第七讲 圆中的计算与证明（一）

【基础回顾】

1.如图1，在中，AB、AC为互相垂直的两条弦，D、E分别为AB、AC的中点，则四边形ADOE为( )

A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.梯形

图 1 图 2

2.如图2，的直径CD=10cm，AB是的弦，，垂足为M，，则AB的长为( )

A.8cm B. cm C.6cm D.2cm

3.如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，

∠ACB=50°，点D是BAC弧上一点，则= ．

【例题解析】

【例1】如图3，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为( )

A.19 B.16 C.18 D.20

图3 图4

【练】如图4，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 .

【例2】如图5，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为（　　）

A.m B. C. D.

图 5 图 6

【练】如图6，AB是⊙O的直径，则∠1+∠2= .

【例3】如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．

(1)求证：BD=DC=DI；

(2)若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．

【练】如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为上的一个动点，CQ平分，A(－1，0)，M(1，0).

(1)求C点坐标

(2)当P点运动时，线段AQ的长度是否改变？

若不变求出其值，若改变说明理由。

【例4】图7，⊙O的直径AB与CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=， =

图 7 图 8

【练】如图8，AB是的直径。且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆周上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为、，则等于( )

A.5 B.6 C.7 D.8

【例5】如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．

(1) 求证：AC平分∠DAB；

(2) 若AC=8，AD：BC=5：3，试求⊙O的半径．

【练】如图，中，直径于E，于F，交CD的延长线于H，连AC.

(1)求证：AC=AH

(2)若AB=，OH=5，求的半径.

【例6】如图，CD是△ABC的外角的平分线，CD交过A、B、C三点的圆于点D，连接DA、DB.

(1)试判断△DAB的形状，并证明你的结论；

(2)若直线DO交AB于F点，且OF=4，BD=，求的半径.

【例7】如图，的半径为2，动弦直径AB于E，于F，探索：当弦CD运动时，的值是否发生变化，若不变，求出其值，若变化，请说出理由。

【练】如图，在中，AB为直径，P为AB上一点，

(1)若NP=1，MP=7，求AB的长并计算的值

(2)当P点在AB上运动(保持的度数不变)，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围。

【巩固练习】

1.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，

若∠D的度数是50º，则∠C的度数是( )

A．50 º B．40 º C．30 º D.25 º

2.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC、OD与AB分别交于点E、F，且AE=BF．

求证：

3.如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求CD的长．

4.如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，，

（1）若，求的长。

（2）若，求AB的长。

（3）当P点在AB上运动时，的值是否发生变化？分析说明。