和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题

. 其中一个命题称为原命题，另

一个称为原命题的逆否命题 .

若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若

q ，则 p ”.

6、四种命题的真假性：

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

真

假

假

假

假

x2

y

2

1 a

b

0

a2

b2

a

x

a 且 b

y

b

1

a,0

、 2

a,0

1

0,

b

、 2

0,b

y2

x2

1 a

b

0

a2

b2

b

x

b 且 a

y

a

1

0,

a

、 2

0,a

1

b,0

、 2

b,0

轴长

短轴的长

2b

长轴的长

2a

焦点

F1 c,0 、 F2 c,0

F1 0,

c 、 F2 0,c

焦距

F1 F2

2c c2

a2 b2

对称性

关于 x

轴、 y 轴、原点对称

c

b2

离心率

e

1 2 0 e 1

a

a

准线方程

x

a2

y

a2

c

c

13、设 是椭圆上任一点， 点

到 F1 对应准线的距离为 d1 ，点

到 F2 对应准线

的距离为 d2

F1

F2

e ．

，则

d2

d1

14、平面内与两个定点

F1 ， F 2 的距离之差的绝对值等于常数（小于

F1F 2 ）的

标准方程

x2

y2

1

a

0, b 0

y2

x2

1 a 0, b 0

a2

b2

a2

b2

范围

x

a 或 x

a ， y R

y

a 或 y

a ， x R

顶点

1

a,0

、

2 a,0

1

0,

a 、 2

0,a

轴长

虚轴的长

2b

实轴的长

2a

焦点

F1

c,0

、 F2 c,0

F1

0,

c 、 F2

0,c

焦距

F1 F2

2c c2

a2

b2

对称性

关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称

离心率

c

1

b2

1

e

2 e

a

a

准线方程

x

a2

y

a2

c

c

渐近线方程

y

b x

y

a x

a

b

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

17、设 是双曲线上任一点， 点

到 F1 对应准线的距离为 d1 ，点

到 F2 对应准

线的距离为 d2

F1

F2

e．

，则

d2

d1

20、焦半径公式：

p ；

若点

x0 , y0

在抛物线 y2

2 px p

0 上，焦点为 F ，则 F

x0

2

若点

x0 , y0

在抛物线 y2

2 px

p

0 上，焦点为 F ，则 F

x0

p ；

2

若点

x0 , y0

在抛物线 x2

2 py p

0 上，焦点为 F ，则 F

y0

p ；

2

若点

x0 , y0

在抛物线 x2

2 py

p

0 上，焦点为 F ，则 F

y0

p ．

2

标准方程

y 2

2 px

y 2

2 px

x 2

2 py

x 2

2 py

p

0

p

0

p

0

p

0

图形

顶点

0,0

对称轴

x 轴

y 轴

焦点

F

p , 0

F

p , 0

F 0, p

F 0,

p

2

2

2

2

准线方程

x

p

x

p

y

p

y

p

2

2

2

2

离心率

e 1

范围

x

0

x

0

y

0

y

0

22、空间向量的概念：

3 向量

uuur

uuur

的大小称为向量的模（或长度） ，记作

．

C ，则以

起点的对角线

uuur

r

r

的

C 就是 a 与 b

循三角形法则．即：在空间任取一点

，作

uuur

r

uuur

r

uuur r

r

a ，

b ，则

a

b ．

24、实数

r

的乘积

r

是一个向量，称为向量的数乘运算．当

0

与空间向量 a

a

时，

r

r

r

r

r

a 与 a 方向相同；当

0 时， a 与 a 方向相反；当

0 时， a 为零向量，

记为

r

r

r

倍．

0 ．

a 的长度是

a 的长度的

r

r

25、设

，

， b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结

为实数， a

合律．

r

r

分配律：

r

r

r

r

a

b

a

b ；结合律：

a

a ．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，

则这些向量称为共线

向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

r

r

r r

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量

r

0

a

， b

b

， a // b 的充要条

件是存在实数

r

r

，使 a

b ．

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

29、向量共面定理：空间一点

位于平面

C 内的充要条件是存在有序实数对

x ，

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

x

uuur

uuur

y ，使

x

y

C ；或对空间任一定点

，有

y

C ；或

若四点

，

，

uuur

x

uuur

uuur

uuur

y

z

1 ．

， C 共面，则

y

z

C x

r

r

uuur

r

uuur

r

30、已知两个非零向量

，作

b ，则

a 和 b ，在空间任取一点

a ，

r

r

r r

．两个向量夹角的取值范围是：

r r

0,

．

称为向量 a ，b 的夹角，记作

a,b

a, b

、对于两个非零向量

r

r

r

r

r

r

互相垂直，记作

r

r

31

a

和 b ，若

,

，则向量 a

，b

a

b ．

a b

2

32、已知两个非零向量

r

r

r

r

r r

r

r

r

r

a

和 b ，则

a

b cos a,b

称为 a

，b 的数量积，记作

a b ．即

r

r

r

r

r

r

0 ．

a

b

a b cos a,b ．零向量与任何向量的数量积为

r r

r

r

r

r

r

r r

33、 a b

