, 贝特朗奇论, 摧毁了所有的概率定义, 概率论告急。1933 年,“救世主”出现, 前苏联的柯尔莫戈罗夫挽救了概率论, 他先集合化了概率论, 即把概率论建立在集合的基础上, 通过样本空间完成的; 再公理化概率论, 即给概率论建立一个公理化体系, 可以避免奇论, 通过概率的三条公理定义完成的; 最后数量化概率论, 即可以引入微积分进行定量计算概率, 通过随机变量完成的。一言概括现代概率: 三个现代化, 即集合化、公理化和数量化。例如《高等数学》先讲微分, 再讲积分, 而历史上, 是先发现了积分运算, 再出现了微分运算, 这样很容易给学生造成错觉。恢复历史顺序, 这样讲授会十分自然容易让学生理解。

2.讲授“地图”

数学课教学, 教师是统帅, 也是学生学习的导游。学生进入数学课, 如同进入一个风景如画的旅游区。学生最需要的是一张地图, 数学的地图, 就是脉络。这样学生可以拿着地图自己尽兴自由的游玩, 教师仍有导游的职责。例如《线性代数》的脉络, 是以矩阵为中心, 以及四则运算、分类和应用。其中矩阵的除法导致行列式的引入; 而等价和相似就是在分类。例如《泛函分析》中的脉络: 拓扑空间是只含有拓扑结构的空间, 而线性空间则是只含有代数结构, 它们粘起来, 用连续来粘, 即连续成为粘合剂, 则成为线性拓扑空间, 具有两种结构, 再有还可以粘进序结构, 进而, 可以得到泛函分析中的所有空间的联系。

3.着重讲思想

在数学课中, 应该着重讲述思想。牛顿说自己是站在巨人的肩膀上, 并说自己如同在沙滩上玩耍的小孩, 因为捡到几个漂亮的贝壳而高兴。其实, 不止如此, 牛顿能够识别沙滩上的石头和珍珠, 并且他还能把珍珠串成串。牛顿虽然创立了微积分, 更重要的是他发现了曲线切线和面积的关系, 即牛顿—莱布尼兹公式的思想。思想是很重要的, 每个学科及分支的创始人都是提出思想的, 而具体完备的工作是留给别人的。试想: 一个优秀的建筑设计者, 是不会自己垒砖加水泥的, 更不会再给建筑修缝补漏的。创始人是提出整体范围的构想, 如莱布尼兹提出逻辑语言统一人类语言的梦想, 希尔伯特形式化数学的梦想, 那都是一种思想, 指导后人去实现和完善。在讲述数学定理证明时, 如果是复杂冗长的证明, 全部讲述的效果未必好, 不如只讲述证明的思想, 可以讲述一些重要的证明部分, 留给学生思考的空间。