2019年高二数学会考测试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则（ ）

A． B． C． D．

2．直线的倾斜角为（ ）

A． B． C． D．

3．函数的定义域为（ ）

A． B． C． D．

4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情

况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ）

A．14、12 B．13、12

C．14、13 D．12、14

5．在边长为1的正方形内随机取一点，则点到点的距离小于1的概率为（ ）

A． B． C． D．

6．已知向量与的夹角为，且，则等于（ ）

A．1 B． C．2 D．3

7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（ ）

A． B. C. D.

8．若，，，，则，，的大小关系是（ ）

A． B． C． D．

9．已知函数的图像如图3所示，则函数的解析式是（ ）

A． B．

C． D．

10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是

最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

11.在等差数列中， ,则 其前9项的和等于 ( )

A．18 B．27 C．36 D．9

12.函数的零点所在的区间是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．圆心为点，且过点的圆的方程为 ．

14．如图4，函数，，若输入的值为3，则输出的的值为 .

15．设不等式组表示的平面区域为D，若直线上存在区域D上的点，则的取值范围是 ．

16．若函数是偶函数，则函数的单调递减区间为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17．（本小题满分10分）

在△中，角，，成等差数列．

（1）求角的大小；（2）若，求的值．

18．（本小题满分12分）某校在高二年级开设了，，三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从，，三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）

（1）求，的值；

（2）若从，两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组的概率．

19．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点是的中点．

（1）求证：平面；（2）若四面体的体积为，求的长．

20．（本小题满分12分）

已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列的前项和．

（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和．

21.（本小题满分12分）

直线与圆交于、两点，记△的面积为（其中为坐标原点）．

（1）当，时，求的最大值；

（2）当，时，求实数的值．

22.（本小题满分12分）

已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围．

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．

13．（或） 14．9

15．（或） 16．

三、解答题

17．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．

解：（1）在△中，，

由角，，成等差数列，得． 解得．

（2）方法1：由，即，得．

所以或．

由（1）知，所以，即．

所以

．

方法2：因为，是△的内角，且，所以或．

由（1）知，所以，即．以下同方法1．

方法3：由（1）知，所以．即．

即．即．

即．

因为， 所以．

即．解得．

因为角是△的内角，所以．

故．

18．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分．

解：（1）由题意可得，， 解得，．

（2）记从兴趣小组中抽取的2人为，，从兴趣小组中抽取的3人为，，，则从兴趣小组，抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有，，，，，，，，，共10种．

设选中的2人都来自兴趣小组的事件为，则包含的基本事件有，，共3种． 所以．

故选中的2人都来自兴趣小组的概率为．

19．本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．

（1）证明：连接交于点，连接，

因为是正方形，所以点是的中点．

因为点是的中点，

所以是△的中位线．

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）解：取的中点，连接，

因为点是的中点，所以．

因为平面，所以平面．

设，则，且． 所以

． 解得．故的长为2．

20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．

解：（1）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以数列的通项公式为．

因为数列的前项和．

所以当时，，

当时，，所以数列的通项公式为．

（2）由（1）可知，． 设数列的前项和为，

则 ， ①

即， ②

①－②，得

， 所以．故数列的前项和为．

21．本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．

解：（1）当时，直线方程为，设点的坐标为，点的坐标为，

由，解得，所以．

所以．

当且仅当，即时，取得最大值．

（2）设圆心到直线的距离为，则．

因为圆的半径为，所以．

于是，

即，解得．

故实数的值为，，，．

22．本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分．

解法1：当时，，令，得，是区间上的零点．

当时，函数在区间上有零点分为三种情况：

①方程在区间上有重根，

令，解得或．

当时，令，得，不是区间上的零点．

当时，令，得，是区间上的零点．

②若函数在区间上只有一个零点，但不是的重根，

令，解得．

③若函数在区间上有两个零点，则

或

解得．

综上可知，实数的取值范围为．

解法2：当时，，令，得，是区间上的零点．

当时，在区间上有零点在区间上有解在区间上有解． 问题转化为求函数在区间上的值域．

设，由，得．且．

而．设，可以证明当时，单调递减．

事实上，设，则，

由，得，，即．

所以在上单调递减． 故．所以．

故实数的取值范围为．