证明不等式的基本方法

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教学重点： 掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法；

教学难点： 理解放缩法的解题及应用。

1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的差或商的符号（范围）确定0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png大小关系的方法，即通过“539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png，5c300f2e30d6778119a75058226b5525.png，c43db891e931d10001aea64394728cae.png；或5c300f2e30d6778119a75058226b5525.png，e94ca20ff38c94f7e3a54dce06fee18b.png，87863fd196208ef943b093a90e8f3cca.png”来确定0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。

2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。

3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

4、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。

反证法证明一个命题的思路及步骤：

1） 假定命题的结论不成立；

2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;

3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;

4） 肯定原来命题的结论是正确的。

5.放缩法：放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。

类型一： 比较法、分析法和综合法去证明不等式

例1. 求证：x2 + 3 > 3x

解析：∵(x2 + 3) 3x = e65b7300539e9c2dccd87ebacac2b914.png

∴x2 + 3 > 3x

答案：见解析

练习1. 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：134a8a52008a1d6b1c0a1a0f9364f8b0.png

答案：06020af7e93f420c51124823466f742e.png

∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b + m > 0 , b a > 0

∴98340c01b6974ae779ab085bdfbd8a2b.png 即：134a8a52008a1d6b1c0a1a0f9364f8b0.png

练习2. 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

答案：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 )

= a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)

= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a b，∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0

即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

例2. 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

b6d261861bfbe71d6a91a32c0039a38d.png

解析：∵15b867edac4b11dbfe64f2bf90a9399a.png≥2bc,a＞0,

∴9c4c32a440b1ff9e3aa3899a6247b9b5.png≥2abc ①

同理 a3c7b1b62e0e6ec6d45ef6e2070a3946.png≥2abc ②

0c8048d63f2c9caf61d8de19ba453303.png≥2abc ③

因为a，b，c不全相等，所以15b867edac4b11dbfe64f2bf90a9399a.png≥2bc, 84f64d86a91eee378ca6c9af73170c3e.png≥2ca, 2e328c7d231df9a5fe7603b5813b5a08.png≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号word/media/image27_1.png

∴85623f244763e3c08f87edf3d1140970.png

答案：见解析。

练习3. 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：5f3ca253b170565edfdb249ea7f13081.png

答案：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png

又∵a，b，c都是正数，所以940c1da313a3a8aa0ca0c9cba0ad3ba7.png≤28108ab9a5a9859aec9a2ea35c15b4f9.png

∴fc6bdd1e2f6c337009bee26eba6bfc92.png

∴bc21dde3fedb1315a6be2b998858b5ab.png

∴5f3ca253b170565edfdb249ea7f13081.png

例3. 求证a64b087e9835364aadc42ef5b4b20ce6.png

解析：因为57a26f3027f7ab057b2c8ed0535b0082.png都是正数，所以为了证明a64b087e9835364aadc42ef5b4b20ce6.png

只需证明f6c8fd3c7351d13ec25476b2bf50c5aa.png

展开得 06a2958277c2a6b3647d48cadbf0c3a7.png

即 6707c5da4d819b5b0cb13b48041bd560.png

因为65d0eae24cff8d461aa541b1904e4e8c.png成立，所以

f6c8fd3c7351d13ec25476b2bf50c5aa.png成立

即证明了a64b087e9835364aadc42ef5b4b20ce6.png

答案：见解析

练习4. 已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤b20bcceac5458a6188d8c1b51e4c3414.png

答案：(1)当1694b2095e75e380f5bf807f184bbecd.png时,显然成立word/media/image27_1.png

(2)当25813a17d2707571d56ecccdf13d988b.png时,欲证原不等式成立,

只需证e2a46e2f5c2e08e275691302ebd609b8.png即证40dfb1b5998a05d21e74bd9896199281.png即证07950fe2bde3434aea448eb097f9cb5b.png

