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    2017年湖南省邵阳市中考数学真题试卷-

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    2017年湖南省邵阳市中考数学试卷


    一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）25的算术平方根是（ ） A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
    2．（3分）如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（ ）

    A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4 3．（3分）3﹣π的绝对值是（ ） A．3﹣π
    B．π﹣3 C．3 D．π
    4．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
    A． B． C． D．
    5．（3分）函数y=A．中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

    C．
    D．
    B．6．（3分）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（ ）

    A．120° B．100° C．80° D．60°
    7．（3分）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（ ）


    A．a2﹣π（）2 B．a2﹣πa2 C．a2﹣πa D．a2﹣2πa
    8．（3分）“救死扶伤”是我国的传统美德，某媒体就“老人摔倒该不该扶”进行了调查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图，根据统计图判断下列说法，其中错误的一项是（ ）

    A．认为依情况而定的占27%
    B．认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是234° C．认为不该扶的占8% D．认为该扶的占92%
    9．（3分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（ ）

    A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米
    10．（3分）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（ ）


    A．Q′（2，3），R′（4，1） B．Q′（2，3），R′（2，1） C．Q′（2，2），R′（4，1） D．Q′（3，3），R′（3，1）

    二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是 ．
    12．（3分）2016年，我国又有1240万人告别贫困，为世界脱贫工作作出了卓越贡献，将1240万用科学记数法表示为a×10n的形式，则a的值为 ．

    13．（3分）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ．（写一个即可）
    14．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
    ，现已知△ABC的三
    15．（3分）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 ．


    16．（3分）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
    ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C； ③作射线OC．
    则∠AOC的大小为 ．

    17．（3分）掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是 ．

    18．（3分）如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是 km．




    三、解答题（本大题共8小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19．（8分）计算：4sin60°﹣（）﹣1﹣．
    20．（8分）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．
    （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．

    21．（8分）先化简，再在﹣3，﹣1，0，•．
    ，2中选择一个合适的x值代入求值．
    22．（8分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升）

    （1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数； （2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；
    （3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量．
    23．（8分）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆
    大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
    （1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
    （2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．

    24．（8分）如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO． （1）求证：DA=DC；
    （2）求∠P及∠AEB的大小．

    25．（8分）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N． 【问题引入】
    （1）若点O是AC的中点，=，求的值；
    温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G． 【探索研究】
    （2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：【拓展应用】
    （3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，••=1；

    AB于点D，E，F，若=，=，求的值．

    26．（10分）如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）． （1）求抛物线的解析式；
    （2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．





    2017年湖南省邵阳市中考数学试卷
    参考答案与试题解析


    一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
    1．（3分）（2017•邵阳）25的算术平方根是（ ） A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
    【分析】依据算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5． 故选：A．
    【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．

    2．（3分）（2017•邵阳）如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（ ）

    A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4 【分析】根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠4， 故选C．
    【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

    3．（3分）（2017•邵阳）3﹣π的绝对值是（ ） A．3﹣π
    B．π﹣3 C．3 D．π
    【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．

    【解答】解：∵3﹣π＜0， ∴|3﹣π|=π﹣3． 故选B．
    【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握定义是解题关键．

    4．（3分）（2017•邵阳）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
    A． B． C． D．
    【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：A、的主视图是圆，故A符合题意； B、的主视图是矩形，故B不符合题意； C、的主视图是三角形，故C不符合题意； D、的主视图是正方形，故D不符合题意； 故选：A．
    【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．

    5．（3分）（2017•邵阳）函数y=确的是（ ） A． B．
    C．
    D．
    中，自变量x的取值范围在数轴上表示正【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解，然后在数轴上表示即可． 【解答】解：由题意得，x﹣5≥0， 解得x≥5．
    在数轴上表示如下：

    故选B．
    【点评】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三个方面考虑：
    （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式
    时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

    6．（3分）（2017•邵阳）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（ ）

    A．120° B．100° C．80° D．60°
    【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答． 【解答】解：∵铺设的是平行管道，
    ∴另一侧的角度为180°﹣120°=60°（两直线平行，同旁内角互补）． 故选D．
    【点评】本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．

