指数函数与对数函数

作者：李水艳

来源：《数学金刊·高考版》2015年第09期

        指数函数与对数函数是高中数学中最重要的两个基本初等函数，也是历年高考考查函数“两域三性”的重要载体.有关指数函数、对数函数的试题每年必考，大都以指、对数函数的性质和图象为依托，结合推理、运算来解决，往往与其他函数进行复合；另外底数多含参数，考查分类讨论思想.

        重点难点

        重点：指数函数与对数函数的定义、性质和图象. 主要体现在利用它们的定义、图象和性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等性质以及通过它们的图象变换作出其他函数的图象.

        难点：指数函数、对数函数的性质的综合应用. 主要体现在利用指数函数、对数函数的性质解决相关函数的其他问题和解决以指数函数、对数函数为背景的代数推理题.

        方法突破

        1. 熟练掌握指数、对数运算法则和指数、对数函数的性质

        （1）指数运算：①ar·as=a；②（ar）s=ars；③（ab）r=arbr（其中a>0，b>0，r，s∈Q）.

        （2）对数恒等式：①a=N（a>0，且a≠1，N>0）；②logaab=b（a>0，且a≠1，b∈R）.

        （3）对数运算法则（a>0，且a≠1，M>0，N>0）：①log（M·N）=logaM+logaN；②log=logaM-logaN；③logaMn=nlogaM.

        （4）换底公式：logbN=（a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，N>0）.

        推论：①logab·logba=1；②logab·logbc=logac；③logbn=logab；④logbn=logab.

        （5）指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的性质：

        ①当01时，y=ax在其定义域内是增函数；y=ax（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（0，1）.