即证6faca412b2f6eb647e63f3004bdab29b.png

因为6b2c3772e956bd7d191e4e9417c49700.png∈R,所以上式恒成立,

综合(1)、(2)可知:原不等式成立word/media/image27_1.png

类型二： 反证法和放缩法证明不等式

例4. 若a, b, c, d R+，求证：

ef0892d52e3f9ee5979eb5086ae719ba.png

解析：（用放缩法）记m =959ea6d88ceacb02cef35a013dab35b8.png

∵a, b, c, d R+

∴ef1928924da42f95b7b582359a26e7c1.png

962bc02ab0503dc7ad1d025d9d4df1bb.png

∴1 即原式成立

答案：见解析

练习5. 当 n > 2 时，求证：ca1d9be6b28a11eecc00ee6b0924a18e.png

答案：（用放缩法）∵n>2 ∴85c5a0979b328a0c518e23bfc03ec8f8.png

∴1cb1e1777c662b9eb8ad1d41d3ed7e11.png2fab72b9f6f967031e7d2a6b298e0e17.png

∴n > 2时, ca1d9be6b28a11eecc00ee6b0924a18e.png

例5. 设0<a,b,c <1，求证：(1 a)b,(1 b)c,(1 c)a,不可能同时大于eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png

解析：（用反证法）设(1 a)b >eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png,(1 b)c>eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png,(1 c)a>eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png,

则三式相乘：(1 a)b•(1 b)c•(1 c)a >3b05a90f244928f96ef861f4e57152a8.png ①

又∵0 <a,b,c <1 ∴9b5cb49c396bf55c4574e475067b4f52.png

同理 0469993cbe718d0d1122a60da2a7478f.png,dad0eef2fc3b232aaeef04f68e347c8c.png

将以上三式相乘 (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤3b05a90f244928f96ef861f4e57152a8.png 此与①矛盾

∴(1 a)b,(1 b)c,(1 c)a,不可能同时大于eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png

答案：见解析

练习6. 已知a+b+c> 0，ab +bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

答案：（用反证法）设a < 0, ∵abc>0, ∴bc < 0

又由a + b + c > 0, 则b+c> a>0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 此与题设矛盾

又 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0

同理可证 b > 0, c > 0

1. 设a, b, c R，

（1）求证：21411dbf24f4895ccfc443780468ab2e.png

（2）求证：93bead2397d994642cf964afcc1bbf4c.png

（3）若a + b = 1, 求证：a835715298817deb21536073727d6441.png

答案：（1）∵bd060c4c0a8792e68d7d66e64daac427.png ∴22db37391349f40b3f9df549330d0300.png

∴21411dbf24f4895ccfc443780468ab2e.png

（2）同理：7c734c37fda5df69df1032b3e3e91721.png， aea9272e2a1ddc5a9dfad39116d0f91e.png

三式相加：93bead2397d994642cf964afcc1bbf4c.png

（3）由幂平均不等式：

2fad0f5846909efd2319b181549f0b64.png

∴a835715298817deb21536073727d6441.png

2.a , b, c R, 求证：（1）88aa61b3de04c22e5dbe79b54d48d8b4.png

(2)2db596099a6624fdf19a054afad34753.png

(3) c27e0b0dd77b8635936115aac4a5d94e.png

答案：(1)法一：1d870026c799375f15501bb12fc0a6c3.png, aaa69703454f7e3559d50eb76456da59.png, 两式相乘即得word/media/image27_1.png

法二：左边d78ae814054b05bcb1b0ab31c0209f64.png

≥3+2+2+2 = 9

(2)∵3b19682c8bfc8123ad44a02e3269f6af.png

c26dc722a895db5f27d3471d35ac19d6.png两式相乘即得

(3)由上题：2db596099a6624fdf19a054afad34753.png

∴f69e1fae907026d4261ab3a7d2fa8230.png 即 c27e0b0dd77b8635936115aac4a5d94e.png

3. 求证：ba273abccf9708afc1b00f64345da076.png

答案：（用放缩法）249b7b1a7f0b0122f2693ae20a947629.png

∴2053e866cf3db6f57c1181447af6bbd4.png

4. 设x > 0, y > 0,3cbc1cdcb72e34d6af5d9221f1361cbc.png, b2d3d62453d41d8f10df0d1e7edd27b4.png，求证：a < b