    7．（3分）（2017•邵阳）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（ ）

    A．a2﹣π（）2 B．a2﹣πa2 C．a2﹣πa D．a2﹣2πa
    【分析】根据图形可知阴影部分的面积是正方形的面积减去直径为a的圆的面积，本题得以解决． 【解答】解：由图可得， 阴影部分的面积为：a2﹣故选A．
    【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．

    8．（3分）（2017•邵阳）“救死扶伤”是我国的传统美德，某媒体就“老人摔倒该不该扶”进行了调查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图，根据统计图判断下列说法，其中错误的一项是（ ）
    ，


    A．认为依情况而定的占27%
    B．认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是234° C．认为不该扶的占8% D．认为该扶的占92%
    【分析】根据百分比和圆心角的计算方法计算即可． 【解答】解：认为依情况而定的占27%，故A正确；
    认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是65%×360°=234°，故B正确； 认为不该扶的占1﹣27%﹣65%=8%，故C正确； 认为该扶的占65%，故D错误； 故选D．
    【点评】本题考查了扇形统计图，掌握百分比和圆心角的计算方法是解题的关键．

    9．（3分）（2017•邵阳）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（ ）

    A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米
    【分析】小徐第一个到达的地方应是菜地，也应是第一次路程不再增加的开始，所对应的时间为15分，路程为1.1千米．
    【解答】解：由图象可以看出菜地离小徐家1.1千米，

    故选：A．
    【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键．

    10．（3分）（2017•邵阳）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（ ）

    A．Q′（2，3），R′（4，1） B．Q′（2，3），R′（2，1） C．Q′（2，2），R′（4，1） D．Q′（3，3），R′（3，1）
    【分析】由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，据此可得．
    【解答】解：由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，
    ∴点Q（﹣3，1）的对应点Q′坐标为（2，3），点R（﹣1，﹣1）的对应点R′（4，1）， 故选：A．
    【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握在平面直角坐标系确定点的坐标是解题的关键．

    二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
    211．（3分）（2017•邵阳）将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是 m（n+1） ．
    【分析】根据提公因式法、公式法，可得答案． 【解答】解：原式=m（n2+2n+1）=m（n+1）2， 故答案为：m（n+1）2．

    【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式、完全平方公式是解题关键．

    12．（3分）（2017•邵阳）2016年，我国又有1240万人告别贫困，为世界脱贫工作作出了卓越贡献，将1240万用科学记数法表示为a×10n的形式，则a的值为 1.24 ．

    【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1240万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7． 【解答】解：1240万=1.24×107， 故a=1.24． 故答案为：1.24．
    【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

    13．（3分）（2017•邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ﹣1 ．（写一个即可）
    【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答． 【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下， ∴a＜0，
    ∴a的值可能是﹣1， 故答案为：﹣1．
    【点评】本题考查了二次函数的性质，是基础题，需熟记．

    14．（3分）（2017•邵阳）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=，现已
    知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 1 ．

    【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，积，从而可以解答本题． 【解答】解：∵S=∴△ABC的三边长分别为1，2，S=故答案为：1．
    ，
    ，则△ABC的面积为： =1，
    的面【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．

    15．（3分）（2017•邵阳）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 90° ．

    【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°， ∵EF=DE，
    ∴∠EDF=∠EFD=30°， ∴∠FDC=90°， 故答案为：90°
    【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数
    形结合思想的应用．

    16．（3分）（2017•邵阳）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
    ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C； ③作射线OC．
    则∠AOC的大小为 20° ．

    【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论． 【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠AOB=20°． 故答案为：20°．
    【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．

    17．（3分）（2017•邵阳）掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是
    ．

    【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：


    共有4种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数为3，
    所以掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率=． 故答案为．
    【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

    18．（3分）（2017•邵阳）如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是 （20﹣20） km．

    【分析】分别在Rt△ALR，Rt△BLR中，求出AL、BL即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ARL中， ∵LR=AR•cos30°=40×=20（km），AL=AR•sin30°=20（km），
    在Rt△BLR中，∵∠BRL=45°， ∴RL=LB=20，
    ﹣20）km，
    ∴AB=LB﹣AL=（20故答案为（20﹣20）km．