等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影

b cos a, b 的乘积．

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

；

34、若 a

， b 为非零向量， e 为单位向量，则有 1

e a

a e

a cos a, e

r

r

r

r

2

r

r

r

r

3

r

r

a b a与 b同向

r r

r

2

r

r r

a b

a b 0 ；

a b

r r

r

r

， a a

a

， a

a a

；

a b

a与 b反向

r r

r

r

r

r

r

r

4

a

b

5

cos a, b

r

r

；

a

b

a b ．

a b

、向量数乘积的运算律：

r

r

r

r

； 2

r r

r

r

r

r

；

35

1 a b b a

a b

a b

a b

3

r

r

r

r

r

r

r

a

b

c

a c

b

c ．

r

r

r

是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量

r

，存在有序

36、若 i ， j ， k

p

实数组 x, y, z

，使得

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

p

xi

yj

zk ，称 xi

， yj

， zk 为向量

p 在 i

， j ， k 上

的分量．

r

、空间向量基本定理：若三个向量

r

，

r

r

，

b

， c 不共面，则对空间任一向量

p

37

a

存在实数组

x, y, z

，使得

r

r

r

r

p

xa

yb

zc ．

r

r

，

r

不共面，则所有空间向量组成的集合是

38、若三个向量 a ， b

c

r

r

r

r

r

r

r

r

yb

R

p p

xa

zc, x, y, z

．这个集合可看作是由向量 a ， b

， c 生成的，

r

r r

称为空间的一个基底，

r

r

r

称为基向量．空间任意三个不共面的向

a,b, c

a

，b ， c

量都可以构成空间的一个基底．

ur

uur

ur

39、设 e1 ， e2 ， e3 为有公共起点

的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位

ur

uur

ur

ur

uur

ur

的方向为 x

正交基底），以 e1 ， e2 ， e3 的公共起点

为原点，分别以 e1

， e2

， e3

轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系

xyz ．则对于空间任意一个向量

r

p ，

一定可以把它平移，使它的起点与原点

重合，得到向量

uuur

r

p ．存在有序实

r

ur

uur

ur

r

数组 x, y, z ，使得 p

xe1

ye2

ze3 ．把 x ， y ， z 称作向量

p

在单位正交基底

ur

uur

ur

r

r

e1 ， e2 ， e3

下的坐标，记作 p

x, y, z ．此时，向量 p

的坐标是点

在空间直角

坐标系

xyz 中的坐标 x, y, z

．

、设 r

x1, y1 , z1

，

r

x2 , y2 , z2

，则 1

r r

x1

x2 , y1

y2 , z1

z2

．

40

a

b

a b

r

r

x1

x2 , y1

y2 , z1

z2 ．

2 a b

3

r

x1 , y1 , z1

．

a

r r

y1 y2

z1 z2 ．

4 a b x1x2

5

r

r

r

r

r

r

x1 x2

y1 y2

z1z2

0 ．

若 a

、 b 为非零向量，则 a

b

a b 0

r

r

r r

r

r

x1

x2 , y1

y2 , z1

z2 ．

6 若 b

0 ，则 a // b

a

b

7

r

r r

2

2

2

a

a a

x1

y1

z1 ．

r r

r r

x1 x2

y1 y2

z1z2

8

a b

．

cos a, b

r r

x12

y12

z12

x22

y22

a b

z22

9

x1, y1 , z1 ，

x2 , y2 , z2 ，则 d

uuur

x2

2

y2

2

2

x1

y1

z2 z1 ．

41、在空间中，取一定点

作为基点，那么空间中任意一点

的位置可以用向量

42、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点

以及一个定方向确定． 点

r

，

是直线 l 上一点，向量 a 表示直线 l 的方向向量，则对于直线 l 上的任意一点

有

uuur

r

r

ta ，这样点

和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体表示出直

相交于点

r

，

r

上任意一点，存在有序

，它们的方向向量分别为 a

b ． 为平面

实数对 x, y ，使得

uuur

r

r

r

，这样点

与向量 a ， 就确定了平面

的位置．

xa

yb

r

b

、直线

垂直 ，取直线

的方向向量

r

r

l

l

a

，则向量 a 称为平面 的法向量．

44

r

r r

45、若空间不重合两条直线 a ， b 的方向向量分别为

r

a

， b ，则 a // b

a // b

r

r

R ， a b

r r

r

r

a b

a b

a b 0 ．

r

r

，则 a //

46、若直线 a 的方向向量为 a ，平面

的法向量为 n ，且 a

r

r

r r

r

r r

r

r

a n

a n 0 ， a

a

a // n

a

n ．

r

47、若空间不重合的两个平面

，

r

的法向量分别为 a ， b ，则 //

r

r

r

r

r r

0 ．

a

b ，

a

b

a b

r

r

r

r

49、设直线 l 的方向向量为 l

，平面

所成的角为

，l

的法向量为 n ，l 与

与 n

r

r

的夹角为

，则有 sin

cos

l

n

．

r

r

l

n

ur

uur

l

ur

uur

50、设 n1 ， n2 是二面角

的两个面 ，

的法向量，则向量 n1

， n2

的夹

角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角

l

的平面角为

，

ur

uur

则 cos

n1

n2

ur

uur ．

n1

n2