答案：放缩法：dd765d003844f37b76464e6d4beab8a0.png

5. 若x, y > 0，且x + y >2，则f6364bdaca2dc5ef1fa78d2fe0f70175.png和b336b319758b55159d43653a8ac8c8e6.png中至少有一个小于2

答案：反证法：设f6364bdaca2dc5ef1fa78d2fe0f70175.png≥2，b336b319758b55159d43653a8ac8c8e6.png≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾

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基础巩固

1. 设a, b R+，求证：b0616e3cd07a1dcc3b64eb4b47477e69.png

答案：作商：c5ce822381d5e24be29925d331d5a7bd.png

当a = b时，346a6c0b6b86d21a6a2062f0cfa25377.png

当a > b > 0时，eff4678fbfc56870d542e1139d468c5b.png

当b > a > 0时，ae2bc1d97c48e6aebd222e907f71393d.png

∴17cc645e9adbb1f3972da164fa201c5a.png

2. 证明lg9•lg11 < 1

答案：放缩法：0c9c1ad10f393e3d279c4786f7a12bc6.png

3. 设0 < a, b, c < 2，求证：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同时大于1

答案：反证法：(2 a)c>1, (2 b)a>1, (2 c)b>1,则(2 a)c(2 b)a(2 c)b>1…①

又因为设0 < a, b, c < 2，(2 a) ab4e0782850ae233b9e3f85ccaf59d793.png,

同理 (2 b) b≤1, (2 c) c≤1,所以(2 a)c(2 b)a (2 c)b≤1此与①矛盾word/media/image27_1.png

4. 证明ca1d9be6b28a11eecc00ee6b0924a18e.png

答案：放缩法：11ca642f92742f646aac9033526f541c.png2fab72b9f6f967031e7d2a6b298e0e17.png

5. 已知x>0,y>0，2x+y=1，求证：d4302c40b34d84105c4741c9df0bcbdb.png

答案：3488aa89803fab3c1eb06a32326deaa1.png 即：d4302c40b34d84105c4741c9df0bcbdb.png

6. 求证1bdf22a217500a74ba156c34c6585a91.png

答案： e4d0a0a19af63537b6d8c87f5efd5d18.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png为了证明原不等式成立，只需证明da3d349ab8aeebe427303616ba17d484.png

即 0508b21dc07291397a74e622ab80e007.png，

只需证明c37e87bdea8f2f76be853d7d73a5426c.png

57012a2e40d1fcb2911a377ae663442f.png成立

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png原不等式成立

7. 设0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png、4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png是三角形的边长，求证89a70a76e66865997a620b225199aeb9.png

答案：由不等式的对称性，不妨设6619d59077737e840c56ebb02a143207.png，则4f3616b020000d08e7063afac195bc56.pngd607ddcb86a5f9b9fba1db17aa88fccd.pnga64e98682a92cb2f493d4d3eb54f2ec2.pngd607ddcb86a5f9b9fba1db17aa88fccd.png714c059db8d2bbb665b252584077663c.png

且6e03fd62b30d5e2c97a115e32a53b4dc.png， e9ed1ccad042c5b40944c9117745fd33.png

∴73b4af87a87137723bebb73893f4a832.png

7f44958d16d540ffdec8204b3abbd071.pngc03364b6e1b5001ab40f092767922580.png

∴89a70a76e66865997a620b225199aeb9.png

8. 若a > b > c,则1bc9858c31b4cdf06188e143a072e0e0.png

答案：df464a1a7fb17baa6523d8940b6d3022.png

9.证明 8790446e6e479cabcc95cba8488c3572.png

答案：左边fae193a75781035cb7182c9f76d6690a.png

10. 证明674fb8107f8f31fc1fc45f75db46c580.png

答案：ed2a2356f91db0e1fca795faa8e03c40.png

11. 已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n≥3, n R*)