    【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题．

    三、解答题（本大题共8小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19．（8分）（2017•邵阳）计算：4sin60°﹣（）﹣1﹣．
    【分析】依据特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质进行解答即可．
    【解答】解：原式=4×=2﹣2﹣2
    ﹣2﹣2
    =﹣2．
    【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质是解题的关键．

    20．（8分）（2017•邵阳）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．
    （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．

    【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形
    证明；
    （2）根据正方形的判定方法添加即可．
    【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵∠OBC=∠OCB， ∴OB=OC， ∴AC=BD，
    ∴平行四边形ABCD是矩形；

    （2）解：AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）． 理由：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AB=AD，
    ∴四边形ABCD是正方形． 或：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC⊥BD，
    ∴四边形ABCD是正方形．

    【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．

    21．（8分）（2017•邵阳）先化简，再在﹣3，﹣1，0，x值代入求值．
    •．
    ，2中选择一个合适的【分析】根据分式的乘法和加法可以化简题目中的式子，然后在﹣3，﹣1，0，，2中选择一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．

    【解答】解：=====x，



    •

    当x=﹣1时，原式=﹣1．
    【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的方法．

    22．（8分）（2017•邵阳）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升）

    （1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数； （2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；
    （3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量． 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解可得； （2）用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得；
    （3）根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所．
    【解答】解：（1）这7天内小申家每天用水量的平均数为
    =800（升），
    将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825， ∴用水量的中位数为800升；

    （2）×100%=12.5%，
    答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%；

    （3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，
    采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估计可以节约用水100×30=3000升．
    【点评】此题主要考查了统计图、平均数、中位数，关键是看懂统计表，从统计表中获取必要的信息，熟练掌握平均数，中位数与众数的计算方法．

    23．（8分）（2017•邵阳）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
    （1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
    （2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．

    【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；
    （2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案． 【解答】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个，

    根据题意可得：解得：，
    ，
    答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；

    （2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则 18a+35（11﹣a）≥300+30， 解得：a≤3，
    符合条件的a最大整数为3， 答：租用小客车数量的最大值为3．
    【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．

    24．（8分）（2017•邵阳）如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO． （1）求证：DA=DC；
    （2）求∠P及∠AEB的大小．

    【分析】（1）欲证明DA=DC，只要证明Rt△DAO≌△Rt△DCO即可； （2）想办法证明∠P=30°即可解决问题；
    【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∵CB⊥AE， ∴AD⊥AE， ∴∠DAO=90°，

    ∵DP与⊙O相切于点C， ∴DC⊥OC， ∴∠DCO=90°，
    在Rt△DAO和Rt△DCO中，
    ，
    ∴Rt△DAO≌△Rt△DCO， ∴DA=DC．

    （2）∵CB⊥AE，AE是直径， ∴CF=FB=BC，
    ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∴CF=AD， ∵CF∥DA， ∴△PCF∽△PDA， ∴==，
    ∴PC=PD，DC=PD， ∵DA=DC， ∴DA=PD，
    在Rt△DAP中，∠P=30°， ∵DP∥AB， ∴∠FAB=∠P=30°， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90°， ∴∠AEB=60°．


    【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

    25．（8分）（2017•邵阳）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N． 【问题引入】
    （1）若点O是AC的中点，=，求的值；
    温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G． 【探索研究】
    （2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：【拓展应用】
    （3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若=，=，求的值．
    •    •=1；

    【分析】（1）作AG∥MN交BN延长线于点G，证△ABG∽△MBN得==，同理由△ACG∽△OCN得=可得答案；
    ==，即，结合AO=CO得NG=CN，从而由
    （2）由=、=知•••=•=••=1；
    •    •=1，从（3）由（2）知，在△ABD中有而••=••=1、在△ACD中有••=•，据此知=．
    【解答】解：（1）过点A作AG∥MN交BN延长线于点G， ∴∠G=∠BNM， 又∠B=∠B， ∴△ABG∽△MBN， ∴∴∴=，
    ﹣1，
    ，即    =，
    =，
    ﹣1=    =同理，在△ACG和△OCN中，∴=，
    ∵O为AC中点， ∴AO=CO， ∴NG=CN， ∴
    ===；
    （2）由（1）知，∴
    =•、=，
    ••=•=1；
    （3）在△ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C， 由（2）得••=1，
    在△ACD中，点P是AD上一点，过点P是AD上一点，过点P的直线与AC、AD的延长线分别相交于点E、B，

