第五章 复习题

一、判断题

1、设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的实函数，由于2abce28fa48beba892d7b6ea157f403f.png总存在，所以50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png一定是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数。（× ）

2、设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的实函数，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngab2781601fe8f5d81b064431a76c5ca7.png。（√ ）

3、设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的单调函数，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png一定是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数。（√ ）

4、设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png既可表示成两个递减函数的差，也可表示成两个递增函数的差。（√ ）

5、有界变差函数一定是几乎处处连续的函数，也一定是几乎处处可微的函数。（√ ）

6、设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的实函数，70d9212fe66a3646056582f1b9d5308c.png，57ccadf9c98a599bdf47e888d114e5a4.png，则

089af7f152240a6e413f9a3c82320705.png。（√ ）

7、设70d9212fe66a3646056582f1b9d5308c.png，57ccadf9c98a599bdf47e888d114e5a4.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数的充要条件是50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png既是209f61583177d88b1f24c85f6a43c6ff.png上的有界变差函数，也是d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png上的有界变差函数。（√ ）

8、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png既是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的一致连续函数，也是50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的连续函数。（√ ）

9、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png一定是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数。（√ ）

10、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png一定是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数。（× ）

11、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数，则755957e019951af31bfbaba8de1e14d0.png，a22cf5f67b36e36efde4073dcf96b435.png都是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数。（√ ）

12、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数，则d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上勒贝格可积。（√ ）

二、填空题

1、叙述有界变差函数的Jordan分解定理 闭区间上的有界变差函数必可分解成两个单调递增函数的差或两个单调递减函数的差 。

2、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上单调递增，则febc86d2666ed8a7f56a37ebfcf2c7e5.png 小于或等于 db972417c3d16851154627e870a5bc11.png。

3、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数，则febc86d2666ed8a7f56a37ebfcf2c7e5.png 等于 db972417c3d16851154627e870a5bc11.png。

三、证明题

1、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的单调函数，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数，且

e93956a8fc980c5c3e1fd48b17bd70c1.png。

证明：不妨设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的单调增函数，任取2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png的一个分割

b7ba95143d78d947369910eccad2c14f.png

则

16efb26f5ac24e621db467a96f3c1b68.png

1e2927ea23b8148b74651aa4b1b76ecf.png，

所以，45fbf724cbbf8c3d7459616bc6ec87a7.png。

2、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上满足：存在正常数a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png，使得对任意df825435394bf3d38a904e4b191f6ac7.png，都有

c4c1f39b069192371caacd4034a211ea.png，

则 （1）50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数，且e2cdb1861c90a72bd2c7ab7e00390b2b.png；

（2）50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数。

证明：（1）由题设，任取2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png的一个分割

b7ba95143d78d947369910eccad2c14f.png

则

a7f214b7c8e666d34357ffb893690f9a.png，

所以，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数，且984553a0e119838e6c1925acc91696b9.png。

（2）在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png内，任取有限个互不相交的开区间799d120f74ffbc13ff40be9634389870.png，64c6ffde5a5fff3fd8084dec5ff317ec.png。由于

c2558c0d9733d111dda80ccfd343652e.png，

于是，对任意6c9879791b8bbf48ca4608dca6d24eee.png，取67bedeff1b637f66e53352347e254067.png，则当5c2e0c1b32bda6bb6966c056cab9cb7b.png时，有

3a4756501f7d797788e692d086ade4c7.png，

即50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数。

3、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数。

证明：由50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的绝对连续函数，取d205256c7c0ac4357e7dc94e1e927843.png，存在afc13fa573c63da11d7dd245535d6d76.png，对任意有限个互不相交的开区间799d120f74ffbc13ff40be9634389870.png，64c6ffde5a5fff3fd8084dec5ff317ec.png，只要5c2e0c1b32bda6bb6966c056cab9cb7b.png时，有d784f080199602dfcfabb458522d3c96.png。

现将2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png等分，记分点为70d48080cad5c0c010ddc53711846872.png，使得每一等份的长度小于1834dcb80855b642c985cbd1b4409b26.png。易得e8b0bca8b28ccab3fdacb9f89e21adea.png，即50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是86954c328f93f4bf7d8207092ab35fca.png上的有界变差函数。又0e2471927633fbc2807bdaeb59d6f4d4.png，

所以，75599fd314f7fde78d4a0557678c6707.png，即50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数。

4、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数，则

（1）全变差函数e9834d9ac6cc0739aa1e594c897be712.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的递增函数；

（2）7e0e0cd1e1f6d440bea0d97f7a9642f7.png也是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的递增函数。

证明：（1）对任意df825435394bf3d38a904e4b191f6ac7.png，695a72c5d3da62044f95d454a01c2d3e.png，注意到39518856608f38a9b4a3fb698aed9da0.png，有

fbf7711bae3e9a2784fa68756a394be0.png，

即e9834d9ac6cc0739aa1e594c897be712.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的递增函数。

（2）对任意df825435394bf3d38a904e4b191f6ac7.png，695a72c5d3da62044f95d454a01c2d3e.png，注意到9787aff25397a77c448066aa43bf0666.png，有

a1bf130eb2963b1222a2c78dcb4962b2.png

a9cb9fa113336b79a265e184feb61e2f.png，

即7e0e0cd1e1f6d440bea0d97f7a9642f7.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的递增函数。

5、证明Jordan分解定理：50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的有界变差函数ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png可表示成2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的两个增函数之差。

证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。

事实上，502965019a4d4220cd2494f5419527b7.png，由上题e9834d9ac6cc0739aa1e594c897be712.png和7e0e0cd1e1f6d440bea0d97f7a9642f7.png都是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的递增函数。