答案： ∵6058d05c920374eec339789c1179ea87.png，又a, b, c > 0, ∴1f884d5e97983a592b5119c8ba306c27.png

∴8df84f55d321d813dc4fb8a263bb8033.png6058d05c920374eec339789c1179ea87.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png an + bn < cn

12. 若aa135e67321926f181d788c1a35afdf2.png，证明abcc12e04c1d22b2a04bd11051fe223b.png（323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png 且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png）

答案： （1）当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png时，

因为 ab908154aa5d181ea6ad8e7bc6c9c4e9.png，

所以 59f163d8b1b2d30a36eda6b381f7f23e.png

98453068ab3a3d21d7a8e3768d717265.png

84a13883cc7c68de8aa4bff4e893084c.png．

（2）当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时，

因为 ab908154aa5d181ea6ad8e7bc6c9c4e9.png

所以 59f163d8b1b2d30a36eda6b381f7f23e.png

52bf825201e5c1d9ffc8d1b3287ea26c.png

9c08103bb8c1df4c88962a35a51c0ecd.png．

综合（1）（2）知abcc12e04c1d22b2a04bd11051fe223b.png．

13. 设f47950a73ee734549f8bbedaf73a6184.png，求证：0347800cc1dd76d124b6c80cd45e06ee.png

答案： 2b6b04a7ed39a6db81f653dd593596aa.png

∵f47950a73ee734549f8bbedaf73a6184.png，∴1cbac050fbd86d7364f7800b200f38df.png

∴2b489a55ae4bf9abf80b42a30a65352c.png. ∴9873b77e096c28f0d0ad6ffb1bb1ddab.png95dfe86ea822044a3df12e0ddb510eb7.png

又∵4d5a17e7a98aae1de9d1769b910cb60a.png，

∴0347800cc1dd76d124b6c80cd45e06ee.png.

14. 对于任意实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，求证42f5c230509d0ca72fb252555b84d462.png（当且仅当7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png时取等号）

答案： ∵ 3825027dfa6fb96b72501b9db6622055.png（当且仅当492693e868dcf2bd4f0380aa6b648315.png时取等号）

两边同加3d568bccb16af570536e3a6d41134bfa.png，

即：4c85c476b2c119135751490e45be0acd.png （1）

又：∵ 3825027dfa6fb96b72501b9db6622055.png（当且仅当7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png时取等号）

两边同加d41054649a39e5cd5dfbda5904f3895f.png

∴ cc77ed674829805dae001fef958aeb0f.png

∴ aad6dccc4523c00f9a9452c9817bd3d7.png （2）

由（1）和（2）可得42f5c230509d0ca72fb252555b84d462.png（当且仅当7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png时取等号）．

15. 已知0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png、cf85daf41ee12cc315e9a6a6c4ea7299.png，bed7e19e687f07025333c93d456a42aa.png，求证cac21f869fba94a7ca1b26e17da37e07.png

答案： ∵bed7e19e687f07025333c93d456a42aa.png

∴ 10866fe1120245b25ec971f70a35838b.png924aaf5b0c6c3ac54dbc91129ecf61e0.png

b8c949ea720ebb315ced792ba794c94c.png

278da0aebce2a40c22abd191b1b1116c.png

∵a4754d37fb5a32aff50ebb618f0d16de.png，同理：7c278f51aaa3e8d6d9b81f320b5a9ddd.png，6a3ce219b01ebcb4bc13c9f32f461bf0.png。

∴ 794a1fcf8802e8949c61a3d022e2d22c.png

能力提升

16．已知46da7b0b51c10c37b5cc4324a7c811c1.png，54add1713e805bfe7d9858564fdf2507.png，求证：59a4104a67e3c5bec95e5c70e4e277a3.png

答案：∵ 54add1713e805bfe7d9858564fdf2507.png ∴ 1=6ed80bc5a234a314b4c440a3510e5c66.png