    由（2）得∴∴•=•••=•••==1， ••，
    =×=．
    【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例式的基本性质是解题的关键．

    26．（10分）（2017•邵阳）如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．


    【分析】（1）设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣）2﹣，将点M的坐标代入求a的值即可；
    （2）设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．则直角△AOG是等腰直角三角形∠AGO=45°．点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y=（k＞0）图象位于点一、三象限．故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：
    ①此菱形以AB为边且AC也为边，②此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值即可．

    【解答】解：（1）依题意可设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣）2﹣（a≠0）， 将点M（2，0）代入可得：a（2﹣）2﹣=0， 解得a=1．
    故抛物线的解析式为：y=（x﹣）2﹣；

    （2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x﹣）2﹣． 则对称轴为x=，
    ∴点A与点M（2，0）关于直线x=对称， ∴A（1，0）． 令x=0，则y=﹣2， ∴B（0，﹣2）．
    在直角△OAB中，OA=1，OB=2，则AB=．
    设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）． ∴直角△AOG是等腰直角三角形， ∴∠AGO=45°．
    ∵点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y=（k＞0）图象位于点一、三象限．
    故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况： ①此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示， 过点D作DN⊥y轴于点N，
    在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°， ∴DN=BN=∴D（﹣=，﹣， ﹣2），
    ∵点D在反比例函数y=（k＞0）图象上， ∴k=﹣×（﹣﹣2）=+；
    ②此菱形以AB为对角线，如图2，

    作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数y=（k＞0）的图象于点D．
    再分别过点D、B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相较于点E． 在直角△BDE中，同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°， ∴BE=DE．
    可设点D的坐标为（x，x﹣2）． ∵BE2+DE2=BD2， ∴BD=BE=x．
    ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BD=x．
    x）=（x+1）2+（x﹣2）2，
    ∴在直角△ADF中，AD2=AF2+DF2，即（解得x=，
    ∴点D的坐标是（，）．
    ∵点D在反比例函数y=（k＞0）图象上， ∴k=×=， 综上所述，k的值是+或．



    【点评】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．解答（2）题时要分类讨论，以防漏解．

    2017年湖北省黄石市中考数学试卷


    一、选择题
    1．（3分）下列各数是有理数的是（ ） A．﹣ B． C． D．π
    2．（3分）地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，则110000用科学记数法可表示为（ ） A．0.11×106
    B．1.1×105 C．0.11×105
    D．1.1×106
    3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
    A． B． C． D．
    4．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a0=0 B．a2+a3=a5 C．a2•a﹣1=a D．+=

    5．（3分）如图，该几何体主视图是（ ）

    A． B． C． D．
    6．（3分）下表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩（单位：分钟） 第几次 比赛成绩
    1 145
    2 147
    3 140
    4 129
    5 136
    6 125
    则这组成绩的中位数和平均数分别为（ ） A．137、138 B．138、137 C．138、138 D．137、139
    ，7．（3分）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=则∠CDE+∠ACD=（ ）

    A．60° B．75° C．90° D．105°
    8．（3分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，③＜1，其中错误的个数是（ ）

    A．3 B．2 C．1 D．0
    9．（3分）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，
    AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）

    A． B． C． D．
    10．（3分）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）

    A．BD＜2 B．BD=2
    C．BD＞2 D．以上情况均有可能

    二、填空题
    11．（3分）因式分解：x2y﹣4y= ． 12．（3分）分式方程=﹣2的解为 ．
    13．（3分）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为 ．

    14．（3分）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为 米．
    （注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，
    ≈1.73）

    15．（3分）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a+b=9的概率为 ． 16．（3分）观察下列格式：
    =1﹣= ++…
    请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数） ．（写出最简计算结果即可）

