单位变化与整体数量变化关系

引例：张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。最后橘子分完了，苹果还剩下12个。那么一共分给了多少名小朋友？

每一个小朋友（单位）剩两个苹果，最后总共剩12个。所以小朋友人数（数量）为：12/(3-1)=6个。

这种单位与整体数量变化思想应用范围较广，以下具体举例详解

例1：几个朋友外出游玩，购买了一些瓶装水，试根据以下条件求出人数与瓶数

（1） 若每人分3瓶，则剩余30瓶，若每人分10瓶，则有一人差5瓶。（等式 小学）

（2） 若每人分3瓶，则剩余30瓶，若每人分10瓶，则只有一人不够。(不等式 15年考研真题)

解：每人由分3瓶到分10瓶，数量变化为7瓶，总数由剩余30瓶到有1人差5瓶即35瓶，所以人数为35/7=5人。带人条件可得瓶数为45个。

例2.（路程应用）某人从甲地到乙地，如果每小时走4千米，那么到预定时间离乙地还有0.5千米，如果每小时走5千米，那么比预定时间提前半小时到达，甲地与乙地的距离是多少千米？

每小时走5千米，比预定时间提前半小时，也就在预定时间内可以超过乙地2.5千米，对比每小时4千米离还差0.5千米。每小时（单位）差1千米，总行程（总量）差3千米，故预定时间为3/1=3小时。

例3. （工程类）一个工人按限期完成一批零件，他计算每小时做10个，可以超额3个；每小时做11个，可以提前1小时完成。这批零件有多少个？

解：每小时做10个多做3个，做11个可以多做11个，每小时多做1个就多了8个，说明他工作了8小时。

故零件数：10×（11－3）－3＝77个。

改编：一个工人按期限完成一批零件，若他每小时多做8个，可以超额4个;每小时少做4个，延时2 小时完成，这批零件有多少个？

如此变化后貌似只能列二元一次方程组解答了

例4（牛吃草）整片牧场上的草长得一样密，一样得快。已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？（摘自2015年考前冲刺）

解：牛吃草问题是较为复杂的难题（据说是牛顿编出来的题目），若列方程较为繁琐。这道题可以把一头牛一天吃的草量看作是一份，首先要知道每天草长的速度是几份，和牧场共有多少份草。同样大的牧场，30头牛就要60天吃完，70头牛在24天内就可以吃完，多出来的份数就是两次时间差长出来的草（本质仍然是单位与整体的数量变化关系），除以时间就是每天草长得份数。假设每头牛每天吃1份草，24天70头牛吃70*24=1680份，60天吃1800份。那么总量变化1800-1680=120份，经过了60-24=36天，所以每天的草变化量为120/36份，再逆算出原始草量1680-24*120/36=1600 接下来再列个等式即可。

分析：牛吃草问题看似很复杂实际本质上就是带有正负效率相抵消的工程问题，类似于进水排水问题，也可将其看成是行程问题里的追击问题，草场中的原有草量相当于两辆车原始距离，速度差相当于牛吃草与草生长的速度差，如下面例题。

自编题：货车出发一段时间后客车出发，如果客车以每小时100千米速度前行，3小时可以追上货车，如果以每小时120千米速度前行，1.5小时可以追上货车，问货车提前多少时间出发？客车如果想在1小时追上货车，速度应该是多少？

解：货车出发一段时间后两车距离不变，设货车速度为X,(100-X)*3=（120-X）*1.5

解得货车速度为80千米/小时，货车出发一段时间后两车相距（100-80）*3=60千米。所以货车提前60/80=45分钟出发

由于管理类联考时间有限，不太可能出牛吃草这种较为复杂的难题，但是转化成行程问题难度并不大,有出题的可能。

作者：管 文