　　 ∴ 22669fd02a7a3605da9f3ac1aba52030.png

　又 ∵ 750c7cde86483d653f2ddac655f1cafd.png word/media/image27_1.png

　　 ∴ dafd62eaae7a5953037a48944bd3dfd0.png39dabb40c172b0fdf85ce9950d87de0b.png

17. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

答案：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，

则：2035dcade9c4de608ca9d1a3daf905cf.png 可得：c1a3dafd7ff43e5151ae2e535dc6ea80.png

∴3c92e2e44ccf955cc9d9c446dfa4b8d5.png

∵S, m, n都是正数，且m n，∴t1 t2 < 0 即：t1 < t2

从而：甲先到到达指定地点。

18. 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大word/media/image27_1.png

答案：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为86fac535783bddc1a4d4e492111f3b09.png，截面是正方形的水管的截面面积为55bdca9225f03b8fa81456e73f02771d.png，所以本题只需证明3f3d96351477ab101ce3391797f1634e.png

为了证明上式成立，只需证明 f402f00908a5410e5115320e96f7cedf.png

两边同乘以正数c2e61055276fe13964a17dbb4cf1bbea.png，得90d94f7ee62fbce72db3f4069c72ec2c.png

因此，只需证明553d224c9f191291f1ebf99a084e978f.png

上式是成立的，所以3f3d96351477ab101ce3391797f1634e.png

这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大word/media/image27_1.png

19. 已知a4a46d8c6c35bcf2023ea5c822278375.png，求证：dcbf13f759dd80affeb1822a50721658.png＞0

答案：证明一：(分析法书写过程)

为了证明dcbf13f759dd80affeb1822a50721658.png＞0

只需要证明d1ea1c34f8436bcff3496a09bfcddfea.png＞0a55866ad321be644fec2fccf5f67611.png

∵a4a46d8c6c35bcf2023ea5c822278375.png

∴db172d15007e57866e22b2b04291624d.png

∴ee64ceb24d23073081192831bd3a46ca.png＞0

∴d1ea1c34f8436bcff3496a09bfcddfea.png＞0a55866ad321be644fec2fccf5f67611.png成立

∴dcbf13f759dd80affeb1822a50721658.png＞0成立

证明二：(综合法书写过程)

∵a4a46d8c6c35bcf2023ea5c822278375.png ∴db172d15007e57866e22b2b04291624d.png

∴18eb77fc26a1cf0400436a60ca7c3d06.png＞0a55866ad321be644fec2fccf5f67611.png a476ee62a2de0bce285c65c6c3a028ad.png＞0

∴d1ea1c34f8436bcff3496a09bfcddfea.png＞0a55866ad321be644fec2fccf5f67611.png成立

∴dcbf13f759dd80affeb1822a50721658.png＞0成立

20. 若1dc97b3b5630a8bd13b6fc94e898f5c8.png，且236580ccc09193d367c51a6dc315e444.png，求证：d1f7d0050cbfd485c8b6fe7e2341c4b4.png

答案：为要证d1f7d0050cbfd485c8b6fe7e2341c4b4.png

只需证08ddc8966cf692c967ce9b9287402a5b.png，

即证45298e5deb020d5499686018fe2b4aca.png，

也就是984889f299fb42200cf9df4596037c65.png，

即证758751fb0c1bdc0db62520813270fcbb.png，

即证eacea6602537a8f35ba47859d9b43a28.png，

∵48aa4d9123837ab936e00aabbc9225b4.png，

∴ff7bbae81bf29489cf9c8809a426c1b5.png，故0173d0291302c123d15629a426cb9ce6.png即有2497254c4b0a365fdfaaeca0cf2cc08a.png，

又 由236580ccc09193d367c51a6dc315e444.png可得eacea6602537a8f35ba47859d9b43a28.png成立，

∴ 所求不等式e2014802bae8e722cda9ecca36e0d0cd.png成立．

word/media/image227_1.png