    三、解答题
    17．（7分）计算：（﹣2）3+18．（7分）先化简，再求值：（19．（7分）已知关于x的不等式组的取值范围．
    20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0 （1）求证：该方程有两个不等的实根；
    （2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
    21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
    +10+|﹣3+﹣|．
    ）÷，其中a=2sin60°﹣tan45°． 恰好有两个整数解，求实数a=1﹣+﹣= +=1﹣+﹣+﹣=

    （1）求证：DB=DE；
    （2）求证：直线CF为⊙O的切线．

    22．（8分）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义，某市有关部门对本市的某一型号的若干辆汽车，进行了一项油耗抽样实验：即在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在油耗1L的情况下，所行驶的路程（单位：km）进行统计分析，结果如图所示：

    （注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～14.5）
    请依据统计结果回答以下问题： （1）试求进行该试验的车辆数； （2）请补全频数分布直方图；
    （3）若该市有这种型号的汽车约900辆（不考虑其他因素），请利用上述统计数据初步预测，该市约有多少辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以上？
    23．（8分）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：
    ①该蔬菜的销售价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9﹣x；

    ②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系y=ax2+bx+10．
    已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克． （1）求该二次函数的解析式；
    （2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售价﹣平均成本） 24．（9分）在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．

    （1）如图①，求证：BA=BP；
    （2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；
    （3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．
    25．（10分）如图，直线l：y=kx+b（k＜0）与函数y=（x＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE．设A、C两点的坐标分别为（a，）、（c，），其中a＞c＞0． （1）如图①，求证：∠EDP=∠ACP；
    （2）如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值；
    （3）如图③，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OM⊥AM？请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．






    2017年湖北省黄石市中考数学试卷
    参考答案与试题解析


    一、选择题
    1．（3分）（2017•黄石）下列各数是有理数的是（ ） A．﹣ B． C． D．π
    【分析】利用有理数的定义判断即可． 【解答】解：有理数为﹣，无理数为故选A
    【点评】此题考查了实数，熟练掌握有理数与无理数的定义是解本题的关键．

    2．（3分）（2017•黄石）地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，则110000用科学记数法可表示为（ ） A．0.11×106
    B．1.1×105 C．0.11×105
    D．1.1×106
    ，，π，
    【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
    【解答】解：将110000用科学记数法表示为：1.1×105． 故选B．
    【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

    3．（3分）（2017•黄石）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

    A． B． C． D．
    【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确． 故选D．
    【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

    4．（3分）（2017•黄石）下列运算正确的是（ ） A．a0=0 B．a2+a3=a5 C．a2•a﹣1=a D．+=
    【分析】根据整式的运算法则以及分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（A）a0=1（a≠0），故A错误； （B）a2与a3不是同类项，故B错误； （D）原式=故选（C）
    【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

    5．（3分）（2017•黄石）如图，该几何体主视图是（ ）
    ，故D错误；


    A． B． C． D．
    【分析】根据三棱柱的特点并结合选项作出正确的判断即可． 【解答】解：三棱柱的主视图为矩形， ∵正对着的有一条棱，
    ∴矩形的中间应该有一条实线， 故选B．
    【点评】考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是了解中间的棱是实线还是虚线，难度不大．

    6．（3分）（2017•黄石）下表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩（单位：分钟） 第几次 比赛成绩
    1 145
    2 147
    3 140
    4 129
    5 136
    6 125
    则这组成绩的中位数和平均数分别为（ ） A．137、138 B．138、137 C．138、138 D．137、139
    【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
    【解答】解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：125，129，136，140，145，147，
    故这组数据的中位数是：（136+140）÷2=138； 平均数=（125+129+136+140+145+147）÷6=137．

    故选B．
    【点评】本题考查了中位数的定义和平均数的求法，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．

    7．（3分）（2017•黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，则∠CDE+∠ACD=（ ）

    A．60° B．75° C．90° D．105°
    【分析】根据直角三角形的性质得到BC=2CE=，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论．
    【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点， ∴BC=2DE=，
    ∵AB=2，AC=1， ∴AC2+BC2=12+（∴∠ACB=90°， ∵tan∠A=∴∠A=60°， ∴∠ACD=∠B=30°， ∴∠DCE=60°， ∵DE=CE， ∴∠CDE=60°， ∴∠CDE+∠ACD=90°， 故选C．
    【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

    =，
    ）2=4=22=AB2，

    8．（3分）（2017•黄石）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，③＜1，其中错误的个数是（ ）

    A．3 B．2 C．1 D．0
    【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号．
    【解答】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0，
    ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0，
    ∴ab＜0，故①错误；
    ∵抛物线和y轴的负半轴相交， ∴c＜0，
    ∴abc＞0，故②正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴＜1，故③正确；
    故选C．
    【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．

    9．（3分）（2017•黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）


    A． B． C． D．
    【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE=AD，∠ODE=∠ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD， ∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°， ∴∠BAD=60°． ∵AD=AB=2，
    ∴△ABD是等边三角形．
    ∴DE=AD=1，∠ODE=∠ADB=30°， ∴OD=故选D．
    =．

    【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．

    10．（3分）（2017•黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）


    A．BD＜2 B．BD=2
    C．BD＞2 D．以上情况均有可能
    【分析】先根据等腰三角形的底角相等，得出∠AED+∠CDE=180°，判定AE∥CD，再根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得出△ABC是等边三角形． 【解答】证明：∵AE=AB，
    ∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB ∵∠ABC=2∠DBE， ∴∠ABE+∠CBD=∠DBE，
    ∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB， ∴∠AEB+∠CDB=∠DBE， ∴∠AED+∠CDE=180°， ∴AE∥CD， ∵AE=CD，
    ∴四边形AEDC为平行四边形． ∴DE=AC=AB=BC． ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=CD=1，
    在△BCD中，∵BD＜BC+CD， ∴BD＜2． 故选A．

    【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，以及等边三
    角形的判定定理．解题时注意，同旁内角互补，两直线平行．

    二、填空题
    11．（3分）（2017•黄石）因式分解：x2y﹣4y= y（x﹣2）（x+2） ． 【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）． 故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
    【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．

    12．（3分）（2017•黄石）分式方程=﹣2的解为 x= ．
    【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
    【解答】解：去分母得：2x=3﹣4x+4， 解得：x=，
    经检验x=是分式方程的解， 故答案为：x=
    【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

    13．（3分）（2017•黄石）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为 2π ．

    【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S扇形=lR（其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长．
    =6π，
    【解答】解：设扇形的半径是R，则
    解得：r=6，
    设扇形的弧长是l，则lr=6π，即3l=6π， 解得：l=2π． 故答案是：2π．
    【点评】本题考查了扇形面积和弧长的计算，熟练掌握扇形的面积公式和弧长的公式是解题的关键．

    14．（3分）（2017•黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为 137 米．
    （注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.73）
    ≈1.41，
    【分析】设AB=x米，由∠ACB=45°得BC=AB=x、BD=BC+CD=x+100，根据tan∠ADB=可得关于x的方程，解之可得答案．
    【解答】解：设AB=x米， 在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°， ∴BC=AB=x米，
    则BD=BC+CD=x+100（米）， 在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°， ∴tan∠ADB=解得：x=50+50=，即≈137，
    =，
    即建筑物AB的高度约为137米 故答案为：137．

    【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．

    15．（3分）（2017•黄石）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a+b=9的概率为 【分析】利用列表法即可解决问题．
    【解答】解：甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果是：
    ．

    满足a+b=9的有4种可能， ∴a+b=9的概率为故答案为．
    【点评】本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

    16．（3分）（2017•黄石）观察下列格式：
    =1﹣= ++…
    请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数） 简计算结果即可）
    【分析】根据上述各式的规律即可求出第n个式子的计算结果．
    ．（写出最=1﹣+﹣= +=1﹣+﹣+﹣= =，

    【解答】解：n=1时，结果为：n=2时，结果为：n=3时，结果为：=；


    =；
    所以第n个式子的结果为：故答案为：
    【点评】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据已给出的式子找出规律，本题属于基础题型．

    三、解答题
    17．（7分）（2017•黄石）计算：（﹣2）3++10+|﹣3+|．
    【分析】原式利用乘方的意义，算术平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣8+4+1+3﹣=﹣．
    【点评】此题考查了实数的运算，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

    18．（7分）（2017•黄石）先化简，再求值：（﹣tan45°．
    【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可． 【解答】解：原式=[==
    ﹣）÷，其中a=2sin60°﹣]•（a﹣1）
    •（a﹣1）
    当a=2sin60°﹣tan45°=2×原式==．
    ﹣1=﹣1时，
    【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是
    解题的关键，也考查了特殊锐角的三角函数值．

    19．（7分）（2017•黄石）已知关于x的不等式组数解，求实数a的取值范围．
    【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围． 【解答】解：解5x+1＞3（x﹣1）得：x＞﹣2， 解x≤8﹣x+2a得：x≤4+a． 则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a． 不等式组只有两个整数解，是﹣1和0． 根据题意得：0≤4+a＜1． 解得：﹣4≤a＜﹣3．
    【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

    20．（8分）（2017•黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0 （1）求证：该方程有两个不等的实根；
    （2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
    【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
    （2）根据根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1•x2=﹣m2②，结合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
    【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣4x﹣m2=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，
    ∴该方程有两个不等的实根；

    恰好有两个整（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2=4①，x1•x2=﹣m2②．

    ∵x1+2x2=9③，
    ∴联立①③解之，得：x1=﹣1，x2=5， ∴x1•x2=﹣5=﹣m2， 解得：m=±．
    【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x1+x2=4①、x1+2x2=9③，求出x1、x2的值．

    21．（8分）（2017•黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE． （1）求证：DB=DE；
    （2）求证：直线CF为⊙O的切线．

    【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB； （2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可； 【解答】（1）证明：∵E是△ABC的内心， ∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
    ∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DB=DE．

    （2）连接CD． ∵DA平分∠BAC， ∴∠DAB=∠DAC，

    ∴=，
    ∴BD=CD， ∵BD=DF， ∴CD=DB=DF， ∴∠BCF=90°， ∴BC⊥CF，
    ∴CF是⊙O的切线．

    【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

    22．（8分）（2017•黄石）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义，某市有关部门对本市的某一型号的若干辆汽车，进行了一项油耗抽样实验：即在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在油耗1L的情况下，所行驶的路程（单位：km）进行统计分析，结果如图所示：

    （注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～14.5）
    请依据统计结果回答以下问题：

    （1）试求进行该试验的车辆数； （2）请补全频数分布直方图；
    （3）若该市有这种型号的汽车约900辆（不考虑其他因素），请利用上述统计数据初步预测，该市约有多少辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以上？
    【分析】（1）根据C所占的百分比以及频数，即可得到进行该试验的车辆数； （2）根据B的百分比，计算得到B的频数，进而得到D的频数，据此补全频数分布直方图；
    （3）根据C，D，E所占的百分比之和乘上该市这种型号的汽车的总数，即可得到结果．
    【解答】解：（1）进行该试验的车辆数为：9÷30%=30（辆）， （2）B：20%×30=6（辆）， D：30﹣2﹣6﹣9﹣4=9（辆）， 补全频数分布直方图如下：

    （3）900×=660（辆），
    答：该市约有660辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以上． 【点评】本题主要考查了频数分布直方图以及扇形统计图的运用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

    23．（8分）（2017•黄石）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：
    ①该蔬菜的销售价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9
    ﹣x；
    ②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系y=ax2+bx+10．
    已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克． （1）求该二次函数的解析式；
    （2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售价﹣平均成本） 【分析】（1）将x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10，求得a、b即可； （2）根据“平均利润=销售价﹣平均成本”列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
    【解答】解：（1）将x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10， 得：解得：，
    ，
    ∴y=x2﹣3x+10；

    （2）根据题意，知L=P﹣y=9﹣x﹣（x2﹣3x+10）=﹣（x﹣4）2+3， ∴当x=4时，L取得最大值，最大值为3，
    答：4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克．
    【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．

    24．（9分）（2017•黄石）在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．

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